GSEB Solutions for Class 10 Math

GSEB Solutions for class 10 Math Chapters Wise :

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 .... આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહીં? જો હોય તો તેના પછીના બે પદ લખો.

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

a2 – a1 = 1 – 1  = 0

a3 – a2 = 1 – 1 = 0

a4 - a3 = 2 – 1 = 1

અહીં, a2 – a1 = a3 – a2 પરંતુ a3 – a2 ≠ a4 - a3

આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી. 

-2, 2, -2, 2, -2 .... આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહીં? જો હોય તો તેના પછીના બે પદ લખો.

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

a2 – a1 = 2 – (-2)  = 2 + 2 = 4

a3 – a2 = -2 – 2 = -2 – 2 = -4

આમ, a2 – a1 ≠ a3 – a2  

આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

1, -1, -3, -5, .... આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહીં? જો હોય તો તેના પછીના બે પદ લખો.

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

a2 – a1 = -1 – 1  = -2

a3 – a2 = -3 – (-1) = -3 + 1 = -2

a4 - a3 = -5 – (-3) = -5 + 3 = -2

અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે.

આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = -2 છે.

આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે.

પછીના બે પદ: -5 + (-2) = -7 અને -7 + (-2) = -9 છે.  

4, 10, 16, 22, .... આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહીં? જો હોય તો તેના પછીના બે પદ લખો.

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

a2 – a1 = 10 – 4 = 6

a3 – a2 = 16 – 10 = 6

a4 - a3 = 22 – 16 = 6

અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે.

આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = 6 છે.

આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે.

પછીના બે પદ: 22 + 6 = 28 અને 28 + 6 = 34 છે.   

સમાંતર શ્રેણી , , - , - , ... માટે પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લખો. (ઉદાહરણ – 1)

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a =  , d =  -  = -1

અનંત સમાંતર શ્રેણી કોને કહેવાય છે?

 

Hide | Show

જવાબ :

જે સમાંતર શ્રેણીમાં અંતિમ પદ ન મળે તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે.

સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કોને કહેવાય છે?

 

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લેતાં, a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...... સમાંતર શ્રેણી દર્શાવે છે. આને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કહેવાય છે.

સમાંતર શ્રેણીના ઉદાહરણ આપો.

 

Hide | Show

જવાબ :

ઉદાહરણ – 1:

એક શાળામાં સવારની સભામાં એક હારમાં ઉભેલા કેટલાક વિદ્યાર્થીઓની ઉંચાઈ (સેમીમાં) 147, 148, 149 ...... 157 છે.

અહીં, હારમાં ઉભેલા દરેક વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈમાં એક સેન્ટીમીટરનો વધારો થાય છે.

ઉદાહરણ – 2:

કોઈ શહેરના જાન્યુઆરી મહિનાના એક સપ્તાહના ન્યૂનતમ તાપમાનની વધતા ક્રમમાં નોંધણી (ડીગ્રી સેલ્સીયસમાં) -3.1, -3.૦, -2.9, -2.8, -2.7, -2.6, -2.5 છે.

અહીં, પ્રત્યેક પદ મેળવવા તેની આગળના પદમાં 0.1નો ઉમેરો કરવામાં આવે છે.

સમાંતર શ્રેણીમાં નિશ્ચિત તફાવત એટલે શું? આ નિશ્ચિત તફાવત કયો હોઈ શકે? 

 

 

Hide | Show

જવાબ :

સમાંતર શ્રેણીમાં નિશ્ચિત સંખ્યાને નિશ્ચિત તફાવત કહેવાય છે. તે ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

સમાંતર શ્રેણીની વ્યાખ્યા આપો.

 

Hide | Show

જવાબ :

જેમાં પ્રથમ પદ સિવાયના પ્રત્યેક પદ, આગળના પળમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરી મેળવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની યાદી એ સમાંતર શ્રેણી છે.

ટેક્સીનું ભાડું: પ્રથમ કિલોમીટર માટે 15 રૂપિયા અને પછીના વધારાના પ્રત્યેક કિલોમીટર માટે 8 રૂપિયા છે. આ સ્થિતિમાં સંખ્યાની સમાંતર શ્રેણી બને છે કે નહિ?

 

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1 = 15

બીજા કિલોમીટર માટે a2 = 15 + 8 = 23

ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3 = 23 + 8 = 31

ચોથા કિલોમીટર માટે a4 = 31 + 8 = 39

a2 – a1 = 23 – 15 = 8

a3 – a2 = 31 – 23 = 8

a4 - a3 = 39 – 31 = 8

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 8 છે.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ: હવા કાઢવાના પંપ દ્વારા દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલી હવાનો 1/4 ભાગ બહાર કાઢે છે. આ સ્થિતિમાં સંખ્યાની સમાંતર શ્રેણી બને છે કે નહિ?

 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

પ્રત્યેક મીટરના ખોદકામ બાદ એક કુવો ખોદવા માટે લાગતો ખર્ચ: પ્રથમ મીટરના 150 રૂપિયા અને પછીના પ્રત્યેક મીટર દીઠ 50 રૂપિયા પ્રમાણે વધતો જાય છે. આ સ્થિતિમાં સંખ્યાની સમાંતર શ્રેણી બને છે કે નહિ?

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​1 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a1 = 150

2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2 = 150 + 50 = 200

3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3 = 200 + 50 = 250

4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4 = 250 + 50 = 300

a2 – a1 = 200 – 150 = 50

a3 – a2 = 250 – 200 = 50

a4 - a3 = 300 – 250 = 50

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 50 છે.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

8%ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ દરથી શરૂઆતની રકમ 10000 મુકેલ હોય, તો દર વર્ષે ખાતામાં જમા થતી રકમ. આ સ્થિતિમાં સંખ્યાની સમાંતર શ્રેણી બને છે કે નહિ?

Hide | Show

જવાબ :

શરૂઆતની રકમ a1 = 10000

1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2 = 10000 (1 + )1 = 10800

2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3 = 10800 (1 + )2 = 12597

3 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4 = 12597 (1 + )3 = 15869

a2 – a1 = 10800 – 10000 = 800

a3 – a2 = 12597 – 10800 = 1797

a4 - a3 = 15869 – 12597 = 3272

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

a = 10, d = 10, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો.

 

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= 10

બીજું પદ a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20

ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30

ચોથું પદ a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.

a = -2 , d = 0, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= 10

બીજું પદ a2 = a1 + d = -2 + 0 = -2

ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -2 + 0 = -2

ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 + 0 = -2

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.

a = 4 , d = -3, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= 4

બીજું પદ a2 = a1 + d = 4 – 3 = 1

ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 1 – 3 = -2

ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 – 3 = -5

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, 1, -2, -5 છે.

3, 1, -1, -3, … આ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= 3

સામાન્ય તફાવત d = a2 ­a1 = 1 - 3 = -2  

a = -1.25 , d = -0.25, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= -1.25

બીજું પદ  a2 = a1 + d = -1.25 – 0.25 = -1.50

ત્રીજું પદ  a3 = a2 + d = -1.50 – 0.25 = -1.75

ચોથું પદ a4 = a3 + d = -1.75 – 0.25 = -2.00

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.

a = -1 , d = 1/2, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ શોધો.

 

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1= -1

બીજું પદ  a2 = a1 + d = -1 + 12 = -12

ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -12 + 12 = 0

ચોથું પદ a4 = a3 + d = 0 + 12 = 12

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1, -12, 0, 12 છે.

એક બટાકા ઉપાડવાની હરીફાઈમાં આરંભ બિંદુ પર એક ડોલ રાખેલ છે અને ત્યારબાદ તેનાંથી 5મી દુર પ્રથમ બટાકું મૂકેલ છે ત્યાર પછી દર ત્રણ મીટરે એક બટાકું સીધી રેખામાં ગોઠવેલ છે. આવાં 10 બટાકા રેખા પર મુકેલ છે. (જુઓ આકૃતિ)

Hide | Show

જવાબ :

દરેક હરીફે બાલદી પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકુ ઉપાડી, પાછા આવી બાલદીમાં નાંખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું બાલદીમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે?

(સુચન: પ્રથમ અને દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર(મીટરમાં) 2 X 5 + 2 X (5 + 3) ]

પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X 5 = 10

બીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 3)  = 2 X 8 = 16

ત્રીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 6)  = 2 X 11 = 22

તેથી સમાંતર શ્રેણી 10, 16, 22, ... , મળે.

અહીં a = 10, d = 16 – 10 = 6, n = 10 છે. તેમજ Sn = ?    

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S10  =   [2 X 10 + (10 – 1)( 6)]

S10  = 5[20 + (9)( 6)]

S10  = 5[20 + 54]

S10  = 5 X 74

S10  = 370 મીટર

વારાફરતી A અને Bને કેન્દ્ર તરીકે લઇ ક્રમિક અર્ધવર્તુળોની મદદથી એક કુંતલ બનાવેલ છે. તેની શરૂઆત A થી થાય છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી,   2.0 સેમી ... હોય તો આવા 13 ક્રમિક અર્ધવર્તુળોથી બનતા કુંતલની લંબાઈ શોધો. (π=  લો.)

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = ( 2π r )    

અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી,   2.0 સેમી ... છે.

તેથી, પ્રથમ કુંતલની લંબાઈ l1 = 0.5π 

બીજા કુંતલની લંબાઈ l2 = 1.5π 

ત્રીજા કુંતલની લંબાઈ l3 = 2.0π 

ચોથા કુંતલની લંબાઈ l4 = 2.5π 

અહીં a = 0.5π, d = 1.5π – 0.5π = 0.5π, n = 13 છે. તેમજ S13 = ?    

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S13  =   [2 X 0.5π + (13 – 1)( 0.5π)]

S 13  =   [2 X 0.5π + (12)( 0.5π)]

S 13  =  13[0.5π + (6)( 0.5π)]

S 13  =  13[0.5π + 3.0π]

S 13  =  13[3.5π]

S 13  = 13 X 3.5 X

S 13  = 13 X 0.5 X 22

S 13  = 143 સેમી

એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓ વાયુ પ્રદુષણ ઓછું કરવા માટે શાળાની અંદર અને બહાર વૃક્ષ વાવવાનું વિચારે છે. એવું નક્કી કરાયું કે પ્રત્યેક ધોરણનો પ્રત્યેક વિભાગ તે જે ધોરણમાં ભણતા હોય તેટલા વૃક્ષો વાવશે. દાખલા તરીકે ધોરણ એકનો વિભાગ 1 વૃક્ષ, ધોરણ બેનો વિભાગ 2 વૃક્ષ અને આવું ધોરણ બાર  સુધી ચાલશે. દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે. આ વિધાર્થીઓ દ્વારા કેટલાં વૃક્ષોનું વાવેતર થશે?

Hide | Show

જવાબ :

દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે.

તેથી, વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X ધોરણ

ધોરણ એક દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 1 = 3

ધોરણ બે દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 2 = 6

ધોરણ ત્રણ દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 3 = 9            

તેથી a = 3, d = 6 – 3 = 3, n = 12 છે. તેમજ S12 = ?    

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S12  =   [2 X 3 + (12 – 1)(3)]

S12  =  6[6 + 11(3)]

S12  =  6[6 + 33]

S12  =  6 X 39

S12  =  234

કોઈ એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓના સમગ્ર શૈક્ષણિક પ્રદર્શન માટે અપાતા 7 ઇનામો માટે કુલ 700 રૂપિયાની જોગવાઈ કરવાની છે. જો પ્રત્યેક ઇનામ આગળના ઇનામ કરતાં 20 રૂપિયા ઓછું હોય, તો પ્રત્યેક ઇનામની રકમ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં a = ?, d = 20, n = 7 છે. તેમજ S7 = 700    

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

700  [2a + (7 – 1) (20)]

700  [2a + 6(20)]

700  [2a + 120]

700 = 7[a + 60]

a + 60 =

a + 60 = 100

a = 100 – 60

a = 40

તેથી, ઇનામોની શ્રેણી 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 થશે.

પરંતુ ઇનામની રકમ ઉતરતા ક્રમમાં હોય છે તેથી ઇનામો 160, 140 , 120, 100, 80, 60, 40, થશે.

નિર્માણ કામ માટે થયેલ કરારમાં નિશ્ચિત તારીખ કરતાં વિલંબથી પૂરા થતાં કામ માટે નીચે પ્રમાણેના દંડની જોગવાઈ છે:

પ્રથમ દિવસ માટે 200 રૂપિયા, બીજા દિવસ માટે 250 રૂપિયા, ત્રીજા દિવસ માટે 300 રૂપિયા. પ્રત્યેક દિવસ માટે દંડ રકમ માટે આગળના દિવસ કરતાં 50 રૂપિયા વધુ છે. જો કોન્ટ્રાકટર ૩૦ દિવસનો વિલંબ કરે તો તેણે ભરવી પડતી દંડની રકમ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

દંડની ભરવી પડતી રકમ = 200, 250, 300, … થશે.

અહીં a = 200, d = 250 – 200 = 2, n = 50 છે. તેમજ S30 = ?    

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S30  =   [2 X 200 + (30 – 1)(50)]

S30  =  15[400 + (29)(50)]

S30  =  15[400 + 1450]

S30  =  15[1850]

S30  =  27750

જે સમાંતર શ્રેણીમાં d = 7 અને 22મું પદ 149 હોય, તો તેના 22 પદોનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a22  = 149, d = 7,  S22 = ?

an = a + (n – 1)d

149 = a + (22 – 1)7

149 = a + 21 X 7

149 = a + 147

a = 149 - 147

a = 2

હવે,

Sn  =   (a + a22)

Sn  =   (2 + 149)

Sn  = 11 X 151

Sn  = 1661

સમાંતર શ્રેણીનું બીજું અને ત્રીજું પદ અનુક્રમે 14 અને 18 હોય, તો તેના પ્રથમ 51 પદોનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a2  = 14, a2  = 18, d =  18 – 14 = 4,  S21 =

an = a + (n – 1)d

a3 = a + (3 – 1)4

14 = a + 2 X 4

14 = a + 8

a = 14 – 8

a = 6

હવે   

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S51  =   [2 X 6 + (51 – 1)4]

S51  =   [12 + (50)4]

S51  =   [12 + 200]

S51  =   X 212

S51  = 51 X 106

S51  = 5406

6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો. 6થી વિભાજ્ય સંખ્યાઓ 6, 12, 18, ... છે.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 6, d = 12 – 6 = 6 છે, તેમજ S40 = ?

હવે,

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S40  =   [2 X 6 + (40 – 1)(6)]

S40  =  20[12 + (39)(6)]

S40  =  20[12 + 234]

S40  =  20 X 246

S40  =  4920

8 ના પ્રથમ 15 ગુણીતોનો સરવાળો શોધો. 8ના ગુણીતો 8, 16, 32, ... છે.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 8, d = 16 – 8 = 8 છે. તેમજ S15 = ?

હવે,

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S15  =   [2 X 8 + (15 – 1)(8)]

S15  =   [16 + (14)(8)]

S15  =   [16 + 112]

S15  =    X 128

S15  = 15 X 64

S15  = 960

0 અને 15 વચ્ચેના યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો. 0 અને 15 વચ્ચેના યુગ્મ પૂર્ણાંકો 1, 3, 5, ..., 49 છે.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 25 છે. તેમજ S25 = ?    

હવે,

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S25  =   [2 X 8 + (25 – 1)(2)]

S25  =   [2 + (24)(2)]

S25  =   [2 + 48]

S25  =   [50]

S25  = 25 X 25

S25  = 625

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ અને અંતિમ પદ અનુક્રમે 17 અને 350 છે. જો સામાન્ય તફાવત 9 હોય, તો તેમાં કેટલા પદ હશે અને તેમનો સરવાળો કેટલો થશે?

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 17, l = 350, d = 9, Sn = ? , n =?

an = a + (n – 1)d

350 = 17 + (n – 1)9

350 = 17 + 9n – 9

350 = 9n + 8

350 – 8 = 9n

342 = 9n

n =  

n = 38

હવે,

Sn  =   (a + l)

S38  =   (17 + 350)

S38  = 19 X 367

S38  = 6973

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 5, અંતિમ પદ 45 અને સરવાળો 400 છે. શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 5, l = 45, Sn = 400, તેમજ n = ? અને d = ?

Sn  =   (a + l)

400  (5 + 45)

400  X 50

500 = n X 25

n =

n = 16
હવે,

an = a + (n – 1)d

45 = 5 + (16 - 1)d

45 = 5 + 15d

45 – 5 = 15d

40 = 15d

d =   

d =   

સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, … ના કેટલાં પદોનો સરવાળો 636 થાય?

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

636  =   [2 X 9 + (n – 1)8]

636 [18 X 8n – 8]

636 = n [9 + 4n – 4]

636 = n [4n + 5]

636 = 4n2 + 5n

4n2 + 5n – 636 = 0

4n2 + 53n – 48n – 636 = 0

n (4n + 53) – 12(4n + 53) = 0

(4n + 53)(n - 12) = 0

4n + 53 = 0 કે n – 12 = 0

4n =- 53 કે n = 12

n = -  કે n = 12

પદોની સંખ્યા ઋણ પૂર્ણાંક કે અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે.

n = 12

સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, … ના 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.

સમાંતર શ્રેણીમાં l = 28, , Sn = 192 આપેલ હોય અને પદોની સંખ્યા 9 હોય, તો a શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, l = 28, , Sn = 192

Sn  =   (a + l)

144  (a + 28)

 = a + 28

32 = a + 28

a = 28 - 32

a = 4

સમાંતર શ્રેણીમાં a = 3, n = 8, Sn = 192  આપેલ હોય, તો d શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં,  a = 3, n = 8, Sn = 192

Sn  =   (a + an)

192  (3 + an)

192 = 4(3 + an)

 = 3 + an

48 = 3 + an

an = 48 – 3

an = 45

હવે,

an = a + (n – 1)d

a8 = 3 + (8 – 1)d

45 = 3 + 7d

7d = 45 – 3

7d = 42

d = 6

સમાંતર શ્રેણીમાં a = 8, an = 62, Sn = 210  આપેલ હોય, તો d અને n શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં,

a = 8, an = 62, Sn = 210

Sn  =   (a + an)

210  (8 + 62)

210  (70)

210  (35)

 = n

n = 6

હવે,

an = a + (n – 1)d

62 = 8 + (6 – 1)d

62 – 8 = 5d

54 = 5d

d =   

સમાંતર શ્રેણી , , ,.... નો 11 પદ સુધીનો સરવાળો કરો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = , સામાન્ય તફાવત d =  –  = , S11 = ?.

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S11  =   [2 X  + (11 – 1) X ]

S11  =   [ + ]

S11  =   [ ]

S11  = 

S11  = 

સમાંતર શ્રેણી 0.6, 1.7, 2.8,.... નો 100 પદ સુધીનો સરવાળો કરો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 0.6 = 5, S100 = ?.

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S100  =   [2 X 0.6 + (100 – 1) X 1.1]

S100  =  50[1.2 + 99 X 1.1]

S100  =  50[1.2 + 108.9]

S100  =  50 X 110.1

S100  = 5505

-5, -3, 3, 7, … આ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​પ્રથમ પદ a1= -5

સામાન્ય તફાવત d  = a2 ­a1 = - 3 – (-5) = 2

 ,  ,  , , … આ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1=

સામાન્ય તફાવત d = a2 ­a1 =   =

0.6, 1.7, 2.8, 3.9… આ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​પ્રથમ પદ a1= 0.6

સામાન્ય તફાવત d = a2 ­a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1

2, 4, 8, 16… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = 4 – 2 = 2

a3 – a2 = 8 – 4 = 4

a4 - a3 = 16 – 8 = 8

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

0.2, 0.22, 0.222, 0.2222… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = 0.22 0.2 = 0.02

a3 – a2 = 0.222 0.22 = 0.002

a4 - a3 = 0.222 0.222 = 0.0002

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

1, 3, 9, 27… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​a2 – a1 = 3 1 = 2

a3 – a2 = 9 3 = 6

a4 - a3 = 27 9 = 18

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

a, a2, a3, a4આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = a2 a = a

a3 – a2 = a3 a2 = a2

a4 - a3 = a4 a3 = a2

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

1, 32, 52, 72આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​a2 – a1 = 32 12 = 9 - 1 = 8

a3 – a2 = 52 32 =25 – 9 = 16

a4 - a3 = 72 52 = 49 – 25 = 24

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

સમાંતર શ્રેણી 2, 7, 12... નું 10મું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a = 2, d = 7 – 2 = 5 અને n = 10

હવે,

an = a + (n – 1)d

an = 2 + (10 – 1) X 5

    = 2 + 45 = 47

આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 10મું પદ 47 છે.

જેનું ત્રીજું પદ 5 અને 7મું પદ 9 હોય એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a3 = a + (3 - 1)d = a + 2d = 5 ..................(1)

અને a7 = a + (7 - 1)d = a + 6d = 9 ...................(2)

સુરેખ સમીકરણયુગ્મ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં,

a = 3, d = 1 મળે.

આથી, માંગેલ સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, 6, 7,.... છે.      

બે અંકની કેટલી સંખ્યાઓ 3 વડે વિભાજ્ય હશે? 3 વડે વિભાજ્ય બે અંકની સંખ્યાઓ: 12, 15, 18,..., 99 છે. શું આ સમાંતર શ્રેણી છે?

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​હા,

અહીં a = 12, d = 3, an = 99        

an = a + (n – 1)d હોવાથી,

99 = 12 + (n – 1) X 3

87 = (n – 1) X 3

n – 1 =  = 29

n = 29 + 1 = 30

આમ, 3 વડે વિભાજ્ય બે અંકના પૂર્ણાંકોની સંખ્યા 30 છે.

ફૂલોની એક ક્યારીમાં પ્રથમ હારમાં 23 ગુલાબના છોડ, બીજી હારમાં 21 ગુલાબના છોડ, ત્રીજી હારમાં 19 ગુલાબના છોડ, વગેરે છે. તેની છેલ્લી હારમાં 5 ગુલાબના છોડ છે. આ ક્યારામાં કુલ કેટલી હાર હશે?

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય,... હારમાં ગુલાબના છોડની સંખ્યા 23, 21, 19, ..., 5 છે.

ધારો કે, હારની સંખ્યા n છે.

અહી, a = 23, d = 21 – 23 = -2, an = 5

હવે, an = a + (n – 1)d હોવાથી,

5 = 23 + (n – 1)(-2)

-18 = (n – 1)(-2)

n = 29

આથી, ફૂલની ક્યારીમાં 10 હાર છે.

સમાંતર શ્રેણી 8, 3, -2, ના પ્રથમ 22 પદનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a = 8, d = ૩- 8 = -5, n = 22.

આપણે જાણીએ છીએ કે,

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

આથી, S22  =   [16 + 21(– 5)]

      = 11 (16 – 105)

      = 11 (-89)

      = -979

આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો -979 છે.

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 14 પદોનો સરવાળો 1050 હોય અને તેનું પ્રથમ પદ 10 હોય, તો તે શ્રેણીનું 20મુ પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, S14 = 1050, n = 14, a = 10

હવે, Sn  =   [2a + (n – 1)d]

આથી, 1050  =   [20 + 13d]

1050 = 140 + 91d

1050 – 140 = 91d

910 = 91d

d = 10

            આથી, a20 = 10 + (20 – 1) X 10 = 200

            અથાર્ત 20મું પદ 200 છે.     

સમાંતર શ્રેણી 24, 21, 18,.... નાં કેટલાં પદોનો સરવાળો 78 થાય.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 24, d = 21 – 24 = -3, Sn = 78.

આપણે n મુલ્ય શોધવું છે.

આપણે, જાણીએ છીએ કે,   

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

78  =   [48 + (n – 1)(-3)]

      =  [51 – 3n]

3n2 – 51n + 156 = 0

n2 – 17n + 52 = 0

(n-4) (n-13) = 0

n = 4 અથવા 13

nનાં બંને મુલ્યો શક્ય છે આથી, માંગેલ પદની સંખ્યા 4 અથવા 13 થાય.

પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​ધારો કે,  S1000 = 1 + 2 + 3 + ... + 1000

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોના સરવાળાના સૂત્ર,

Sn  =   (a + l)નો ઉપયોગ કરતાં,

S1000  =   (1 + 1000) = 500 X 1001 = 500500

આથી, પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો 500500 થાય.

પ્રથમ n ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​ધારો કે,  Sn = 1 + 2 + 3 + ... + 1000

અહીં, a = 1 અને અંતિમ પદ l=n છે.

આથી, Sn =  અથવા Sn =

આથી, પ્રથમ n ધન પૂર્ણાકોનો સરવાળો.   

Sn =   મળશે.  

જો n મું પદ an = 3 + 2n હોય, તો સંખ્યાઓની આ યાદીનાં પ્રથમ 24 પદોનો સરવાળો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

an = 3 + 2n, હોવાથી,

a1 = 3 + 2 = 5

a2 = 3 + 2 X 2 = 7

a3 = 3 + 2 X 3 = 9

....

આથી, સંખ્યાઓની યાદી 5, 7, 9, 11,... બને.

અહીં, 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 વગેરે.

આથી, તે સમાંતર શ્રેણી બને છે. સામાન્ય તફાવત d = 2.

S24 =  [2 X 5 + (24 – 1) X 2]

      = 12 [10 + 46] = 672

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ?

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં,

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ?

સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d

an = a + (n – 1)d

a8 = 7 + (8 – 1)3

a8 = 7 + 7 X 3

a8 = 7 + 21

a8 = 28

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ?, n = 10 અને an = 0

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ?, n = 10 અને an = 0

સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d

an = a + (n – 1)d

0 = -18 + (10 - 1)d

0 = -18 + 9d

9d = 18

d = 2

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ?, સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ?, સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5

સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d

an = a + (n – 1)d

-5 = a + (18 - 1)3

-5 = a – 51

a = 51 – 5

a = 46

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6

સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d

an = a + (n – 1)d

3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5

3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5

2.5n = 3.6 + 21.4

2.5n = 25

n = 10

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ?

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ?

સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d

an = a + (n – 1)d

a105 = 3.5 + (105 - 1)0

a105 = 3.5 + 0

a105 = 0

2, ____, 26 ખાલી જગ્યા માટેનું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 2, an ­= 26, an = ?

an = a + (n – 1)d

a3 = 2 + (3 – 1)d

26 = 2 + 2d

2d = 26 – 2

2d = 24

d = 12

હવે, બીજા પદ માટે

an = a + (n – 1)d

a2 = 2 + (2 – 1)12

a2 = 2 + 12

a2 = 14

તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.  

સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, … નું કેટલામું પદ 78 થાય ?

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a = 3, d = 8 – 3, a78 = ?

78માં પદ માટે, 

an = a + (n – 1)d

78 = 3 + (n – 1)(5)

78 – 3 = 5n – 5

75 + 5 = 5n

5n = 80

n = 16

સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, … નું 16મું પદ 78 થાય.

7, 13, 19, … , 205 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 7, d = 13 – 7 = 6

ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.

તેથી, an = 205 

an = a + (n – 1)d

205 = 7 + (n – 1)(6)

205 - 7 = 6n – 6

198 = 6n – 6

198 + 6 = 6n

6n = 204

n =  

n = 34

7, 13, 19, … , 205 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 34 છે.

18, 15 , 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 18, d = 15  – 18 = -  ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે. તેથી, an = -47

an = a + (n – 1)d

-47 = 18 + (n – 1) (- )

-47 - 18 = (n – 1) (- )

- 65 = (n – 1) (- )

- 65 = (n – 1) (- )

= n – 1

= n – 1

26 = n – 1

n = 26 + 1

n = 27

18, 15 , 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 27 છે.

સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, … નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકે ?

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 11, d = 11 – 3, a78 = ?

ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ – 150 છે.

તેથી an ­= -150

an = a + (n – 1)d

-150 = 11 + (n – 1)(-3)

-150 - 11 = (n – 1)(-3)

-161 = -3n + 3

-161 – 3 = -3n

- 164 = -3n

164 = 3n

3n = 

n = 54

સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે.

સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, … નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકેનહિ

કોઈ સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10માં પદ કરતાં 7 વધુ છે.

a­17 = a­10 + 7

a + 16d = a + 9d + 7

16d – 9d = 7

7d = 7

d = 7

સમાંતર શ્રેણી 3, 15, 27, 39, … નું કયું પદ 54માં પદ કરતાં 132 વધુ હશે?

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 – 3 = 12, 54માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ?

an = a54 + 132

a + (n - 1)d = a + 53d + 132

3 + (n - 1)(12) = 3 + 53(12) + 132

3 + 12n – 12 = 3 + 636 + 132

12n – 9 = 771

12n = 771 + 9

12n = 780

n =   

n = 65

બે સમાંતર શ્રેણીના સામાન્ય તફાવત સમાન છે, તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 હોય તો 1000માં પદનો તફાવત કેટલો થશે?

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે.

બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે.

તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 છે.

A + 99d – (a + 99d) = 100

A + 99d - a – 99d = 100

A – a = 100  

તેમના 1000માં પદનો તફાવત,

A + 999d – (a + 999d)

= A + 999d - a – 999d

= A – a

= 100  

ત્રણ અંકની કેટલી સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય?

7 થી વિભાજ્ય ત્રણ અંકોની સંખ્યા 105, 112, 119, ... , 994 મળે. 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 105, તેમજ d = 112 – 105 = 7, an = 994 માટે n = ?

an = a + (n - 1)d

994 = 105 + (n - 1)(7)

994 – 105 = (n – 1)(7)

889 = (n - 1)(7)

889 = 7n – 7

889 + 7 = 7n

7n = 896

n =

n = 128

તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.

10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત કેટલા હશે?

Hide | Show

જવાબ :

10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 12, 16, 20, ..., 248 મળે.

અહીં, a = 12, તેમજ d = 16 – 12 = 4, an = 248 માટે n = ?

an = a + (n - 1)d

248 = 12 + (n - 1)(4)

248 - 12 = (n - 1)(4)

236 = (n - 1)(4)

236 = 4n – 4

236 + 4 = 4n

4n = 240

n = 

n = 60

તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 60 હશે. 

nના ક્યાં મૂલ્ય માટે બે સમાંતર શ્રેણીઓ 63, 65, 67, … અને 3, 10, 17 નાં nમાં પદ સમાન થાય?

Hide | Show

જવાબ :

સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, … માટે a = 63 તેમજ d = 65 – 63 = 2

તેમજ સમાંતર શ્રેણી  3, 10, 17 માટે a = 3 તેમજ d = 10 – 3 = 7

હવે બંને શ્રેણીના nમાં પદ સમાન છે,    

a + (n - 1)d = a + (n - 1)d

63 + (n - 1) 2 = 3 + (n - 1) 7

63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7

61 + 2n = 7n – 4

2n – 7n = -4 – 61

-5n = -65

n =  

n = 13

એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો કે જેનું ત્રીજું પદ 16 અને 7મું પદ થી 12 વધુ હોય.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં a3 = 16, a7 = a5  + 12

an = a + (n - 1)d

an = a + 2d

16 = a + 2d

a + 2d = 16 ... ... ... ... (1)

7મું પદ 5માં પદથી 12 વધુ છે.

a7 = a5  + 12

a + 6d = a + 4d + 12

a + 6d - a - 4d = 12

2d = 12

d = 6

d = 6 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, 

a + 2 X 6 = 16

a + 12 = 16

a = 16 – 12

a = 4

તેથી સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ... મળે.

સમાંતર શ્રેણી -37, -33, -29,.... નો 12 પદ સુધીનો સરવાળો કરો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સામાન્ય તફાવત d = -33 (-37) = 4, S12 = ?.

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S12  =   [2 X (-37) + (12 – 1) X 4]

S12  =  6[-74 + 11 X 4]

S12  =  6[-74 + 44]

S12  =  6 X (-30)

S12  = -180

સમાંતર શ્રેણી 2, 7, 12,.... નો 10 પદ સુધીનો સરવાળો કરો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 – 2 = 5, S10 = ?.

Sn  =   [2a + (n – 1)d]

S10  =   [2 X 2 + (10 – 1) X 5]

S10  =  5[4 + 9 X 5]

S10  =  5[4 + 45]

S10  =  5 X 49

S10  = 245

રામકલી વર્ષના પ્રથમ અઠવાડિયે 5 રૂપિયાની બચત કરે છે, અને પછી દરેક અઠવાડિયે 1.75 રૂપિયાનો વધારો કરે છે, જો nમાં અઠવાડિયે તેની બચત 20.75 હોય તો nનું મુલ્ય શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, an = 20.75 માટે n = ?

an = a + (n - 1)d

20.75   = 5+ (n -1)(1.75)

20.75 – 5 = 1.75(n -1)

15.75 = 1.75(n -1)

(n -1) =  

(n -1) = 9

n = 9 + 1

n = 10

તેથી, 10માં અઠવાડિયે તેની બચત 20.75 રૂપિયા થશે.

સુબ્બારાવે 1995માં 5000 રૂપિયાના વાર્ષિક વેતનથી કામ શરુ કર્યું અને તેમને દર વર્ષે માસિક 200 રૂપિયાની વેતન વૃદ્ધિ મળે છે. ક્યાં વર્ષે તેમનું વેતન 7000 રૂપિયા થશે? 

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, an = 7000 માટે n = ?

an = a + (n - 1)d

7000 = 5000 + (n -1)(250)

7000 – 5000 = 250n – 250

2000 = 250n – 250

2000 + 250 = 250n

2250 = 250n

n =

n = 11

તેથી 11માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2006માં તેમનું વેતન 7000 રૂપિયા થશે.

3, 8, 13, … , 253 સમાંતર શ્રેણી હોય, તો તેનું છેલ્લેથી 20મું પદ શોધો. અહીં, છેલ્લેથી 20મું પદ શોધવાનું છે.

Hide | Show

જવાબ :

તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253તેમજ d = 3 – 8 = -5, a20 = ?

an = a + (n - 1)d

a20 = 253 + (20 - 1)(-5)

a20 = 253 + 19 (-5)

a20 = 253 – 95

a20 = 158

, ,  … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 =  -  

a3 – a2 =  -  

a4 - a3 =  -

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

ટેક્સીનું ભાડું; પ્રથમ કિલોમીટર માટે 15 અને પછીના વધારાના પ્રત્યેક કિલોમીટર માટે 8 છે. આપેલ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખી સમાંતર શ્રેણી કારણ સહીત બનાવો.  (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1  =  15

બીજા કિલોમીટર માટે a2  =  (15  +  8)  =  23

ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3  =  (23  +  8)  =  31         

ચોથા કિલોમીટર માટે a4  =  (31  +  8)  =  39

a2  -  a1  =  23  -  15  =  8

a3  -  a2  =  31  -  23  =  8

a4  -  a3  =  39  -  31  =  8

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 8 છે.

આથી આપેલી પરિસ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ;હવા કાઢવાના પંપ દ્વારા દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલી હવાનો  ભાગ બહાર કાઢે છે.આપેલ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખી સમાંતર શ્રેણી કારણ સહીત બનાવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ a1  =  x

a2  -  a1  =  x  -  x  =    -  x

a3  -  a2  =  x  -  x  =    -  x

a4  -  a3  =  x  -  x  =    -  x

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

પ્રત્યેક મીટરના ખોદકામ બાદ એક કુવો ખોદવા માટે લાગતો ખર્ચ; પ્રથમ મીટરના150 અને પછીના પ્રત્યેક મીટર દીઠ50 પ્રમાણે વધતો જાય છે. આપેલ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખી સમાંતર શ્રેણી કારણ સહીત બનાવો.  (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

1 મીટર ખોદવાની ખર્ચ a1  =  150

2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2  =   (150  +  50)  =  200

3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3  =   (200  +  50)  =  250

4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4  =   (250  +  50)  =  300

a2  -  a1  =  200  -  150  =  50

a3  -  a2  =  250  -  200  =  50

a4  -  a3  =  300  -  250  =  50

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 50 છે.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

8% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધી દર થી શરૂઆતની રકમ10000 મુકેલ હોયતો દર વર્ષે ખાતામાં જમા

થતી રકમ મેળવી આપેલ પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં રાખી સમાંતર શ્રેણી કારણ સહીત બનાવો. (સ્વાધ્યાય

5.1)

Hide | Show

જવાબ :

શરૂઆતની રકમ a1  =  10000

1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2  =  10000 (1  +  )2  =  10800

2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3  =  10800 (1  +  )2  =  12597

2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4  =  12597 (1  +  )2  =  15869

a2  -  a1  =  10800  -  10000  =  800

a3  -  a2  =  12597  -  10800  =  1797

a4  -  a3  =  15869  -  12597  =  3272

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

a  =  10d  =  10 આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  10

 બીજું પદ a2  =  a1  +  d  =  10  +  10  =  20

 ત્રીજું પદ a3  =  a2  +  d  =  20  +  10  =  30

 ચોથું પદ a4  =  a3  +  d  =  30  +  10  =  40

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10203040 છે.

a  =    -  2d  =  0 આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  -2

 બીજું પદ a2  =  a1  +  d  =  -2  +  0  =  -2

 ત્રીજું પદ a3  =  a2  +  d  =  -2  +  0  =  -2

ચોથું પદ a4  =  a3  +  d  =  -2  +  0  =  -2

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2-2-2-2 છે.

a  =  4d  =  -3 આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  4

 બીજું પદ a2  =  a1  +  d  =  4  -  3  =  1

 ત્રીજું પદ a3  =  a2  +  d  =  1  -  3  =  -2

ચોથું પદ a4  =  a3  +  d  =  -2  =  3  =  -5

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4-1-2-5 છે.

a  =  -1d  =   આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  -1

 બીજું પદ a2  =  a1  +  d  =  -1  +    =  -

 ત્રીજું પદ a3  =  a2  +  d  =    -    =  0

ચોથું પદ a4  =  a3  +  d  =  0  + 

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ   -  1  -    છે.

a  =  -1.25d  =  - 0.25 આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો.  (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  -1.25

બીજું પદ a2  =  a1  +  d  =  -1.25  -  0.25  =  -1.50

ત્રીજું પદ a3  =  a2  +  d  =  -1.50  -  0.25  =  -1.75

ચોથું પદ a4  =  a3  +  d  =  -1.75  -  0.25  =  -2.00

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25-1.50-1.75-2.00 છે.

31-1-3..... આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  3

સામાન્ય તફાવત d  =  a2  -  a1  =  1  -  3  =  -2

-5-337....આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)

Hide | Show

જવાબ :

પ્રથમ પદ a1  =  -5

સામાન્ય તફાવત d  =  a2  -  a1  =  -3  -   (-5)  =  2

2,  , 3, આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 =   – 2 =  

a3 – a2 = 3  =  

a4 - a3 =   – 3 =

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =  

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d  +  = 4

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 4 +  = 

સાતમું પદ a7 = a6 + d =   +   = 5

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 4, , અને 5 છે.

-1.2, -3.2, -5.2, -7.2 … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = -3.2 – (-1.2) = -2
a3 – a2 = -5.2 – (-3.2) = -2
a4 - a3 = -7.2 – (-5.2) = -2
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = -2
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. 

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. 
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -7.2  - 2.0 = -9.2
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -9.2 – 2.0 = -11.2 

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  -11.2 - 2.0 = -13.2

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -9.2, -11.2 , અને -13.2 છે. 
 

-10, -6, -2, 2 … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  
 

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = -6 – (-10) = 4
a3 – a2 = -2 – (-6) = 4
a4 - a3 = 2 – (-2) = 4
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 4
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. 
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. 
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 2  + 4 = 6
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10 
સાતમું પદ a7 = a6 + d =  10 + 4 = 14
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 6, 10, અને 14 છે. 
 

3, 3 + , 3 +2, 3 + 3 … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = 3 +  – 3 =  

a3 – a2 = 3 +2 – 3  +   =

a4 - a3 = 3 + 32  – 3 + 2=  

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =  

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 3 + 3  +   = 3 + 4

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 3 + 4 +   = 3 + 5 

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  3 + 5 +   = 3 + 6

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 3 + 4, 3 + 5, અને 3 + 6 છે.

0, -4, -8, -12 … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = -4 0 = -4

a3 – a2 = -8(-4) = -4

a4 - a3 = -12(-8) = -4

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = -4

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -12  -  4 = -16

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -16 -  4 = -20

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  -20 - 4 = -24

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -16, -20, અને -24 છે.

- 12 , - 12 , - 12 , - 12આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = -  – (- 12) =  0

a3 – a2 = -  – (- ) =  0

a4 - a3 =  -  – (- ) = 0

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 0

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -   + 0 = -

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -   + 0 = -

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  -   + 0 = -

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ - , -  અને -  છે.

a, 2a, 3a, 4a … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = 2a a = a

a3 – a2 = 3a2a = a

a4 - a3 = 4a3a = a

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = a

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 4a  + a = 5a

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 5a  + a = 6a

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  6a  + a = 7a

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 5a, 6a, અને 7a છે.

, ,  … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

​​​​a2 – a1 =  -   =2  -  = 

a3 – a2 =  -  =  -  = 

a4 - a3 =  - =  -  = 

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =  

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d =   +   = 4  +  = 5 =

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d =   + = 5  +  = 6 =

સાતમું પદ a7 = a6 + d =    +   = 6  +  = 7 =

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ  , , અને  છે.

12, 52, 72, 73… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.  

Hide | Show

જવાબ :

a2 – a1 = 5212 = 25 - 1 = 24

a3 – a2 = 7252 = 49 – 25 = 24

a4 - a3 = 7372 = 73 – 49 = 24

અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 24

આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.

પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 73  + 24 = 97

છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 97  + 24 = 121

સાતમું પદ a7 = a6 + d =  121  + 24 = 145

સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 97, 121, અને 145 છે.

સમાંતર શ્રેણી 21, 18, 15,... નું કયું પદ -81 હશે? વળી કોઈ પદ 0 હશે? સકારણ જવાબ આપો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 21, d = 18 – 21 = -3

ધારો કે an = -81

હવે, આપણે nનું મુલ્ય શોધવું છે. 

an = a + (n – 1)d હોવાથી,

-81 = 21 + (n – 1) X (-3)

81 = 24 – 3n

-105 = -3n

n = 35 

આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 35મું પદ -81 થાય.

હવે, આપણે એ જાણવું છે કે an = 0 થાય તેવો ધન પૂર્ણાંક n શક્ય છે? જો આવો ધન પૂર્ણાંક n શકત હોય તો,

21 + (n – 1) (-3) = 0

3(n – 1) = 21

n = 8 

આથી, આઠમું પદ 0 બને.

ચકાસો કે 301 એ 5, 11, 17, 23,... સંખ્યાની યાદીનું કોઈ પદ છે કે નહી? 

Hide | Show

જવાબ :

અહીં,

a2 – a1 = 11 – 5 = 6,

a3 – a2 = 17 – 11 = 6,

a4 – a3 = 23 – 17 = 6,

ak+1 – ak નું મુલ્ય k = 1, 2, 3 વગેરે માટે સમાન હોવાથી આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી છે,

a = 5 અને d = 6.

ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું nમુ પદ 301 છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે,

an = a + (n – 1)d હોવાથી,

301 = 5 + (n – 1) X 6

301 = 6n – 1

n =  = 

પરંતુ, n ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોવો જોઈએ.

આથી, આપેલ યાદીનું કોઈ પણ પદ 301 ના હોઈ શકે.  

સમાંતર શ્રેણી 10, 7, 4,..., -62માં છેલ્લેથી (પ્રથમ પદ તરફ) 11મું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = 10, d = 7 – 10 = -3, l = -62

l = a + (n – 1)d

છેલ્લેથી 11મું પદ શોધવા, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં કેટલા પદ છે તે શોધીશું.

-62 = 10 + (n-1)(-3)

-72 = (n-1)(-3)

n - 1 = 24

n = 25

આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં 25 પદ છે.

છેલ્લેથી 11મું પદ એ 15મું પદ બને,

આથી,

a15 = 10 + (15 – 1)(-3) = 10 – 42 = -32

આથી, છેલ્લેથી 11મું પદ -32 છે.

1000 રૂપિયાની રકમ 8% વાર્ષિક સાદા વ્યાજ પર મૂકવામાં આવે છે. દરેક વર્ષને અંતે મળતા વ્યાજની ગણતરી કરો. શું આ વ્યાજ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે? જો હા, તો 30 વર્ષના અંતે મળતા વ્યાજની ગણતરી કરો.

Hide | Show

જવાબ :

આપણે જાણીએ છીએ કે, સાદા વ્યાજની ગણતરી માટે

સાદું વ્યાજ =  સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.

આથી,

પ્રથમ વર્ષના અંતે વ્યાજ =  = 80

બીજા વર્ષના અંતે વ્યાજ = 1000 X 8 X 2 100 = 160

ત્રીજા વર્ષના અંતે વ્યાજ =  = 240

આ જ રીતે, ચોથા, પાંચમા વગેરે વર્ષ માટે વ્યાજ મેળવી શકાય.

આથી, પહેલા, બીજા, ત્રીજા .... વર્ષના અંતે મળતા વ્યાજ 80, 160, 240 રૂપિયા છે.

આ એક સમાંતર શ્રેણી છે કારણ કે બે ક્રમિક પદનો તફાવત 80 રૂપિયા છે.

અથાર્ત d = 80, વળી a = 80,

આથી ૩૦ વર્ષના અંતે મળતું વ્યાજ શોધવા આપણે a30 શોધીશું.

a30  = a + (30-1)d = 80 + 29 X 80 = 2400

આમ, ૩૦ વર્ષના અંતે મળતું વ્યાજ 2400 રૂપિયા હશે.       

ટીવી સેટના ઉત્પાદકે ત્રીજા વર્ષે 600 ટીવી અને 7માં વર્ષે 700 ટીવી બનાવ્યાં છે. તે માને છે કે દરેક વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા એક સમાન વધતી હોવી જોઈએ, તો, (i) પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન, (ii) 10માં વર્ષનું ઉત્પાદન, (iii) પ્રથમ 7 વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

દરેક વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા સમાન રીતે વધતી હોવાથી,

પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય... વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા એક સમાંતર શ્રેણી બનાવશે.

ધારો કે nમાં વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા an છે.

આથી, a3 = 600 અને a7 = 700

અથવા a + 2d = 600 અને a + 6d = 700

સમીકરણો ઉકેલતા, આપણને d = 25 અને a = 550 મળે છે.

આથી, પ્રથમ વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા 550 હશે.     

(ii) હવે, a10 = a + 9d = 550 + 9 X 25 = 775

આથી, 10માં વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા 775 છે. 

(iii) વળી, S7 =   [2 X 550 + (7 – 1) X 25]

         = 72 [1100 + 150]

         = 4375

આથી, પ્રથમ 7 વર્ષમાં ઉત્પાદિત ટીવીની કુલ સંખ્યા 4375 છે.    

__, 13 , __, 3 ખાલી જગ્યા માટેનું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a2 = 13, a4 ­= 3, a = ?, an = ?

an = a + (n – 1)d

a2 = a + (2 – 1)d

13 = a + d

a = 13 – d ______(1)

an = a + (n – 1)d

a4 = a + (4 – 1)d

3 = a + 3d _____(2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, 

3 = a + 3d

3 = 13 – d + 3d

d = -5

હવે, d = -5 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતા,

a = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18

તેથી, a = 18

હવે ત્રીજા પદ માટે

an = a + (n – 1)d

a3 = 18 + (3 – 1)(-5)

a3 = 18 – 10

a3 = 8

તેથી સમાંતર શ્રેણી 18, 13, 10, 3 મળશે.  

5, ..., ...., 9 

અહીં, a2 = 5, a4 ­= 9, a2 = ?, a3 = ?

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​an = a + (n – 1)d

a4 = 5 + (4 – 1)d

9 = 5 + 3d

5 + 3d =  

3d =  – 5 =

d =

બીજા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a2 = 5 + (2 – 1)()

a2 = 5 +

a2 =  = 6 

તેમજ, ત્રીજા પદ માટે,,

an = a + (n – 1)d

a3 = 5 + (3 – 1)()

a3 = 5 + 2 ()

a3 = 5 + 3

a3 = 8

તેથી, સમાંતર શ્રેણી 5, 6, 8, 9 મળશે.

-4, ..., ..., ..., ..., 6  ખાલી જગ્યા માટેનું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં, a = -4, a5 ­= 6, a2 = ?, a3 = ?, a4 = ?

an = a + (n – 1)d

6 = -4 + (6 – 1)d

6 = -4 + 5d

5d = 4 + 6

d = 2

બીજા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a2 = -4 + (2 – 1)2

a2 = -4 + 2

a2 = -2

ત્રીજા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a3 = -4 + (3 – 1)2

a3 = -4 + 2 X 2

a3 = -4 + 4

a3 = 0

ચોથા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a4 = -4 + (4 – 1)2

a4 = -4 + 3 X 2

a4 = -4 + 6

a4 = 2

પાંચમાં પદ માટે

an = a + (n – 1)d

a5 = -4 + (5 – 1)2

a5 = -4 + 4 X 2

a5 = -4 + 8

a5 = 4

તેથી, સમાંતર શ્રેણી -4, -2, 0, 2, 4, 6 મળશે.  

..., 38 ..., ..., ..., -22  ખાલી જગ્યા માટેનું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહીં, a = ?, a2 ­= 38, a3 = ?, a4 =?, a5 = -22

an = a + (n – 1)d

38 = a + (2 – 1)d

38 = a + d

a = 38 – d _______(1)

an = a + (n – 1)d

-22 = a + (6 – 1)d

-22 = a + 5d ____(2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

-22 = 38 – d + 5d

-22 – 38 = 4d

4d = -60

d = -15

હવે, d = -15 કિંમત સમીકરણ (1) મૂકતાં

a = 38 – (-15)

a = 38 + 15

a = 53

ત્રીજા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a3 = 53 + (3 – 1)(-15)

a3 = 53 + 2 X (-15)

a3 = 53 – 30

a3 = 23

ચોથા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a4 = 53 + (4 – 1)(-15)

a4 = 53 + 3X (-15)

a4 = 53 – 45

a4 = -7

પાંચમા પદ માટે,

an = a + (n – 1)d

a5 = 53 + (5 – 1)(-15)

a5 = 53 + 4X (-15)

a5 = 53 – 60

a5 = -7

તેથી, સમાંતર શ્રેણી 53, 38, 23, -7, -22 મળશે.  

સમાંતર શ્રેણીનું 11મું પદ 38 અને 16મું પદ 73 હોય તો 31મું પદ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

​​​​​​અહીં  a11 = 38 તેમજ a16 = 73, a31 = ?

an = a + (n – 1)d

a11 = a + (11 – 1)d

38 = a + 10d

a = 38 – 10d ______(1)

an = a + (n – 1)d

a16 = a + (16 – 1)d

73 = a + 15d ______(2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં ,

73 = 38 - 10d + 15d

73 – 38 = 5d

35 = 5d

d = 7

d = 7 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

a = 38 – 10 X 7

a = 38 – 70

a = -32

હવે, આપણે 31મું પદ શોધવાનું છે.

an = a + (n – 1)d

a31 = -32 + (31 – 1)(7)

a31 = -32 + 210

a31 = 178

તેથી, સમાંતર શ્રેણીનું 11મું પદ 38 અને 16મું પદ 73 હોય તો 31મું પદ 178 છે.   

એક સમાંતર શ્રેણીમાં 50 પદ છે. જો ત્રીજું પદ 12 અને છેલ્લું પદ 106 હોય, તો તેનું 29મું પદ શોધો.અહીં, a= 12 તેમજ a50 = 106, a29 = ?

Hide | Show

જવાબ :

an = a + (n – 1)d

a3 = a + (3 – 1)d

a = 12 – 2d ________(1)

an = a + (n – 1)d

a50 = a + (50 – 1)d

106 = a + 49d _________(2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

106 = 12 – 2d + 49d

106 = 12 + 47d

106 - 12 = 47d

94 = 47d

d = 2

d = 7 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

a = 12 – 2 X 2

a = 12 – 4

a = 8

હવે, આપણે 19મું પદ શોધવાનું છે.

an = a + (n – 1)d

a29 = 8 + (29 – 1)(2)

a29 = 8 + 56

a29 = 64

તેથી, તેનું 29 મું પદ 64 છે.          

જો સમાંતર શ્રેણીનું ત્રીજું અને નવમું પદ અનુક્રમે 4 અને -8 હોય, તો તે શ્રેણીનું કયું પદ 0 થાય? અહીં, a3 = 4 તેમજ  a9 = -8, an = 0 માટે n = ?

Hide | Show

જવાબ :

an = a + (n – 1)d

a3 = a + (3 – 1)d

4 = a + (3 – 1)d

a = 4 -2d ________(1)

an = a + (n – 1)d

a9 = a + (9 – 1)d

-8 = a + 8d _____(2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

-8 = 4 – 2d + 8d

-8 – 4 = 6d

-12 = 6d

d = -2

d = -2 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

a = 4 – 2 X -2

a = 4 + 4

a + 8

હવે આપણે an = 0 માટે n = ?મું પદ શોધવાનું છે.

an = a + (n – 1)d

0 = 8 + (9 – 1)(-2)

0 = 8 – 2n + 2

0 = 10 – 2n

2n = 10

n = 5 

તેથી, શ્રેણીનું 5મું પદ 0 થાય.

એક સમાંતર શ્રેણીના ચોથા અને આઠમાં પદનો સરવાળો 24 છે, અને છઠ્ઠા અને દસમાં પદનો સરવાળો 44 છે. આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ શોધો.

સમાંતર શ્રેણીના ચોથા અને આઠમાં પદનો સરવાળો 24 છે.

Hide | Show

જવાબ :

a4 + a8 = 24

a + 3d + a + 7d = 24

2a + 10d = 24

a + 5d = 12

a = 12 - 5d ……… (1)

સમાંતર શ્રેણીના છઠ્ઠા અને દસમાં પદનો સરવાળો 44 છે.

a6 + a10 = 44

a + 5d + a + 9d = 44

2a + 14d = 44

a + 7d = 22 ……… (2)

સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

a + 7d = 22

12 = 5d + 7d = 22

2d = 22 – 12

2d = 10

d = 5

d = 5 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

a = 12 – 5 X 5

a = 12 – 25

a = -13

હવે, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ -13, -8, -3 મળે. 

સમાંતર શ્રેણી 7, 10, 14, … , 84 નો સરવાળો શોધો. અહીં,

Hide | Show

જવાબ :

સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 10 – 7 = 7,

ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ 84 છે.

an = a + (n – 1)d

an = 7 + (n – 1)

84 = 7 + (n – 1)

84 - 7 = (n – 1)

77 = (n – 1)

77 X  = n – 1

n – 1 = 11 X 2

n – 1 = 22

n = 22 + 1

n = 23

અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 84 છે.

Sn  =   [a + l]

S23  =   [7 + 84]

S23  =   X 91

S23  = 

S23  =  1046

Take a Test

Choose your Test :

પ્રકરણ 5 : સમાંતર શ્રેણી

Browse & Download GSEB Books For Class 10 - All Subjects

The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.

The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.

For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.

ask-a-doubt ask-a-doubt