GSEB Solutions for Class 10 Math

GSEB Solutions for class 10 Math Chapters Wise :

યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 , 225 નો  ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

1. 135 , 225

અહી, 225 > 135 છે

225 = 135 * 1 + 90

135 = 90 * 1 + 45

90 = 45 * 2 + 0

શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 45 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.

જવાબ= ગુ.સા.અ (135, 225) = 45

યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 196, 38220 નો  ગુ.સા.અ શોધો

Hide | Show

જવાબ :

અહી, 38220 > 196 છે.

38220 = 196 * 195 + 0

શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 196 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.

જવાબ= ગુ.સા.અ (196, 38220) = 196

યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 867, 255નો  ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહી,  867> 255

867 = 255 * 3 + 102

255 = 102 * 2 + 51

102 = 51 * 2 + 0

શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 51 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.

જવાબ= ગુ.સા.અ (867, 255)= 51

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :

 =  = 3 / 26 * 51

અહી, છેદ q(26 * 51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 6 અને m = 1) પ્રકારનું છે.    

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે.

એક લશ્કરનું 616 સભ્યોનું જૂથ લશ્કરના બેન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કૂચ કરી રહ્યું છે. બંને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છે. તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છ તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ કેટલા સભ્યો હશે?

Hide | Show

જવાબ :

આ પ્રશ્નનો ગાણિતિક રીતે ઉકેલ શોધવા 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ શોધીશું.

616 = 32 * 19 + 8

32 = 8 * 4 + 0

ગુ.સા.અ (616,32) = 8

જવાબ: તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છે તે કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.

એક રમતના મેદાનમાં વર્તુળાકાર માર્ગ છે.સોનિયાને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતા 18 મિનિટ લાગે છે. જયારે રવિને તેનું એક પરિભ્રમણ કરતા 12 મિનિટ લાગે છે. ધારો કે બંને એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ કરે છે.તો કેટલી મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થાય?

Hide | Show

જવાબ :

માંગેલ જવાબ મેળવવા માટે આપણે લગતા સમયનો લ.સા.અ શોધીશું.
12 = 2 * 2 * 3 =  22 * 3
18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32
આથી લ.સા.અ  (12,18)= 22 * 32 = 36
જવાબ= જો સોનિયા અને રવિ એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ કરે છે.તો 36 મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થાય.
 

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :

   = 13/55

 

અહી, છેદ q(55) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5)પ્રકારનું છે.  

આથી  નું નિરૂપણ સાન્ત છે.

કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક શૂન્ય થાય કે નહી તે ચકાશો.

Hide | Show

જવાબ :

જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક 0 હોય ત્યારે તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય, એટલે કે અંતિમ અંક 0 હોય તેવી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 અને 2 બંનેનો સમાવેશ થાય.
અહી, 6n = (૩ * ૨)n
         =  ૩n * 2n
જ્યાં, n કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. આથી, 6n 2 અને 3 એમ ફક્ત બે જ અવિભાજ્ય અવયવો હોઈ શકે. આમ, 6n ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી કોઈ પણ સંજોગોમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n  નો અંતિમ અંક 0 થાય નહી.
 

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :

  = 17/23

અહી, છેદ q(23) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5) પ્રકારનું છે. 

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે.

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો. 

Hide | Show

જવાબ :

 =

અહી, છેદ q(5*7*13) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.        

આથી   નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :

 = 29/73

અહી, છેદ q(73) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.       

આથી   નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :

 =  = 2 / 51

અહી, છેદ q(51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 1) પ્રકારનું છે.  

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે

નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.

  

Hide | Show

જવાબ :

  

= 13/55

= 13*25 /  25 * 55

= 416 / 100000

=  0.00416

નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.
 

Hide | Show

જવાબ :

17/8 

=  17/23 
= 17 * 53 / 23 *53 
= 2125 / 1000 
= 2.125

નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો. 

Hide | Show

જવાબ :

=  3/ 26 * 5

= 3* 55 / 26 * 56

= 9375 / 1000000

= 0. 009375

નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો. 

Hide | Show

જવાબ :

=

=

= 0.4

નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.

Hide | Show

જવાબ :

=

=

= 0.7

નીચેની સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવેલ છે. દરેક માટે જણાવો કે તે સંમેય છે કે નહી.અને જો સંમેય હોય, તો તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો વિષે તમે શું કહી શકશો.?

Hide | Show

જવાબ :

  • i)         43.123456789
    અહી આપેલ સંખ્યા 43.123456789 નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.આ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અથવા 5 અથવા બંને હોય. ( પ્રમેય 1.5 મુજબ)
  •   ii) 0.120120012000120000...                                                          અહી આપેલ સંખ્યા 0.120120012000120000... નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોવાથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
  • iii)43. 123456789 

             અહી આપેલ સંખ્યા 43. 123456789  નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત                      અને        આવૃત્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
              આપેલ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી તેના                p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અને 5 સિવાયનો                          ઓછા  માં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ છે જ. (પ્રમેય 1.7 નું પ્રતીપ)

નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  5005

Hide | Show

જવાબ :

અવયવ વૃક્ષની રીતે- 


 
5005 = 5 * 7 *1 1 * 13

નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  7429

Hide | Show

જવાબ :

અવયવ વૃક્ષની રીતે- 


 
7429 =  17 * 19* 23

નીચે આપેલ પૂર્ણાંકના અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.અ અને લ.સા.અ શોધો.

3)8 , 9, 25

Hide | Show

જવાબ :

નીચે આપેલ પૂર્ણાંકના અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.અ અને લ.સા.અ શોધો.
1) 12,15, 21

Hide | Show

જવાબ :

નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  3825

Hide | Show

જવાબ :

અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
3825 =  3 * 3* 5 *5 * 17
        = 32 * 52 * 17

નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :- 140

Hide | Show

જવાબ :

અવયવ વૃક્ષની રીતે-

આમ, 140 = ૨ * ૨ * 5 * 7
            = 22 * 5 * 7

નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  156
 

Hide | Show

જવાબ :

અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
આમ, 156 = 2 *2 * 3 *13
      =  22 * 3 *13

3825 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Hide | Show

જવાબ :

3825  =  3 ´ 3 ´ 5 ´ 5 ´ 17  =  32 ´ 52 ´ 17

156 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Hide | Show

જવાબ :

156  =  2 ×  2 × 3 × 13   =  22  x 3 x 13

140 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Hide | Show

જવાબ :

140  =  2 x 2 x 5 x 7  =  22 x 5 x 7

યુકિલડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m  +  1 અથવા   9m  +  8 સ્વરૂપનો હોય. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે a કોઈ ઘન પૂર્ણાંક છે તથા b  =  3 છે.

યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ મુજબ કોઈ પૂર્ણાંક q  ≤0  માટે a  =  3q  +  r અને r  =  0, 1, 2,

કારણ કે 0 ≤r≤3

તેથી a  =  3q અથવા 3q  +  1 અથવા 3q  +  2

a3  =  (3q)3 અથવા (3q  +  1)2  અથવા (3q  +  2)3

=  (3q)3 અથવા 27q3  +  27q2  +  9q  +  1 અથવા 27q3  +  54q2  +  36q  +  8    

=  9 x (3q3) અથવા 9 x (3q3  +  3q2  +  q)  +  1 અથવા 9 x (3q3  +  6q2  +  4q)  +  8

=  9k1 અથવા 9k2  +  1 અથવા 9k3  +  8

જ્યાં k1,  k2, અને k3 ઘન પૂર્ણાંક છે.

તેથી કહી શકાય કે, કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m  +  1 અથવા 9m  +  8 સ્વરૂપનો હોય છે.

યુકિલડના ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m અથવા 3m  +  1 સ્વરૂપમાં હોય. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે તથા b  =  3 છે.

યુકિલડના ભાગ પ્રવિધિ પ્રમાણે  કોઈ પૂર્ણાંક q ≥  0 માટે a  =  3q  +  r અને r  =  0, 1, 2 કારણ કે  0≤0≤3  

તેથી, a  =  3q અથવા 3q  +  1 અથવા 3q  +  2 મળે.

a2  =  (3q)2 અથવા (3q  +  1)2 અથવા (3q  +  2)2

     =  (3q)2  અથવા 9q2  +  6q  +  1 અથવા 9q2  +  12q  +  4

     =  3 x (3q)2 અથવા 3 x (3q2  +  2q)  +  1 અથવા 3 x (3q2  +  4q  +  1)  +  1

     =  3k1 અથવા 3k2  +  1 અથવા 3k3  +  1

     જ્યાં, k1, k2, k3, ઘન પૂર્ણાંક છે.

તેથી કહી શકાય કે, કોઈ ધન પુર્નાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m  +  1 સ્વરૂપમાં હોય છે.

એક લશ્કરના 616 સભ્યોની જૂથ બેન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કુચ કરી રહ્યું છે. વનને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે.તે જે સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ સભ્યો હશે? (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

અહીં મહત્તમ સભ્યોની સંખ્યા મેળવવા માટે ગુ.સા.અ. શોધવો પડે.

અહીં 616 > 32 છે, એથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,

616  =  32 x 19  +  8

અહીં, શેષ 8 ≠0  તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,

32  =  8 x 4  =  0

અહીં, શેષ 0 છે, તેથી

616 અને 32 નો ગુ.સા.અ. 8 મળશે.

તેથી, ગુ.સા.અ. (616, 32)  =  8

કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.

યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 અને 225 નો ગુ.સા.. શોધો.(સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

અહીં 225 > 135 છે, એથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,

225  =  135 ´ 1  +  90

અહીં શેષ 90 0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,

135  =  90 ´ 1  +  45

અહીં શેષ 45 0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,

અહીં શેષ 0 છે, તેથી,

135 અને 225 નો ગુ.સા.. 45 મળશે.

તેથી ગુ.સા.. (135, 225)  =  45

યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 196 અને 38220 નો ગુ.સા.. શોધો. (સ્વધાયાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

અહીં 38220 > 196 છે, તેથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો કરતા,

38220  =  196 ´ 195  +  0

અહીં શેષ 0 છે, તેથી

196 અને 38220 નો ગુ.સા.. 196 મળશે.

તેથી ગુ.સા..(196, 38220)  =  196

યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 867 અને 255 નો ગુ.સા.. શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

અહીં 867 > 255 છે, એથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,

867  =  255 × 3  +  102

અહીં, શેષ 102 0 તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,

255  =  102 ´ 2  +  51

અહીં શેષ 51 ≠0  તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,

102  =  51 ´ 2  +  0

અહીં શેષ = 0  છે, તેથી

867 અને 255 નો ગુ.સા.. 51 મળશે.

તેથી ગુ.સા.. (867, 255)  =  51

દર્શાવો કે કોઈ પણ યુગ્મ ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યા,  કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q  +  1, અથવા 6q  +  3, અથવા 6q  +  5 પ્રકારની હોઈ શકે છે. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે a કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને b  =  6 છે.

યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ અનુસાર કોઈ પૂર્ણાંક q ≥0  માટે a  =  6q  +  r અને r  =  0, 1, 2, 3, 4, 5, કારણ કે  

0 ≤ r ≤ 6

તેથી, a  =  6 અથવા a  =  6q  +  1 અથવા a  =  6q  +  2 અથવા a  =  6q  +  3 અથવા a  =  6q  +  4 અથવા a  =  6q  +  મળે.

6q  +  3  =  (6q  +  2)  +  1  =  2 (3q  +  1)  +  1  =  2k2  +  1, જ્યાં k2 કોઈ પૂર્ણાંક છે.

6q  +  5  =  (6q  +  4)  +  1  =  2 (3q  +  2)  +  1  =  2k3  +  1, જ્યાં k3 એ કોઈ પૂર્ણાંક છે. 

ઉપરોક્ત ગણતરી પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે,

6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 2k  +  1 (જ્યાં k પૂર્ણાંક છે) સ્વરૂપમાં નથી.

તેથી, 6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 2 વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય નહિ.

તેથી, 6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 અયુગ્મ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 4052 અને 12576 નો ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

12576 > 4052 હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
12576 = 4052 * 3 + 420 મળશે.
શેષ ≠૦ હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
4050 =   420 * 9 + 272 મળશે.
મળેલ ભાજક 420 ને નવા ભાજ્ય તરીકે અને મળેલ શેષ 272 ને નવા ભાજક તરીકે લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
420 = 272 * 1 + 148 મળશે.
નવો ભાજ્ય 272 અને નવો ભાજક 148 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
272 = 148 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 148 અને નવો ભાજક 124 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
148 = 124 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 124 અને નવો ભાજક 24 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
124 = 24 * 5 + 4 મળશે.
નવો ભાજ્ય 24 અને નવો ભાજક 4 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
24 = 4 * 6 + 0

4052 અને 12576 નો ગુ.સા.અ 4 છે. 

દર્શાવો કે કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q + 1, અથવા 6q + 3, અથવા  6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.

Hide | Show

જવાબ :

ધારોકે a એ કોઈ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તેમજ b = 6 છે.

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય પ્રમાણે, a = 6q + r છે.

જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે તથા r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 મળશે. જ્યાં, 0≤r ≤6

તેથી, a =6q અથવા a = 6q + 1 અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 3 અથવા a = 6q + 4 અથવા

a = 6q + 5

પરંતુ, 6q, 6q + 2, 6q + 4 એ 2 વડે વિભાજ્ય હોવાથી તેમજ a એ યુગ્મ હોવાથી,

a =6q અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 4 શક્ય નથી.

આમ, કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા, કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.

એક મીઠાઈ વાળા પાસે 420 નંગ કાજુ બરફી અને 130 નંગ બાદમ બરફી છે. તે એવી રીતે આ બરફીઓને થપ્પી સ્વરૂપે ગોઠવવા માંગે છે કે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા સમાન હોય અને તે તાસકમાં ઓછામાં ઓછી જગ્યા રોકે. આ હેતુ માટે દરેક થપ્પીમાં કેટલી સંખ્યામાં બરફી રાખવી જોઈએ?

Hide | Show

જવાબ :

આ પ્રશ્નને ગાણિતિક પદ્ધતિથી ઉકેલવા માટે 420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધીશું. આ ગુ.સા.અ દરેક થપ્પીમાં રહેલ બરફીની મહત્તમ સંખ્યા થાય અને થપ્પીઓની સંખ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. તેથી,તાસકમાં વપરાયેલ જગ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. અહી આપણે  420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધવા માટે યુક્લિડ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.

420  = 130 * 3 + 30

130 = 30 * 4 + 10

30 = 10 * 3 + 0

આમ,420 અને 130 નો ગુ.સા.અ 10 થાય.

આથી, મીઠાઈવાળા એ તાસકમાં ઓછા માં ઓછી જગ્યા રોકવા માટે દરેક થપ્પીમાં કોઈ પણ પ્રકારની 10 બરફી રાખી શકે.

યુક્લિડના ભાગાકારનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય છે.

Hide | Show

જવાબ :

(સુચન: ધારો કે, x કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે  તો તે ૩q, ૩q + 1, ૩q + 2 સ્વરૂપમાં હોય. હવે દરેકનો વર્ગ કરો અને દર્શાવો કે ફરીથી તેને  3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં લખી શકાય.)

ઉકેલ:

ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(1) જો a = ૩q હોય તો,

a2 = (3q)2 = 9q2 =3 (9q2) = 3m,

જ્યાં, m = ૩q2  કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,

a2 = (3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 =3 (3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1,

જ્યાં, m= 3q2 + 2q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,

a2 = (3q + 2)2

    = 9q2 + 12q + 3 + 1

   =3 (3q2 + 4q +1) + 1 = 3m + 1

જ્યાં, m= ૩q2 + 4q + 1 કોઈ પૂર્ણાંક છે.

યુક્લિડનો ભાગાકારનો પૂર્વ પ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 ના સ્વરૂપના હોય છે.

 

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(1) જો a = ૩q હોય તો,

a3 = (3q)3 = 27q3 =9(3q2) = 9m,

જ્યાં, m = ૩q3  કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,

a3 = (3q + 1)3 = 27q + 27q2 +9q + 1

  =9(3q3 + ૩q2 + q ) + 1

  = 9m + 1

જ્યાં, m= 3q3 + 3q2 + q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,

a3 = (3q + 2)3

    = 27q3 + 54q2 + 36q + 8

   = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9m + 8

જ્યાં, m = 3q+ 6q2+ 4q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

આથી, કોઈ પણ સંજોગોમાં, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકોનો ઘન  9m, 9m + 1 અથવા

9m + 8 ના સ્વરૂપના હોય છે.

એક ઓરડાની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઉંચાઈ અનુક્રમે 7 મી. 50 સેમી, 6 મી. અને 3 મીઅને 75 સેમી છે. આ ત્રણેય માપને ચોક્કસ માપી શકાય તેવા લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

ઉકેલ:

અહી ત્રણેય માપનો ગુ.સા.અ લેતા માગ્યા મુજબના લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધીશું.

અહી આપ્યા મુજબ,

મી. 50 સેમી= 750 સેમી.

 6 મી = 600 સેમી.

3 મીઅને 75 સેમી = 375 સેમી.

ભાગ પ્રવિધિના ઉપયોગ દ્વારા ત્રણ સંખ્યાનો ગુ.સા.અ શોધવા માટે કોઈ પણ બે સંખ્યાનો ગુ.સા.અ પહેલા શોધીશું અને તે પછી તે ગુ.સા.અ અમે ત્રીજી સંખ્યાનો ગુ.સા.અ લેતા ત્રણેય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ મળશે.

750 = 600 * 1 + 150

600 = 150 * 4 + 0

આથી ગુ.સા.અ (750,600) = 150

ત્યારબાદ હવે 375 અને 150 નો ગુ.સા.અ શોધીશું.

375 = 150 * 2 + 75

150 = 75 * 2 + 0

ગુ.સા.અ = (375, 150) = 75

માટે, ગુ.સા.અ (750, 600, 375) = 75

જવાબ= ઓરડાના ત્રણેય માપને ચોક્કસ માપી શકાય તેવા લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ 75 સેમી. છે.

Take a Test

Choose your Test :

પ્રકરણ 1 : વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

Browse & Download GSEB Books For Class 10 - All Subjects

The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.

The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.

For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.

ask-a-doubt ask-a-doubt