LOADING . . .

GSEB Solutions for ધોરણ ૧૦ Gujarati

GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::

યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 , 225 નો  ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : 1. 135 , 225 અહી, 225 > 135 છે 225 = 135 * 1 + 90 135 = 90 * 1 + 45 90 = 45 * 2 + 0 શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 45 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે. જવાબ= ગુ.સા.અ (135, 225) = 45


યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 196, 38220 નો  ગુ.સા.અ શોધો

Hide | Show

જવાબ : અહી, 38220 > 196 છે. 38220 = 196 * 195 + 0 શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 196 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.

જવાબ= ગુ.સા.અ (196, 38220) = 196


યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 867, 255નો  ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ :

અહી,  867> 255

867 = 255 * 3 + 102

255 = 102 * 2 + 51

102 = 51 * 2 + 0

શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 51 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.

જવાબ= ગુ.સા.અ (867, 255)= 51


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :  =  = 3 / 26 * 51 અહી, છેદ q(26 * 51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 6 અને m = 1) પ્રકારનું છે.    

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે.


એક લશ્કરનું 616 સભ્યોનું જૂથ લશ્કરના બેન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કૂચ કરી રહ્યું છે. બંને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છે. તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છ તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ કેટલા સભ્યો હશે?

Hide | Show

જવાબ :

આ પ્રશ્નનો ગાણિતિક રીતે ઉકેલ શોધવા 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ શોધીશું.

616 = 32 * 19 + 8

32 = 8 * 4 + 0

ગુ.સા.અ (616,32) = 8 જવાબ: તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છે તે કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.


એક રમતના મેદાનમાં વર્તુળાકાર માર્ગ છે.સોનિયાને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતા 18 મિનિટ લાગે છે. જયારે રવિને તેનું એક પરિભ્રમણ કરતા 12 મિનિટ લાગે છે. ધારો કે બંને એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ કરે છે.તો કેટલી મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થાય?

Hide | Show

જવાબ : માંગેલ જવાબ મેળવવા માટે આપણે લગતા સમયનો લ.સા.અ શોધીશું.
12 = 2 * 2 * 3 =  22 * 3
18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32
આથી લ.સા.અ  (12,18)= 22 * 32 = 36
જવાબ= જો સોનિયા અને રવિ એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ કરે છે.તો 36 મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થાય.
 


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :    = 13/55

  અહી, છેદ q(55) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5)પ્રકારનું છે.  

આથી  નું નિરૂપણ સાન્ત છે.


કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક શૂન્ય થાય કે નહી તે ચકાશો.

Hide | Show

જવાબ : જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક 0 હોય ત્યારે તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય, એટલે કે અંતિમ અંક 0 હોય તેવી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 અને 2 બંનેનો સમાવેશ થાય.
અહી, 6n = (૩ * ૨)n
         =  ૩n * 2n
જ્યાં, n કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. આથી, 6n 2 અને 3 એમ ફક્ત બે જ અવિભાજ્ય અવયવો હોઈ શકે. આમ, 6n ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી કોઈ પણ સંજોગોમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n  નો અંતિમ અંક 0 થાય નહી.
 


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :   = 17/23 અહી, છેદ q(23) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5) પ્રકારનું છે. 

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો. 

Hide | Show

જવાબ :  = અહી, છેદ q(5*7*13) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.        

આથી   નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :  = 29/73 અહી, છેદ q(73) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.       

આથી   નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો.

Hide | Show

જવાબ :  =  = 2 / 51 અહી, છેદ q(51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 1) પ્રકારનું છે.  

આથી   નું નિરૂપણ સાન્ત છે


નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.

  

Hide | Show

જવાબ :    = 13/55 = 13*25 /  25 * 55 = 416 / 100000 =  0.00416


નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.
 

Hide | Show

જવાબ : 17/8  =  17/23 
= 17 * 53 / 23 *53 
= 2125 / 1000 
= 2.125


નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો. 

Hide | Show

જવાબ : =  3/ 26 * 5 = 3* 55 / 26 * 56 = 9375 / 1000000

= 0. 009375


નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો. 

Hide | Show

જવાબ : = =

= 0.4


નીચે આપેલ સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.

Hide | Show

જવાબ : = =

= 0.7


નીચેની સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવેલ છે. દરેક માટે જણાવો કે તે સંમેય છે કે નહી.અને જો સંમેય હોય, તો તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો વિષે તમે શું કહી શકશો.?

Hide | Show

જવાબ :

  • i)         43.123456789
    અહી આપેલ સંખ્યા 43.123456789 નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.આ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અથવા 5 અથવા બંને હોય. ( પ્રમેય 1.5 મુજબ)
  •   ii) 0.120120012000120000...                                                          અહી આપેલ સંખ્યા 0.120120012000120000... નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોવાથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
  • iii)43. 123456789 
             અહી આપેલ સંખ્યા 43. 123456789  નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત                      અને        આવૃત્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
              આપેલ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી તેના                p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અને 5 સિવાયનો                          ઓછા  માં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ છે જ. (પ્રમેય 1.7 નું પ્રતીપ)


નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  5005

Hide | Show

જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
5005 = 5 * 7 *1 1 * 13


નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  7429

Hide | Show

જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
7429 =  17 * 19* 23


નીચે આપેલ પૂર્ણાંકના અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.અ અને લ.સા.અ શોધો.

3)8 , 9, 25

Hide | Show

જવાબ :


નીચે આપેલ પૂર્ણાંકના અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.અ અને લ.સા.અ શોધો.
1) 12,15, 21

Hide | Show

જવાબ :


સાબિત કરો કે, 0.120 1200 12000 120000....... સંખ્યા સંમેય છે કે નહિ અને જો સંમેય હોય,તો તેના p/q  સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો વિશે તમે શું કહી શકો?(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં,આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત કે અંનત નથી.તેથી આપેલી સંખ્યા અસંમેય સંખ્યા હશે.


સાબિત કરો કે, 43.123456789 સંખ્યા સંમેય છે કે નહિ અને જો સંમેય હોય,તો તેના p/q  સ્વરૂપમાં q  અવિભાજ્ય અવયવો વિશે તમે શું કહી શકો?(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં,આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.તેથી p/q  સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2x 5n સ્વરૂપમાં હશે.તેમજ તેના અવયવોમાં 2 અને 5 સિવાયના અવિભાજ્ય અવયવો પણ હશે.


સાબિત કરો કે,43.123456789 સંખ્યા સંમેય છે કે નહિ અને જો સંમેય હોય,તો તેના p/q  સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો વિશે તમે શું કહી શકો?(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે. તેથી p/q  સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2m ´ 5n સ્વરૂપમાં હશે.


35 / 50  સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


6 / 15  સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


 સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


17 / 8  સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


13 / 3125  સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રીયા વગર, 77 / 210  સંમેય સંખ્યાનું નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અંનત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર, 35 / 50  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર, 6 / 15  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અંનત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ :


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અંનત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)જવાબ:

Locked Answer

જવાબ :


નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  3825

Hide | Show

જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
3825 =  3 * 3* 5 *5 * 17
        = 32 * 52 * 17


નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :- 140

Hide | Show

જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે- આમ, 140 = ૨ * ૨ * 5 * 7
            = 22 * 5 * 7


નીચેની દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. :-  156
 

Hide | Show

જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે- 
 
આમ, 156 = 2 *2 * 3 *13
      =  22 * 3 *13


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં છેદ 2m5n ના સ્વરૂપમાં છે. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ અંનત અને આવૃત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : 343 = 7 x 7 x 7 = 73 અહીં છેદ 2m x 5n ના સ્વરૂપમાં નથી. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : 1600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 26 x  52 અહીં છેદ 2m5n ના સ્વરૂપમાં નથી. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : 455 = 4 x 7 x 13 અહીં છેદ 2m x 5n ના સ્વરૂપમાં નથી. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,   સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : 8 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ = 23 અહીં છેદ 2m ના સ્વરૂપમાં છે. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.


એક રમતના મેદાનમાં વર્તુળાકાર માર્ગ છે.સોનિયાને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતા 18 મિનીટ લાગે છે, જયારે રવિને તેનું એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં 12 મિનીટ લાગે છે. ધારો કે બંને એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી, એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું પ્રારંભ કરે છે, તો કેટલી મિનીટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થાય? (સ્વાધ્યાય 1.2)જવાબ:

Locked Answer

જવાબ : અહીં, 18 મિનીટ અને 12 મિનીટ નો લ.સા.. શોધવો પડે. 18 = 2 ´ 3 ´ 3 12 = 2 ´ 2 ´3 તેથી, .સા.. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 = 36 36 મિનીટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થશે.


ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા વગર,  સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)

Locked Answer

જવાબ : 3125 = 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 55 અહીં છેદ 5m ના સ્વરૂપમાં છે. તેથી,  નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.


સમજાવો કે 7 ×11×13  + 13 અને 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 + 5 એ શા માટે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : સંખ્યાઓ બે પ્રકારની હોય છે: વિભાજ્ય અને અવિભાજ્ય.         અવિભાજ્ય સંખ્યાને ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા વડે જ ભાગી શકાય છે, જયારે વિભાજ્ય સંખ્યાને 1 અને            તે સંખ્યા ઉપરાંતના અવયવો પણ હોય છે.         7 ´ 11 ´ 13 + 13          = 13 ´ (7 ´ 11 + 1)          = 13 ´ (77 + 1)          = 13 ´ 78          = 13 ´ 13 ´ 6       અહીં આપેલી સંખ્યા વિભાજ્ય સંખ્યા છે.       7 ×6×5×4×3×2×1  + 5        = 5 ´ (7 ×6×5×4×3×2×1  + 1)        = 5 ´ (1008 + 1)        = 5 ´ 1009      અહીં આપેલ સંખ્યા વિભાજ્ય સંખ્યા છે.


કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક શૂન્ય થાય છે કે નહિ તે ચકાસો.

Locked Answer

જવાબ : કોઈ પણ સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય તો તે સંખ્યાને 10 વડે ભાગી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આવી સંખ્યાને 2 અને 5 વડે પણ ભાગી શકાય છે, કારણ કે 10 = 2´5 6n ના અવિભાજ્ય અવયવ = (2 ´ 3)n અહીં 6n ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5 નથી તેથી તેને 5 વડે ભાગી શકાય નહિ. કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક શૂન્ય નહિ થાય.


જો ગુ.સા.. (360,657) = 9 આપેલ હોય તો લ.સા.. (360,657) શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, ગુ.સા.. (360,657) = 9         આપણે જાણીએ છીએ કે,          ગુ.સા.. ´ .સા.. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર           લ.સા.. =           = 22338


8.9 અને 25 નો અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.. અને લ.સા.. શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 8 = 2 ×2×2 9 = 3 ´ 3 25 = 5 ´ 5 તેથી, ગુ.સા.. = 1 તેથી, .સા.. = 2 ×2×2×3×3×5×5  = 1800


17, 23 અને 29 નો અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.. અને લ.સા.. શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 17 = 1 ´ 17 23 = 1 ´ 23 29 = 1 ´ 29 તેથી, ગુ.સા.. = 1 તેથી, .સા.. = 17 ´ 23 ´ 29 = 11339


12,51 અને 21 નો અવિભાજ્ય અવયવની રીતે ગુ.સા.. અને લ.સા.. શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 12 = 2 ´ 2 ´3 15 = 3 ´ 5 21 = 7 ´ 3 તેથી, ગુ.સા.. = 3 તેથી, .સા.. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5 ´ 7 = 420


510 અને 92 ના ગુ.સા.. અને લ.સા.. શોધો અને ગુ.સા.. ×  .સા.. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર થાય છે તેમ ચકાસો.  (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 510 = 2 ´ 3 ´ 5 ´ 17 92 = 2 ´ 2 ´ 23 માટે, ગુ.સા.. = 2 તેથી, .સા.. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5 ´ 17 ´ 23 = 23460 ગુ.સા.. ´ .સા.. = 2 ´ 23460 = 46920 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 510 ´ 92 = 46920 તેથી, ગુ.સા.. ´ .સા.. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર.


પ્રશ્ન 40: 336 અને 54 ના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો અને ગુ.સા.અ. ´ લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર થાય છે તેમ ચકાસો.(સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 336 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 7 54 = 2 x 3 x 3 x 3 તેથી, ગુ.સા.અ. = 2 x 3 = 6 તેથી, લ.સા.અ. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x3 x 3 = 3024 ગુ.સા.અ. x  લ.સા.અ. = 6 x 3024 = 18144 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 336 x 54 = 18144 તેથી,ગુ.સા.અ. x  લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર


7429 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 7429  =  17 ´ 19 ´ 23


26 અને 91 ના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો અને ગુ.સા.અ.  ×  લ.સા.અ.  =  બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર થાય છે તેમ ચકાસો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 26  =  2 ´ 13 91  =  7 x 13 માટે, ગુ.સા.અ.  =  13 માટે, લ.સા.અ.  =  2 x 17 x 13  =  182 ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = 13 x 182 = 2366 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 26  x  91 = 2366 તેથી,ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર.


5005 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 5005  =  5 x 7 x 11 x 13


3825 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 3825  =  3 ´ 3 ´ 5 ´ 5 ´ 17  =  32 ´ 52 ´ 17


156 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Locked Answer

જવાબ : 156  =  2 ×  2 × 3 × 13   =  22  x 3 x 13


140 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 1.2)

Hide | Show

જવાબ : 140  =  2 x 2 x 5 x 7  =  22 x 5 x 7


યુકિલડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m  +  1 અથવા   9m  +  8 સ્વરૂપનો હોય. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે a કોઈ ઘન પૂર્ણાંક છે તથા b  =  3 છે. યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ મુજબ કોઈ પૂર્ણાંક q  ≤0  માટે a  =  3q  +  r અને r  =  0, 1, 2, કારણ કે 0 ≤r≤3 તેથી a  =  3q અથવા 3q  +  1 અથવા 3q  +  2 a3  =  (3q)3 અથવા (3q  +  1)2  અથવા (3q  +  2)3 =  (3q)3 અથવા 27q3  +  27q2  +  9q  +  1 અથવા 27q3  +  54q2  +  36q  +  8     =  9 x (3q3) અથવા 9 x (3q3  +  3q2  +  q)  +  1 અથવા 9 x (3q3  +  6q2  +  4q)  +  8 =  9k1 અથવા 9k2  +  1 અથવા 9k3  +  8 જ્યાં k1,  k2, અને k3 ઘન પૂર્ણાંક છે. તેથી કહી શકાય કે, કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m  +  1 અથવા 9m  +  8 સ્વરૂપનો હોય છે.


યુકિલડના ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m અથવા 3m  +  1 સ્વરૂપમાં હોય. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે તથા b  =  3 છે. યુકિલડના ભાગ પ્રવિધિ પ્રમાણે  કોઈ પૂર્ણાંક q ≥  0 માટે a  =  3q  +  r અને r  =  0, 1, 2 કારણ કે  0≤0≤3   તેથી, a  =  3q અથવા 3q  +  1 અથવા 3q  +  2 મળે. a2  =  (3q)2 અથવા (3q  +  1)2 અથવા (3q  +  2)2      =  (3q)2  અથવા 9q2  +  6q  +  1 અથવા 9q2  +  12q  +  4      =  3 x (3q)2 અથવા 3 x (3q2  +  2q)  +  1 અથવા 3 x (3q2  +  4q  +  1)  +  1      =  3k1 અથવા 3k2  +  1 અથવા 3k3  +  1      જ્યાં, k1, k2, k3, ઘન પૂર્ણાંક છે. તેથી કહી શકાય કે, કોઈ ધન પુર્નાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m  +  1 સ્વરૂપમાં હોય છે.


એક લશ્કરના 616 સભ્યોની જૂથ બેન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કુચ કરી રહ્યું છે. વનને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે.તે જે સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ સભ્યો હશે? (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં મહત્તમ સભ્યોની સંખ્યા મેળવવા માટે ગુ.સા.અ. શોધવો પડે. અહીં 616 > 32 છે, એથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, 616  =  32 x 19  +  8 અહીં, શેષ 8 ≠0  તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં, 32  =  8 x 4  =  0 અહીં, શેષ 0 છે, તેથી 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ. 8 મળશે. તેથી, ગુ.સા.અ. (616, 32)  =  8 કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.


યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 અને 225 નો ગુ.સા.. શોધો.(સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં 225 > 135 છે, એથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, 225  =  135 ´ 1  +  90 અહીં શેષ 90 0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં, 135  =  90 ´ 1  +  45 અહીં શેષ 45 0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં, અહીં શેષ 0 છે, તેથી, 135 અને 225 નો ગુ.સા.. 45 મળશે. તેથી ગુ.સા.. (135, 225)  =  45


યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 196 અને 38220 નો ગુ.સા.. શોધો. (સ્વધાયાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં 38220 > 196 છે, તેથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો કરતા, 38220  =  196 ´ 195  +  0 અહીં શેષ 0 છે, તેથી 196 અને 38220 નો ગુ.સા.. 196 મળશે. તેથી ગુ.સા..(196, 38220)  =  196


યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 867 અને 255 નો ગુ.સા.. શોધો. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં 867 > 255 છે, એથી ગુ.સા.. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, 867  =  255 × 3  +  102 અહીં, શેષ 102 0 તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, 255  =  102 ´ 2  +  51 અહીં શેષ 51 ≠0  તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, 102  =  51 ´ 2  +  0 અહીં શેષ = 0  છે, તેથી 867 અને 255 નો ગુ.સા.. 51 મળશે. તેથી ગુ.સા.. (867, 255)  =  51


દર્શાવો કે કોઈ પણ યુગ્મ ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યા,  કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q  +  1, અથવા 6q  +  3, અથવા 6q  +  5 પ્રકારની હોઈ શકે છે. (સ્વાધ્યાય 1.1)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે a કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને b  =  6 છે. યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ અનુસાર કોઈ પૂર્ણાંક q ≥0  માટે a  =  6q  +  r અને r  =  0, 1, 2, 3, 4, 5, કારણ કે   0 ≤ r ≤ 6 તેથી, a  =  6 અથવા a  =  6q  +  1 અથવા a  =  6q  +  2 અથવા a  =  6q  +  3 અથવા a  =  6q  +  4 અથવા a  =  6q  +  મળે. 6q  +  3  =  (6q  +  2)  +  1  =  2 (3q  +  1)  +  1  =  2k2  +  1, જ્યાં k2 કોઈ પૂર્ણાંક છે. 6q  +  5  =  (6q  +  4)  +  1  =  2 (3q  +  2)  +  1  =  2k3  +  1, જ્યાં k3 એ કોઈ પૂર્ણાંક છે.  ઉપરોક્ત ગણતરી પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, 6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 2k  +  1 (જ્યાં k પૂર્ણાંક છે) સ્વરૂપમાં નથી. તેથી, 6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 2 વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય નહિ. તેથી, 6q  +  1, 6q  +  3 અને 6q  +  5 અયુગ્મ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.


યુક્લિડની ભાગ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 4052 અને 12576 નો ગુ.સા.અ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : 12576 > 4052 હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
12576 = 4052 * 3 + 420 મળશે.
શેષ ≠૦ હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
4050 =   420 * 9 + 272 મળશે.
મળેલ ભાજક 420 ને નવા ભાજ્ય તરીકે અને મળેલ શેષ 272 ને નવા ભાજક તરીકે લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
420 = 272 * 1 + 148 મળશે.
નવો ભાજ્ય 272 અને નવો ભાજક 148 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
272 = 148 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 148 અને નવો ભાજક 124 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
148 = 124 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 124 અને નવો ભાજક 24 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
124 = 24 * 5 + 4 મળશે.
નવો ભાજ્ય 24 અને નવો ભાજક 4 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
24 = 4 * 6 + 0

4052 અને 12576 નો ગુ.સા.અ 4 છે. 


દર્શાવો કે કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q + 1, અથવા 6q + 3, અથવા  6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.

Hide | Show

જવાબ : ધારોકે a એ કોઈ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તેમજ b = 6 છે.

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય પ્રમાણે, a = 6q + r છે.

જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે તથા r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 મળશે. જ્યાં, 0≤r ≤6

તેથી, a =6q અથવા a = 6q + 1 અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 3 અથવા a = 6q + 4 અથવા

a = 6q + 5

પરંતુ, 6q, 6q + 2, 6q + 4 એ 2 વડે વિભાજ્ય હોવાથી તેમજ a એ યુગ્મ હોવાથી,

a =6q અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 4 શક્ય નથી.

આમ, કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા, કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.


એક મીઠાઈ વાળા પાસે 420 નંગ કાજુ બરફી અને 130 નંગ બાદમ બરફી છે. તે એવી રીતે આ બરફીઓને થપ્પી સ્વરૂપે ગોઠવવા માંગે છે કે દરેક થપ્પીમાં બરફીની સંખ્યા સમાન હોય અને તે તાસકમાં ઓછામાં ઓછી જગ્યા રોકે. આ હેતુ માટે દરેક થપ્પીમાં કેટલી સંખ્યામાં બરફી રાખવી જોઈએ?

Hide | Show

જવાબ : આ પ્રશ્નને ગાણિતિક પદ્ધતિથી ઉકેલવા માટે 420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધીશું. આ ગુ.સા.અ દરેક થપ્પીમાં રહેલ બરફીની મહત્તમ સંખ્યા થાય અને થપ્પીઓની સંખ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. તેથી,તાસકમાં વપરાયેલ જગ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. અહી આપણે  420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધવા માટે યુક્લિડ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.

420  = 130 * 3 + 30

130 = 30 * 4 + 10

30 = 10 * 3 + 0

આમ,420 અને 130 નો ગુ.સા.અ 10 થાય.

આથી, મીઠાઈવાળા એ તાસકમાં ઓછા માં ઓછી જગ્યા રોકવા માટે દરેક થપ્પીમાં કોઈ પણ પ્રકારની 10 બરફી રાખી શકે.


યુક્લિડના ભાગાકારનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય છે.

Hide | Show

જવાબ : (સુચન: ધારો કે, x કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે  તો તે ૩q, ૩q + 1, ૩q + 2 સ્વરૂપમાં હોય. હવે દરેકનો વર્ગ કરો અને દર્શાવો કે ફરીથી તેને  3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં લખી શકાય.)

ઉકેલ:

ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(1) જો a = ૩q હોય તો,

a2 = (3q)2 = 9q2 =3 (9q2) = 3m,

જ્યાં, m = ૩q2  કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,

a2 = (3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 =3 (3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1,

જ્યાં, m= 3q2 + 2q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,

a2 = (3q + 2)2

    = 9q2 + 12q + 3 + 1

   =3 (3q2 + 4q +1) + 1 = 3m + 1

જ્યાં, m= ૩q2 + 4q + 1 કોઈ પૂર્ણાંક છે.


યુક્લિડનો ભાગાકારનો પૂર્વ પ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 ના સ્વરૂપના હોય છે.

 

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(1) જો a = ૩q હોય તો,

a3 = (3q)3 = 27q3 =9(3q2) = 9m,

જ્યાં, m = ૩q3  કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,

a3 = (3q + 1)3 = 27q + 27q2 +9q + 1

  =9(3q3 + ૩q2 + q ) + 1

  = 9m + 1

જ્યાં, m= 3q3 + 3q2 + q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,

a3 = (3q + 2)3

    = 27q3 + 54q2 + 36q + 8

   = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9m + 8

જ્યાં, m = 3q+ 6q2+ 4q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

આથી, કોઈ પણ સંજોગોમાં, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકોનો ઘન  9m, 9m + 1 અથવા

9m + 8 ના સ્વરૂપના હોય છે.


એક ઓરડાની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઉંચાઈ અનુક્રમે 7 મી. 50 સેમી, 6 મી. અને 3 મીઅને 75 સેમી છે. આ ત્રણેય માપને ચોક્કસ માપી શકાય તેવા લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ઉકેલ:

અહી ત્રણેય માપનો ગુ.સા.અ લેતા માગ્યા મુજબના લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધીશું.

અહી આપ્યા મુજબ,

મી. 50 સેમી= 750 સેમી.

 6 મી = 600 સેમી.

3 મીઅને 75 સેમી = 375 સેમી.

ભાગ પ્રવિધિના ઉપયોગ દ્વારા ત્રણ સંખ્યાનો ગુ.સા.અ શોધવા માટે કોઈ પણ બે સંખ્યાનો ગુ.સા.અ પહેલા શોધીશું અને તે પછી તે ગુ.સા.અ અમે ત્રીજી સંખ્યાનો ગુ.સા.અ લેતા ત્રણેય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ મળશે.

750 = 600 * 1 + 150

600 = 150 * 4 + 0

આથી ગુ.સા.અ (750,600) = 150

ત્યારબાદ હવે 375 અને 150 નો ગુ.સા.અ શોધીશું.

375 = 150 * 2 + 75

150 = 75 * 2 + 0

ગુ.સા.અ = (375, 150) = 75

માટે, ગુ.સા.અ (750, 600, 375) = 75

જવાબ= ઓરડાના ત્રણેય માપને ચોક્કસ માપી શકાય તેવા લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ 75 સેમી. છે.


સાબિત કરો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક અને તેના વર્ગનો સરવાળો યુગ્મ સંખ્યા જ હોય.

Locked Answer

જવાબ : ઉકેલ:

ધારોકે a એ કોઈ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તેમજ b = 2 છે.

યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય પ્રમાણે, a = 2q  અથવા a = 2q + 1 જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

ત્યારબાદ, a તેમજ a2 નો સરવાળો કરતા,

= a2 + a

=a (a + 1)

જો a = 2q હોય તો, a2 + a = a (a + 1) = 2q(2q + 1)

જેમાં 2 અવયવ હોવાથી યુગ્મ સંખ્યા છે.

જો a = 2q + 1 હોય તો,

a2 + a = a (a + 1) = (2q + 1)(2q + 1 + 1)

                     = 2 (2q + 1) ( q + 1) માં 2 અવયવ હોવાથી યુગ્મ સંખ્યા છે.

આમ, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક અને તેના વર્ગનો સરવાળો યુગ્મ સંખ્યા જ હોય.


સાબિત કરો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ 5m અથવા 5m ± 1  સ્વરૂપનો હોય છે.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b=5 હોય તો, યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય પ્રમાણે, a = 5q  અથવા a = 5q + 1, a = 5q + 2 અથવા 5q + 3, અથવા a = 5q + 4 જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(1) જો a = 5q, તો

a2 = (5q)2 = 25q2 = 5(5q2) = 5m

જ્યાં, m = 5q2 એ પૂર્ણાંક છે.

(2) જો, a = 5q + 1 તો

a2 = (5q + 1)2

    = 25q2 + 10q + 1

    = 5 (5q2 + 2q) + 1

   = 5m + 1

જ્યાં, m = 5q2 + 2q એ પૂર્ણાંક છે.

 

(૩) જો a = 5q + 2, તો

a2 = (5q + 2)2

   = 25q2 + 20q + 4

   = 25q2 + 20q + 5 – 1

   = 5 (5q2 + 4q + 1) – 1

  = 5m – 1

જ્યાં, m = 5q2 + 4q + 1 એ પૂર્ણાંક છે.

(4) જો a = 5q + 3, તો

a2 = (5q + 3)2

   = 25q2 + ૩૦q + 9

   = 25q2 + 30q + 10 – 1

   = 5 (5q2 + 6q + 2) – 1

   = 5m – 1

જ્યાં, m = 5q2 + 6q + 2 એ પૂર્ણાંક છે.

(5) જો a = 5q + 4, તો

a2 = (5q + 4)2

   = 25q2 + 40q + 16

   = 25q2 + 40q + 15 + 1

   = 5 (5q2 + 8q + 3) + 1

   = 5m + 1

જ્યાં, m = 5q2 + 8q + 3 એ પૂર્ણાંક છે.

આથી, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ 5m અથવા 5m± 1  સ્વરૂપનો હોય.


સમજાવો કે, 7 * 11 * 13 + 13 અને 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1  + 5  એ શા માટે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે?

Locked Answer

જવાબ : 7 * 11 * 13 + 13

= 13 (7 * 11 * 1)

= 13 (77 + 1)

= 13 * 2 *3 *13 (78 ના અવયવ 2**13 હોવાથી.)

= 2 * 3 * 132

આથી, 7 * 11 * 13 + 13 ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. માટે 7 * 11 * 13 + 13 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1  + 5 

=5 (7 * 6 * 4 * 3 * 2 * 1 + 1)

= 5 (1008 + 1)

= 5 * 1009

આમ, 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1  + 5 ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1  + 5  એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.


સાબિત કરો કે,  એ અસંમેય છે.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે,  એ સંમેય છે.

આથી આપણે શુન્યેત્તર પૂર્ણાંક a અને b શોધી શકીએ કે જેથી    થાય. (b ૦)

ધારો કે, a અને b ને 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ છે.

આથી આપણે તેને સામાન્ય અવયવ વડે ભાગી સાકિએ અને વ્યાપકતા ગુમાંવ્યા સિવાય માંની શકીએ કે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.

આથી b  

અને બંને બાજુ વર્ગ કરી પુન:ગોઠવણ કરતાં આપણને ૩b2 =a2 મળે.

માટે aએ ૩ વડે વિભાજય છે અને આથી પ્રમેય 1.3 અનુસાર a પણ ૩ વડે વિભાજય છે.

આથી આપણો કોઈ પૂર્ણાંક c માટે a = ૩c લખી શકીએ.

a ની કીમત મુકવાથી  ૩b2 =9c2 . આથી  આપણને b2 =3cમળે.

અર્થાત, b2 ને 3 વડે ભાગી શકાય અને આથી b ને પણ 3 વડે ભાગી શકાય. (P = 3 હોવાથી, પ્રમેય 1.3 નો ઉપયોગ કરતા,

આથી a તેમજ bને ઓછામાં ઓછો એક સામાન્ય અવયવ 3 છે.

માટે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાના વિધાનનો વિરોધાભાસ ઉભો થયો.

આ વિરોધાભાસ ઉદભવવાનું કારણ ‘  એ સંમેય છે.’

આથી કરેલ ધારણા અસત્ય છે.

માટે આપણે કહી શકીએ કે,  એ અસંમેય છે.


દર્શાવો કે, 5 -  એ અસંમેય છે.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, 5 -  એ સંમેય છે.

આથી આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક aઅને શુન્યેત્તર પૂર્ણાંક b શોધી શકીએ કે, જેથી 5 -  =  થાય.

આથી, 5 -

ઉપરના સમીકરણની પુન:ગોઠવણી કરતા

     મળે. a અને b પુર્નાકો હોવાથી

5 -  સંમેય મળે અને તેથી,  પણ સંમેય થાય.

આથી  અસંમેય છે તે હકીકતનો વિરોધાભાસ ઉત્પન્ન થાય.

આ વિરોધાભાસ ઉત્પન્ન થવાને કારણે આપણે 5-    સંમેય છે એવી ધારણા અસત્ય બને છે.


દર્શાવો કે, ૩   એ અસંમેય છે.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, ૩   એ સંમેય છે.

આથી આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક a અને શુન્યેત્તર પૂર્ણાંક b શોધી શકીએ કે, જેથી ૩    =  થાય.

ઉપરના સમીકરણની પુન:ગોઠવણી કરતા,

    =  મળે.

3, a અને b પુર્નાકો હોવાથી  સંમેય છે. અને તેણે કારણે    પણ સંમેય છે. પરંતુ    અસંમેય છે આથી વિરોધાભાસ ઉભો થાય છે.

માટે આપણે કહી શકીએ કે ૩  એ અસંમેય છે.


સાબિત કરો કે,   અસંમેય છે.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે,  એ સંમેય છે.

આથી આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક a અને b શોધી શકીએ કે, જેથી    =  થાય.

બંને બાજુનો વર્ગ કરતા,

5= a2/ b2

માટે a2 = 5b2

આમ, 5 એ a2 નો અવયવ છે.

પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ a નો પણ અવયવ છે.

ધારોકે a = 5C, જ્યાં c કોઈ પૂર્ણાંક છે.

 a2 = 25c2

 25c2 = 5b2

 b2 = 5c2

આમ 5 એ b2 નો અવયવ છે.

પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.૩ મુજબ 5 એ b નો પણ અવયવ છે.

આમ, a અને b નો સામાન્ય અવયવ 5 છે.

પરંતુ આ વિધાન એ a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.

માટે આપણે કરેલ ધારણા ‘   એ સંમેય છે.’ તે ખોટી છે.

માટે સાબિત થાય છે કે    એ અસંમેય છે


There are No Content Availble For this Chapter

Download PDF

Take a Test

Choose your Test :

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

-.

આ પ્રકરણને લગતા વિવિધ એનિમેશન વિડીયો, હેતુલક્ષી પ્રશ્નો, ટૂંકા પ્રશ્નો, લાંબા પ્રશ્નો, પરિક્ષામાં પુછાઈ ગયેલા પ્રશ્નો તેમજ પરિક્ષામાં પુછાઈ શકે તેવા અનેક મુદ્દાસર પ્રશ્નો જોવા અમારી વેબસાઈટ પર રજીસ્ટર થાઓ અથવા અમારી App ફ્રી માં ડાઉનલોડ કરો.

Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects

The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.

The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.

For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.