GSEB Solutions for class 10 Math Chapters Wise :
જોહ્ન અને જીવંતી પાસે કુલ ૪૫ લખોટીઓ છે. પ્રત્યેક વ્યક્તિ પાંચ-પાંચ લખોટી ખોઈ કાઢે છે અને હવે તેમની પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ ની સંખ્યાનો ગુણાકાર 124 છે, આપણે જાણવું છે કે તેમની પાસે શરૂઆતમાં કેટલી લખોટીઓ હતી. આ સ્થિતિને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે જોહ્ન પાસે x લખોટીઓ છે.
આથી, જીવંતી પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x
જોહ્ન પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = x – 5
જીવંતી પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x – 5 = 40 – x
આથી, તેમનો ગુણાકાર = (x - 5)(40 - x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= -x2 + 45x – 200
આથી,
-x2 + 45x + 200 = 124 (ગુણાકાર 124 આપેલ છે)
-x2 + 45x - 324 = 0
x2 - 45x + 324 = 0
આથી, જોહ્ન પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા, દ્વિઘાત સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0 નું સમાધાન કરે છે. માંગેલ પ્રશ્નની આ ગાણિતિક રજૂઆત છે.
એક કુટિર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલાંક રમકડાં બનાવે છે. પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) 55માંથી એક દિવસમાં ઉત્પાદિત થતાં રમકડાંની સંખ્યા બાદ કરીએ તેટલો છે. કોઈ એક ચોક્કસ દિવસે ઉત્પાદન-ખર્ચ 750 રૂપિયા છે. આપણે તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા જાણવી છે. આ સ્થિતિને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા x છે.
આથી, તે નિશ્ચિત દિવસે પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) = 55 – x
આથી, તે દિવસનો રમકડાં બનાવવાનો કુલ ખર્ચ = x (55 – x)
આથી,
X (55 - x) = 750
55x – x2 = 750
X2 + 55x - 750 = 0
X2 - 55x + 750 = 0
આથી, નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ X2 - 55x + 750 = 0 નું સમાધાન કરે છે.
આ આપેલ પ્રશ્નની ગાણિતિક રજૂઆત છે.
જવાબ :
ડા.બા = (x - 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1
= x2 – 4x + 5
આથી, (x - 2)2 + 1 = 2x – 3 ને
x2 – 4x + 5 = 2x – 3 તરીકે લખી શકાય.
x2 – 6x + 8 = 0
a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે.
આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2). ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ
Hide | Showજવાબ :
x(x + 1) + 8 = x2 + x + 8 અને (x + 2)(x - 2) = x2 – 4 છે.
આથી,
x2 + x + 8 = x2 – 4
x + 12 = 0
a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ નથી.
આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
x(2x + 3) = x3 + 1. ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ
Hide | Showજવાબ :
અહીં,
ડા.બા = x(2x + 3) = 2x2 + 3x
આથી, x(2x + 3) = x2 + 1ને 2x2 + 3x = x2 + 1 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય.
આથી, x2 + 3x – 1 = 0.
a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે.
આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
(x + 2)3 = x3 – 4. ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ
Hide | Showજવાબ :
અહીં,
ડા.બા = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
આથી, (x + 2)3 = x3 – 4 ને x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – 4 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય.
6x2 + 12x + 12 = 0 અથવા x2 + 2x + 2 = 0
a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે.
આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ :
જો ખંડની પહોળાઈ x મી હોય તો x એ સમીકરણ 2x2 + x – 300 = 0 નું સમાધાન કરે. અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતાં,
આપણે, સમીકરણને 2x2 – 24x + 25x – 300 = 0 એમ લખી શકીએ.
2x (x - 12) + 25 (x - 12) = 0
(x – 12) (2x + 25) = 0
x – 12 = 0 અથવા 2x + 25 = 0
x = 12 અથવા x = -12.5
આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ x = 12 અથવા x = -12.5 છે.
પરંતુ એ ખંડની પહોળાઈ હોવાથી તે ઋણ ન હોઈ શકે,
આથી, ખંડની પહોળાઈ 12મી અને તેની લંબાઈ 2x + 1 = 25મી.
સમીકરણ 4x2 + 3x + 5 = 0નાં બીજ પૂર્ણવર્ગની રીતે શોધો.
Hide | Showજવાબ :
આપણે નોંધીએ કે 4x2 + 3x + 5 = 0 અને (2x)2 + 2 x 
+ ()2 – ()2 + 5 = 0 સમાન છે.
(2x + )2 - 
+ 5 = 0
(2x + )2 + 
= 0
(2x + )2 = - < 0
પરંતુ xના કોઈ પણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે (2x + )2 ઋણ હોઈ ના શકે.
આથી, કોઈ જ વાસ્તવિક સંખ્યા x આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરશે નહિ.
આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તે શક્ય નથી.
સમીકરણ 3x2 – 5x + 2 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
3x2 – 5x + 2 = 0
અહીં, a = 3, b = -5, c = 2
આથી, b2- 4ac = 25 – 24 = 1 > 0
x = 
= 
અથાર્ત્, x = 1 અથવા 
આમ, બીજ 
અને 1 છે.
સમીકરણ x2 + 4x + 5 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
x2 + 4x + 5 = 0
અહીં, a = 1, b = 4, c = 5
આથી, b2- 4ac = 16 – 20 = -4 < 0
કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ના હોઈ શકે.
આથી, b2 – 4ac નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક ન મળે.
આથી, આપેલ સમીકરણને એક પણ વાસ્તવિક બીજ ના મળે.
(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)
2x2 – x – 6x + 3 = x2 + 5x – x - 5
2x2 – x – 6x + 3 - x2 - 5x + x + 5 = 0
x2 – 11x + 8 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)
x2 – 2x + x – 2 = x2 – x + 3x – 3
x2 – 2x + x – 2 - x2 + x - 3x + 3 = 0
-3x + 1 = 0
3x – 1 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
x2 – 2x = (-2)(3 - x) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
x2 – 2x = (-2)(3 - x)
x2 – 2x = -6 + 2x
x2 – 2x + 6 – 2x = 0
x2 – 4x + 6 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ x2 – 2x = (-2)(3 - x) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
(x + 1)2 = 2(x - 3) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
(x + 1)2 = 2(x - 3)
x2 + 2x + 1 = 2x – 6
x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
x2 + x + 7 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x + 1)2 = 2(x - 3)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
(x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
(x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)
2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
x2 + x – 6x – 3 - 5x = 0
x2 – 10x – 3 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
સમીકરણ 3x2 – 2x + 
= 0 નો વિવેચક શોધો. તે પરથી સમીકરણનાં બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો. જો તે વાસ્તવિક હોય તો મેળવો.
જવાબ :
અહીં,
a = 3, b = -2, c =
આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-2)2 – (4 X 3 X ) = 4 – 4 = 0
આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બંને બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
બીજ 
, અથાર્ત્ 
, 
અથાર્ત્ , છે.
સમીકરણ 
- 
= 3, x ≠ 0,2 સમીકરણનાં બીજ શોધો.
જવાબ :
x ≠ 0,2 હોવાથી, સમીકરણને x(x - 2) વડે ગુણતાં,
(x – 2) – x = 3x (x – 2) = 3x2 – 6x
આથી, આપેલ સમીકરણ પરિવર્તિત થઇ 3x2 – 6x + 2 = 0 બને.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
અહીં, a = 3 , b = -6, c = 2
આથી, b2- 4ac = 36 – 24 = 12 > 0
x = 
= 
= 
આમ, બીજ 
અને 
છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 – 4x + 3 = 0 નો વિચેચક શોધો અને તેના પરથી બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ
a = 2, b = -4, c = 3 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું છે.
આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-4)2 – (4 X 2 X 3) = 16 – 24 = -8 < 0
આથી, આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ શક્ય નથી.
સમીકરણ x + = 3, x ≠ 0 સમીકરણનાં બીજ શોધો.
જવાબ :
સમીકરણ x + = 3 ને x વડે ગુણતાં,
x2 + 1 = 3x
અથાર્ત્ x2 - 3x + 1 = 0
આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
અહીં, a = 1 , b = -3, c = 1
આથી, b2- 4ac = 9 – 4 = 5 > 0
x = 
આમ, બીજ 
અને 
છે.
સમીકરણ 2x2 –2√2x + 1 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4
x2 + 3x + 1 - x2 + 4x – 4 = 0
7x – 3 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
x2 - 55x + 750 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો. આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
Hide | Showજવાબ :
x2 - 55x + 750 = 0
x2 – 30x – 25x + 750 = 0
x(x - 30) - 25(x - 30) = 0
(x - 30) (x - 25) = 0
x - 30 = 0 અથવા x - 25 = 0
x = 30 અથવા x = 25
તેથી, સમીકરણ x2 - 55x + 750 = 0ના બીજ 30 અથવા 25 છે.
x2 - 45x + 324 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
x2 - 45x + 324 = 0
x2 – 36x – 9x + 324 = 0
x(x - 36) - 9(x - 36) = 0
(x - 36) (x - 9) = 0
x - 36 = 0 અથવા x - 9 = 0
x = 36 અથવા x = 9
તેથી, સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0ના બીજ 36 અથવા 9 છે.
100x2 - 20x + 1 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
100x2 - 20x + 1 = 0
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0
(10x - 1) (10x - 1) = 0
10x - 1 = 0 અથવા 10x - 1 = 0
x = 
અથવા x =
તેથી, સમીકરણ 100x2 - 20x + 1 = 0ના બીજ અથવા છે.
જવાબ :
2x2 - x + 
= 0
16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x - 1) + 1(4x - 1) = 0
(4x - 1) (4x - 1) = 0
4x - 1 = 0 અથવા 4x - 1 = 0
x = 
અથવા x =
તેથી, સમીકરણ 2x2 - x + = 0ના બીજ અથવા છે.
2x2 + x – 6 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
2x2 + x – 6 = 0
2x2 – 4x + 3x – 6 = 0
2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0
(x - 2) (2x + 3) = 0
x - 2 = 0 અથવા 2x + 3 = 0
x = 2 અથવા x = - 
તેથી, સમીકરણ 2x2 + x – 6 = 0ના બીજ 2 અથવા - છે.
x2 – 3x – 10 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.
Hide | Showજવાબ :
આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
x2 – 3x – 10 = 0
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
(x - 5) (x + 2) = 0
x - 5 = 0 અથવા x + 2 = 0
x = 5 અથવા x = -2
તેથી, સમીકરણ x2 – 3x – 10 = 0ના બીજ 5 અથવા -2 છે.
x3 – 4x2 – x + 1 = (x - 2)3 દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
Hide | Showજવાબ :
x3 – 4x2 – x + 1 = (x - 2)3
x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6x2 + 12x - 8
x3 – 4x2 – x + 1 - x3 + 6x2 - 12x + 8 = 0
2x2 – 13x + 9 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
(x - 2)3 = 2x(x2 - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો. આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,
Hide | Showજવાબ :
(x - 2)3 = 2x(x2 - 1)
x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x
x3 + 6x2 + 12x + 8 - 2x3 + 2x = 0
-x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
x3 - 6x2 - 12x - 8 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 નાં બીજ અવયવ પાડીને શોધો.
Hide | Showજવાબ :
આપણે સૌપ્રથમ મધ્યમ પદ -5x ના બે ભાગ -2x અને -3x કરીએ
[કેમ કે (-2x) X (-3x) = 6x2 = (2x2) X 3]
આથી, 2x2 – 5x + 3 = 2x2 – 2x -3x + 3 = 2x (x - 1) -3(x - 1) = (2x – 3)(x - 1)
હવે, 2x2 – 5x + 3 = 0 ને (2x – 3)(x - 1) લખી શકાય.
આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 તથા (2x – 3)(x - 1) = ૦ માટેના xનાં મુલ્યો સમાન હશે.
અથાર્ત્ 2x – 3= ૦ અથવા x - 1 = ૦
હવે, 2x – 3= ૦ પરથી x =
અને x - 1 = ૦ પરથી x = 1 મળશે.
આથી, x = અને x = 1 આપેલ સમીકરણના ઉકેલ હશે.
બીજા શબ્દોમાં અને 1 સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ 6x2 – x – 2 = 0 નાં બીજ શોધો.
Hide | Showજવાબ :
અહીં, 6x2 – x – 2 = 6x2 + ૩x – 4x – 2
= 3x ( 2x + 1) – 2 (2x + 1)
= (3x - 2)(2x + 1)
6x2 – x – 2 = 0 નાં બીજ એ (3x - 2)(2x + 1) = 0 દ્વારા મળતાં xનાં મૂલ્યો છે.
આથી, 3x – 2 = 0 અથવા 2x + 1 = 0
અથાર્ત્, x = અને x = -
આથી, 6x2 – x – 2 = 0 નાં બીજ અને - છે. 2
દ્વિઘાત સમીકરણ 3x2 – 2
x – 2 = 0 નાં બીજ શોધો.
જવાબ :
3x2 – 2x – 2 = 3x2 –x - x + 2
= 
x(x – 
) – (x – )
= (x – ) (x – )
આથી, સમીકરણનાં બીજ (x – ) (x –) = 0 થાય તેવા xનાં મૂલ્યો છે.
આમ, (x – ) = 0 પરથી x = 
આથી, આ બીજ બે વખત પુનરાવર્તિત અવયવ x – ને સંગત મળે છે.
આમ, 3x2 – x – 2 = 0નાં બીજ , છે.
સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0ને પૂર્ણવર્ગની રીતે ઉકેલો.
Hide | Showજવાબ :
સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 અને x2 – 
x + = 0 સમાન છે.
હવે,
x2 – x + = (x – 
)2 – ()2 + 32 = (x – )2 – 
આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 ને(x – )2 – = 0 તરીકે પણ લખી શકાય.
આથી સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0નાં બીજ અને (x – )2 – = 0 નાં બીજ સમાન જ છે.
હવે, (x – )2 – = 0 અને (x – )2 = સમાન છે.
x – =± 
x = ±
x = + અથવા x = -
x = 
અથવા x = 1 છે.
સમીકરણ 5x2 – 6x - 2 = 0નાં બીજ પૂર્ણવર્ગની રીતે શોધો.
Hide | Showજવાબ :
સમીકરણની બંને બાજુ 5 વડે ગુણતાં,
25x2 – 30x - 10 = 0 મળે.
આથી,
(5x)2 – 2 X (5x) X (3) + 32 – 32 – 10 = 0
(5x - 3)2 – 9 – 10 = 0
(5x - 3)2 – 19 = 0
5x – 3 = ±
5x = 3 ±
આમ, x = 
આથી બીજ 
અને 
છે.
સમીકરણ 2x2 + x – 528 = 0ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો. (આપેલ સમીકરણ લંબચોરસ જમીનના ટુકડાનું છે)
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે જમીનની પહોળાઈ x મીટર છે. આથી, લંબાઈ (2x + 1) મીટર થાય.
આપણને આપેલ છે કે,x(2x + 1) = 528 અથાર્ત્ 2x2 + x – 528 = 0
a = 2, b = 1, c = -528 માટે,
આ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે.
આથી દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,
x = 
= 
= 
x = 
અથવા x = -
x =16 અથવા x = - 
પરંતુ x ઋણ ના હોઈ શકે, કેમ કે તે એક પરિમાણ છે. આથી, ખંડની પહોળાઈ 16 મીટર અને આથી લંબાઈ 33 મીટર થાય.
13 મીટર વ્યાસવાળા એક વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પરના એક બિંદુએ એક થાંભલો એવી રીતે લગાવેલ છે કે જેથી આ બગીચાના એક વ્યાસનાં બંને અંત્યબિંદુઓ A અને B આગળ બનેલ ફાટકથી થાંભલાના અંતરનો તફાવત 7 મીટર હોય. શું આ શક્ય છે? જો હા, તો બંને ફાટકથી કેટલે દુર થાંભલો લગાવવો જોઈએ.
Hide | Show
જવાબ :
સૌપ્રથમ રેખાકૃતિ બનાવતા.
ધારો કે P થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે. ધારો કે થાંભલાથી ફાટક Bનું અંતર xમી,
અથાર્ત્ BP = xમી.
હવે, થાંભલાથી બંને ફાટકના અંતરનો તફાવત = AP – BP = 7મી
આથી, AP = (x + 7) મી
હવે, AB વ્યાસ હોવાથી, AB = 13મી
∠ APB = 90°
હવે, AP2 + PB2 = AB2
(x + 7)2 + x2 = 132
x2 + 14x + 49 + x2 = 169
2x2 + 14x -120 = 0
આથી, થાંભલાનું ફાટક Bથી અંતર x એ સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0 નું સમાધાન કરે છે.
આથી હો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તો, થાંભલાનું સ્થાન નક્કી કરવું શક્ય બને.
આ શક્ય છે કે કેમ, તે જોવા વિવેચકનો વિચાર કરીએ.
વિવેચક b2 – 4ac = 72 – 4 X 1 X (-60) = 289 > 0
આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બે બીજ વાસ્તવિક બીજ છે અને આથી બગીચાની સીમા પર થાંભલો લગાવવાનું શક્ય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0ને દ્વિઘાત સૂત્રથી ઉકેલતાં,
x = 
= 
પરંતુ, થાંભલા અને ફાટક B વચ્ચેનું અંતર હોવાથી, તે ધન જ હોવું જોઈએ.
આથી, x = -12 ને અવગણવું જોઈએ, આથી x = 5
આથી, સીમા પર થાંભલો એ રીતે લગાવવો જોઈએ કે જેથી તેનું ફાટક B થી અંતર 5 મી અને ફાટક A થી અંતર 12મી હોય.
એક મોટરબોટની શાંત પાણીમાં ઝડપ 18કિમી/કલાકની છે. જો પ્રવાહની સમી દિશામાં 24 કિમી અંતર કાપવા લાગતો સમય, પ્રવાહની દિશામાં તેટલું જ અંતર કાપવા લાગતા સમય કરતાં 1 કલાક વધુ હોય, તો પ્રવાહની ઝડપ શોધો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે, પ્રવાહની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.
આથી, પ્રવાહની સામી બાજુ જતાં મોટરબોટની ઝડપ = (18 – x) કિમી/કલાક અને
પ્રવાહની સામી બાજુ જવા લાગતો સમય = 
= 
કલાક
આ જ પ્રમાણે પ્રવાહની દિશામાં જવા લાગતો સમય = કલાક
પ્રશ્નની માહિતી પરથી
- 
= 1
24(18 + x) – 24 (18 - x) = (18 - x)(18 + x)
x2 + 18x – 324 = 0 482
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x =
= 
= 
= 6 અથવા -54
પરંતુ, x એ પ્રવાહની ઝડપ હોવાથી ઋણ હોઈ શકે નહિ. આથી બીજ x = -54 ને અવગણતાં, x = 6 મળે.
આથી, પ્રવાહની ઝડપ કિમી/કલાક છે.
એક એવો લંબચોરસ બગીચો બનાવવો છે કે જેની પહોળાઈ તેની લંબાઈ કરતાં 3મી ઓછી હોય, તેનું ક્ષેત્રફળ જેનો પાયો લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ જેટલો હોય અને વેધ 12મી હોય તેવા પહેલેથી બનેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણકાર બગીચાનાં ક્ષેત્રફળ કરતાં 4 મી2 વધુ હોય લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ અને પહોલાઈ શોધો.
Hide | Show
જવાબ :
ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ x મી છે.
આથી, તેની લંબાઈ = (x + 3)મી
આથી, લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ = x(x + 3) મી2 = (x2 + 3x) મી2
હવે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો = x મી
આથી તેનું ક્ષેત્રફળ = X x X 12 = 6x મી2
આપણી જરૂરીયાત મુજબ,
x2 + 3x = 6x + 4
x2 - 3x - 4 = 0
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x =
=
= 4 અથવા -1
પરંતુ x ≠ -1
આથી, x = 4
આમ, બગીચાની પહોળાઈ = 4મી અને લંબાઈ 7મી થશે.
જવાબ :
ધારો કે બે ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પૈકી નાની સંખ્યા x છે. આથી બીજી સંખ્યા x + 2 થાય.
આપેલ પ્રશ્ન મુજબ,
x2 + (x + 2)2 = 290
x2 + x2 + 4x + 4 = 290
2x2 + 4x - 286 = 0
x2 + 2x - 143 = 0
આ xમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x =
= 
= 
x = 11 અથવા x = -13
પરંતુ x ધન અયુગ્મ સંખ્યા આપેલ છે.
x ≠ -13. આથી x = 11
આથી, માંગેલ બે ક્રમિક યુગ્મ પૂર્ણાકો 11 અને 13 છે.
જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે. તેની લંબાઈ (મીટરમાં), તેની પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે. આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ x મીટર છે.
અને લંબચોરસની પહોળાઈ 2x + 1 મીટર થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x(2x + 1) થશે.
લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે.
x(2x + 1) = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 + x – 528 = 0 છે.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર 306 છે. આપણે આ ધન પૂર્ણાકો શોધવા છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે પ્રથમ ધન પૂર્ણાંક x છે.
તેથી બીજો ધન પૂર્ણાંક x + 1 છે.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.
x(x + 1) = 306
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + x – 306 = 0 છે.
રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટાં છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે. આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
તેથી, રોહનની માતાની હાલની ઉંમર x + 26 વર્ષ થાય.
આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે.
3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર x + 3 વર્ષ થાય.
3 વર્ષ પછી રોહનની માતાની ઉમર x + 26 + 3 = x + 29 વર્ષ થાય.
(x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 3x + 29x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x - 273 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 32x - 273 = 0 છે.
એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચલ ગતિથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું અંતર કાપવા 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.
તેથી, લાગતો સમય 480 
થાય.
જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું અંતર કાપવા 3 કલાક વધુ લે છે.
તેથી, લાગતો સમય 
- =3
= 3
480x – 480x + 3640 = 3x(x - 8)
480x – 480x + 3640 = 3x2 – 24x
3640 – 3x2 + 24x = 0
3x2 - 24x – 3640 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 3x2 - 24x – 3640 = 0 છે.
બે એવી સંખ્યાઓ એવી રીતે શોધો કે જેમનો સરવાળો 27 અને ગુણાકાર 182 હોય.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 27 છે.
તેથી બીજી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 182 છે.
x(27 - x) = 182
27x - x2 - 182 = 0
-x2 + 27x – 182 = 0
x2 - 27x + 182 = 0
x2 -13x - 14x + 182 = 0
x(x - 13) - 14(x - 13) = 0
(x - 13) (x - 14) = 0
x - 13 = 0 અથવા x - 14 = 0
x = 13 અથવા x = 14
તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.
જેના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય તેવી બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે. તેથી બીજી સંખ્યા x + 1 થશે.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય છે.
x2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 – 365 = 0
2x2 + 2x - 364 = 0
x2 -13x + 14x - 182 = 0
x(x - 13) + 14(x - 13) = 0
(x - 13) (x + 14) = 0
x - 13 = 0 અથવા x + 14 = 0
x = 13 અથવા x = -14
અહીં આપણને ધન પૂર્ણાંકો જોઈએ છે.
તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.
એક કાટકોણ ત્રિકોણનો વેધ તેના પાયા કરતાં 7 સેમી નાનો છે. જો કર્ણની લંબાઈ 13 સેમી હોય, તો બાકી બાજુનાં માપ શોધો.
Hide | Showજવાબ :
ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો x છે. તેથી ત્રિકોણનો વેધ x – 7 થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર
(પાયા)2 + (વેધ)2 = (કર્ણ)2
x2 + (x - 7)2 = 132
x2 + x2 – 14x + 49 = 169
2x2 – 14x – 120 = 0
x2 – 7x – 60 = 0
x2 -12x + 5x - 60 = 0
x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
(x - 12) (x + 5) = 0
x - 12 = 0 અથવા x + 5 = 0
x = 12 અથવા x = -5
ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ત્રિકોણનો પાયો x = 12 અને ત્રિકોણનો વેધ x – 7 = 12 – 7 = 5 થશે.
Take a Test
પ્રકરણ 4 : દ્વિઘાત સમીકરણ
Browse & Download GSEB Books For Class 10 - All Subjects
- Science Book for GSEB Class 10
- Maths Book for GSEB Class 10
- English Book for GSEB Class 10
- Social Science Book for GSEB Class 10
- Gujarati Book for GSEB Class 10
- Hindi Book for GSEB Class 10
- Sanskrit Book for GSEB Class 10
The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.
The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.
For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.
