LOADING . . .

GSEB Solutions for ધોરણ ૧૦ Gujarati

GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::

(2, 3), (4, 1) આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (2, 3) તેમજ B = (4, 1) તેમજ x1 = 2, x2 = 4, y1 = 3, y2 = 1 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB =   AB =   AB =   AB   AB =   AB = 2


(- 5, 7), (-1, 3) આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર મેળવો.(સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, P = (-5, 7) તેમજ Q = (-1, 3) તેમજ x1 = - 5, x2 = - 1, y1 = 7, y2 = 3 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર PQ =   PQ =   PQ =   PQ =  PQ =   PQ =   PQ = 4  


(a, b), (-a, -b) આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર મેળવો.  (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, M = (a, b) તેમજ N = (-a, -b) તેમજ x1 = a, x2 = -a, y1 = b, y2 = -b બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર MN =   MN =   MN =   MN =   MN = 2


બિંદુઓ (0, 0) અને (36, 15) વચ્ચેનું અંતર મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (0, 0) તેમજ B = (36, 15) તેમજ x1 = 0, x2 = 36, y1 = 0, y2 = 15 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB =   AB =   AB =   AB =   AB =   AB = 39


જે (2, -5) અને (-2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (-2, 5) તેમજ B = (-2, 9) છે. ધારોકે બિંદુ P(x, 0) એ એક x-અક્ષ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી PA = PB થાય.   બરાબર બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,   4 + x2 - 4x + 25 = 4 + x2 + 4x + 81   -4x - 4x = 81-25   -8x = 56   x = -     x = -7 તેથી, P(-7, 0) (2, -5) અને (-2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ છે.


બિંદુઓ P(2, -3) અને Q(10, y) વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ હોય તો, y ની કિંમત કેટલી હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ :  = 10  = 10  = 10 બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,   64 + y2 + 6y + 9 = 100   y2 + 6y + 73-100 = 0   y2 + 6y + 2 = 0   y2 + 9y - 3y + 27 = 0   y (y + 9)  - 3 (y + 9) = 0   (y + 9)(y - 3) = 0   y + 9 = 0 કે y - 3 = 0   y = - 9 કે y = - 3


જો Q(0, 1) P(5, -3) અને R(x, 6) થી સમાન અંતરે હોય તો, x ની કિંમત કેટલી હશે તે મેળવો.અંતર QP અને PR પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : Q(0, 1) P(5, -3) અને R(x, 6) થી સમાન અંતરે છે, તેથી QP = QR બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,   25 + 16 = x2 + 25   16 = x2   x = ± 4 જો x = 4 હોય તો, QR = PR =   જો x = -4 હોય તો, QR = PR =  = 9


બિંદુ (x, y) એ બિંદુઓ (3, 6) અને (-3, 4) થી સમાન અંતરે હોય, તો x અને y વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : બિંદુ P(x, y) એ બિંદુઓ A(3, 6) અને B(-3, 4) થી સમાન અંતરે છે, તેથી PA = PB બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,   9 + x2-6x + 36 + y2 - 12y = 9 + x2 + 6x + 16 + y2 - 8y   - 6x + 36 - 12y = 6x + 16 - 8y   - 6x - 6x - 12y + 8y = 16 - 36   - 12x - 4y = -20   12x + 4y = 20   3x + y = 5


બિંદુઓ (-1, 7) અને (4, -3) ને જોડતા રેખાખંડનું 2:3 માં વિભાજન કરતાં બિંદુના યામ મેળવો.  (સ્વાધ્યાય 7.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે P એ બિંદુ (-1, 7) અને બિંદુ (4, -3) ને 2:3 માં વિભાજન કરે છે. અહીં, m1 = 2, x1 = -1, y1 = 7.m2 = 3, x2 = 4, y2 = -3 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( )   P = ( )   P = (  )   P =  (  )   P = (1, 3)


બિંદુઓ (4, -1) અને (-2, -3) ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે બિંદુ P અને બિંદુ Q એ બિંદુ (4, -1) અને બિંદુ (-2, -3) ને 1:2 માં વિભાજન કરે છે. અહીં, m1 = 1, x1 = 4, y1 = - 1, m2 = 2, x2 = - 2, y2 = - 3 છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( )   P = ( )   P = ( )
  P = ( )
 P = (2, ) હવે, ત્રિભાગ બિંદુ Q ના યામ, Q = ( )  Q = ( )  Q = ( )   Q = ( )   Q = (0, )


તમારી શાળાના લંબચોરસ આકારના મેદાન ABCD માં રમતગમત દિવસની પ્રવુતીઓ યોજેલ છે. ચોક પાવડરની મદદથી એક એક મીટરના અંતરે રેખાઓ દોરેલી છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ AD પર પ્રત્યેક 1 મીટરના અંતરે હોય તેવા 100 ફૂલના કુંડા મુક્યા છે. નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે. અને તેણીએ AD નું 14  અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. પ્રીત આઠમી હરોળમાં દોડે છે.અને તેણીએ AD નું 15  ભાગ અંતર કાપ્યું છે. અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. આ બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થશે? જો રશ્મીએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો હોય તો તે ધ્વજને ક્યાં ફરકાવશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Hide | Show

જવાબ : નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે. અને તેણીએ AD નું  અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. તેથી, નિહારીકાના યામ N = (2,  = (2, 25) પ્રીત આઠમી હરોળમાં દોડે છે અને તેણીએ AD નું  ભાગ અંતર કાપ્યું છે. અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. તેથી, પ્રીતના યામ P = (8, ´100) = (8, 20) બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર = NP   NP =   NP =   NP =   NP = રશ્મીએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો છે. બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ R ના યામ,   R = ( )   R = ( )   R = ( )  R = (5, 22.5)


બિંદુ (-1, 6) એ બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, -8) ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે. અહીં, m1 = k, x1 = -3, y1 = 10, m2 = 1, x2 = 6, y2 = -8, તેમજ P(-1, 6) વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( )   (-1, 6) = ( )   (-1, 6) = ( ) સરખાવતાં,     = -1 અને  = 6   6k-3 = -k-1 અને -8k + 10 = 6k + 6   6k + k = -1 + 3 અને -8k-6k = 6-10   7k = 2 અને -14k = -4   k =  અને k = -   k =  અને k = બિંદુ (-1, 6) એ બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, -8) ને જોડતા રેખાખંડનું 2:7 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.


x-અક્ષ બિંદુઓ A(1, -5) અને B(-4, 5) ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે. અહીં, m1 = k, x1 = 1, y1 = 5, m2 = 1, x2 = -4, y2 = 5, તેમજ P(x, 0) વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( )   (x, 0) = ( )   (x, 0) = ) સરખાવતાં,     = x અને  = 0   5k - 5 = 0   5k = 5   k = 1 k = 1 કિંમત  = x માં મૂકતાં,  = x     = x   x = - x-અક્ષ બિંદુઓ A(1, -5) અને B(-4, 5) ને જોડતા રેખાખંડનું 1:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. અને વિભાજન બિંદુના યામ P(- , 0) છે.


જો (1, 2), (4, y), (x, 6) અને (3, 5) એ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ હોય તો x અને y મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(1, 2),  B(4, y), C(x, 6) અને D(3, 5) આપેલા છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ પરસ્પર દુભાગે છે. તેથી, વિકર્ણ AC ના મધ્યબિંદુના યામ = વિકર્ણ BD ના મધ્યબિંદુના યામ   ( ), ( )   ( ) = ( ) સરખામણી કરતાં,     અને   1 + x = 7 અને 8 = 5 + y   x = 7 - 1 અને 8 - 5 = y   x = 6 અને y = 3


AB વર્તુળનો વ્યાસ છે.વર્તુળનું કેન્દ્ર (2, -3) છે અને B(1, 4) છે.તો બિંદુ A ના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, AB વર્તુળનો વ્યાસ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(2, -3) અને B(1, 4) છે તેમજ બિંદુ A(x, y) લેતાં, વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોય છે. તેથી, AB નું મધ્યબિંદુના યામ = વર્તુળના કેન્દ્રના યામ   ( ) = (2, -3) સરખામણી કરતાં,     = 2 અને  = -3   x + 1 = 4 અને y + 4 = - 6   x = 4 + 1 અને y = -6 - 4   x = 5 અને y = -10 તેથી, બિંદુ A ના યામ (5, -10) છે.


જો A અને B અનુક્રમેં (-2, -2) અને (2, -4) હોય, જેથી AP = AB થાય અને બિંદુ P રેખાખંડ AB પર હોય, તો બિંદુ P ના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, AP = AB તેથી PB = AB થાય. તેથી, AP:PB = 3:4 મળે. બિંદુ P રેખાખંડ AB ને બિંદુ A(-2, -2) અને બિંદુ B(2, -4) ગુણોત્તર 3:4 માં વિભાગે છે. અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = -2, m2 = 4, x2 = 2, y2 = -4 તેમજ P વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( )   P = ( )   P = ( )   P = ( )


સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ (3, 0)(4, 5)(-1, 4) અને (-2, -1) હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) અને D(-2, -1) છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ AC તેમજ BD છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર) વિકર્ણ AC =   AC =   AC =   AC =   AC = 4 વિકર્ણ BD =  BD =   BD =   BD = 6 હવે, સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર)                               =  ´ AC ´ BD                               =                               = 4 ´ 6                               = 24 ચોરસ એકમ


(2, 3), (-1, 0), (2, -4) આપેલ શીરોબિંદુઓ પ્રમાણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4) છે. તેથી, x1 = 2, y1 = 3, x2 = - 1, y2 = 0, x3 = 2, y3 = - 4 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, DABCનું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]  DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [2(0 - (- 4)) + (- 1)((- 4) - 3) + 2(3 - 0)]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [2(4) + (-1)(-7) + 2(3)]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [8 + 7 + 6]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [21]   DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ.


(-5, -1), (3, -5), (5, 2) આપેલ શીરોબિંદુઓ પ્રમાણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(-5, -1), B(3, -5), C(5, 2) છે. તેથી, x1 = - 5, y1 = - 1, x2 = 3, y2 = - 5, x3 = 5, y3 = 2 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [x1(y2 - y3) + x2(y3- y1) + x3(y1- y2)]   DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 5) - 2) + 3(2- (- 1)) + 3(- 1) - (- 5))]   DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 7) + 3(2 + 1) + 3(-1 + 5)]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [35 + 3(3) + 3(4)]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [35 + 9 + 12]   DABC નું ક્ષેત્રફળ =  [64]   DABC નું ક્ષેત્રફળ = 32 ચોરસ એકમ.


(7, -2), (5, 1), (3, k) આપેલ બિંદુઓ સમરેખ હોય તો “k” ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં સમરેખ બિંદુઓ A(7, -2), B(5, 1), C(3, k) છે. તેથી, x1 = 7, y1 = - 2, x2 = 5, y2 = 1, x3 = 3, y3 = k છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતા, D ABC નું ક્ષેત્રફળ =  [x1(y2 -  y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]   0 =  [7(1 - k) + 5(k - (- 2)) + 3(- 2 - 1)]   0 =  [(1 - k) + 5(k + 2) + 3(- 3)]   0 =  [7 - 7k + 5k + 10 - 9]   0 =  [8 - 2k]   0 = 8 - 2k  2k = 8   k =  k = 4


(8, 1), (k, - 4), (2, -5) આપેલ બિંદુઓ સમરેખ હોય તો “k” ની કિંમત મેળવો.  (સ્વાધ્યાય 7.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(8, 1), B(k, - 4), C(2, - 5) છે. તેથી, , x1 = 8, y1 = 1, x2 = k, y2 = - 4, x3 = 2, y3 = - 5 છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D ABC નું ક્ષેત્રફળ =  [x1(y2 -  y3) + x2(y3 -  y1) + x3(y1 -  y2)]   0 =  [8(- 4 - (-5)) + k(- 5 - 1) + 2( - 1 - ( -4))]   0 =  [8(- 4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)]   0 =  [8(1) - 6k + 2(5)]   0 =  [8 - 6k + 10]   0 =  [18 - 6k]   0 = 18 - 6k   6k = 18   k =  = 3


જો બિંદુઓ (x, y), (1, 2) અને (7, 0) સમરેખ હોય, તો x અને y વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(x, y), B(1, 2), C(7, 0) છે. તેથી, x1 = x, y1 = y, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 7, y3 = 0 છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D ABC નું ક્ષેત્રફળ =  [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]   0 =  [x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)]   0 =  [2x - y + 7y - 14]   0 =  [2x + 6y - 14]  2x + 6y - 14 = 0   x + 3y - 7 = 0


બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (-2, -11) સમરેખ છે તેમ સાબિત કરો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (1, 5), B = (2, 3) તેમજC = (-2, -11)

તેમજ x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2, y1 = 5, y2 = 3, y3 = -11

બિંદુઓA, B અનેC સમરેખ હોય તો AB+BC = AC થશે.

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

અંતર AC

  AC

  AC

  AC

  AC 

અહીં, AB+BC 

તેથી, બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (-2, -11) સમરેખ નથી.


સાબિત કરો કે, બિંદુઓ (5, -2), (6, 4) અને (7, -2) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શીરોબીંદુઓ છે. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (5, -2), B = (6, 4) તેમજ C = (7, -2)

તેમજ x1 = 5, x2 = 6, x3 = 7, y1 = -2, y2 = 4, y3 = -2

સમદ્વિબાજુ ત્રીકોણના શીરોબીંદુઓ થવા માટે બિંદુઓ A , B અને C AB = BC, BC = AC અથવાAC = BC થશે.

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

અંતર AC

  AC

  AC

  AC

  AC

  AC = 2

અહીં, AB = BC

તેથી, બિંદુઓ (5, -2), (6, 4) અને (7, -2) સમદ્વીબાજુના ત્રિકોણના શીરોબીંદુઓ છે.


એક વર્ગખંડમાં ચાર મિત્રો આકૃતિમાં દર્શાવેલ બિંદુઓ A, B, C અને D દ્વારા દર્શાવેલ સ્થાન પર બેઠા છે, ચંપા અને ચમેલી વર્ગમાં આવી થોડી મિનિટોના અવલોકન બાદ ચંપા ચમેલીને પૂછ્યું કે શું તું એવું માને છે કે, ABCD ચોરસછે?” ચમેલી અસહમત થાય છે. અંતરસુત્રનો ઉપયોગ કરી કોણ સાચું છે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : આકૃતિ પરથી, બિંદુઓ A, B, C અને D ના યામ નીચે મુજબ લખી શકાય,

અહીં, A = (3, 4), B = (6, 7), C = (9, 4) તેમજ D = (6, 1)

તેમજ x1 = 3, x2 = 6, x3 = 9, x4 = 6, y1 = 4, y2 = 7, y3 = 4, y4 = 1

જો આપેલી આકૃતિ ચોરસ હોય તો ચારેય બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર સરખા થાય.

એટલે કે, AB = BC = CD = AC

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB = 3

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

  BC = 3

અંતર CD

  CD

  CD

  CD

  CD

  CD = 3

અંતર AD

  AD

  AD

  AD

  AD

  AD = 3

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબ ચતુષ્કોણ બને.

પરંતુ ચોરસના બંને વિકર્ણ સરખા હોય છે.

અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.

અંતર AC

  AC

  AC

  AC = 6

અંતર BD

  BD

  BD

  BD

  BD = 6

તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે.

તેથી, ચંપા સાચી છે.


(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0) આપેલ બિંદુઓથી જો ચતુષ્કોણ રચાતો હોય, તો તેનો પ્રકાર જણાવો અને કારણ સહીત જવાબ આપો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (-1, -2), B = (1, 0), C = (-1, 2) તેમજ D = (-3, 0)

તેમજ x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, x4 = -3, y1 = -2, y2 = 0, y3 = 2, y4 = 0

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB = 2

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

  BC = 2

અંતર  CD

  CD

  CD

  CD

  CD

  CD

  CD = 2

અંતર  AD

  AD

  AD

  AD

  AD

  AD

  AD = 2

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબચતુષ્કોણ બને.

હવે, બંને વિકર્ણ ચકાસીએ,

અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.

અંતર AC

  AC

  AC

  AC

  AC = 4

અંતર BD

  BD

  BD

  BD = 4

તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે.

તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD એચોરસ છે.


(-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4) આપેલ બિંદુઓથી જો ચતુષ્કોણ રચાતો હોય , તો તેનો પ્રકાર જણાવો અને કારણ સહીત જવાબ આપો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : , A = (-3, 5), B = (3, 1), C = (0, 3) તેમજD = (-1, -4)

તેમજ x1 = -3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = -1, y1 = 5, y2 = 1, y3 = 3, y4 = -4

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB

  AB = 2

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

  BC

અંતર CD

  CD

  CD

  CD

  CD

  CD = 5

અંતર AD

  AD

  AD

  AD

  AD

  AD

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુ સરખી નથી.

તેમજ, AC + BC = AB એટલે કે બિંદુ C એ બાજુ AB પર રહેલું છે, અથાર્ત બિંદુ A, B અનેC સમરેખ છે.

તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD શક્ય નથી.


(4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) આપેલ બિંદુઓથી જો ચતુષ્કોણ રચાતો હોય, તો તેનો પ્રકાર જણાવો અને કારણ સહીત જવાબ આપો. (સ્વાધ્યાય 7.1)

Hide | Show

જવાબ : અહીં, A = (4, 5), B = (7, 6), C = (4, 3) તેમજD = (1, 2)

તેમજ x1 = 4, x2 = 7, x3 = 4, x4 = 1, y1 = 5, y2 = 6, y3 = 3, y4 = 2

બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

અંતર AB

  AB

  AB

  AB

  AB

અંતર BC

  BC

  BC

  BC

  BC

અંતર CD

  CD
  CD

  CD

  CD

અંતર AD 

  AD

  AD

  AD

  AD

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સરખી છે.

હવે, બંને વિકર્ણ ચકાસીએ,

અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.

અંતર AC

  AC

  AC

  AC

  AC = 2

અંતર BD

  BD =
  BD

  BD

  BD = 2

તેથી, સામસામેની બાજુઓ સમાન છે તેમજ વિકર્ણ સમાન નથી.

તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.


A (-2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે બિંદુઓ P, Q અને R બિંદુ A (-2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે.

જેથી, AP : PB = 1 : 3, AQ : QB = 2 : 2 તેમજ AR : RB = 3 : 1 મળે.

બિંદુP ના યામ

અહીં, m1 = 1, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 3, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AP : PB = 1 : 3 છે.

વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

P = ( )

  P = ( )

  P = ( )

  P = (

  P = (-1, )

બિંદુ Q ના યામ,

અહીં, m1 = 2, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 2, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AQ : QB = 2 : 2 છે.

વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

Q = ( )

 Q = ( )

  Q = ( )

  Q = ( )

  Q = (, 5)

બિંદુ R ના યામ,

અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 1, x2 = 2, y2 = 8, તેમજ AR : RB = 3 : 1 છે.

વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

R = ( )

  R = ( )

  R = ( )

  R = ( )

  R = (1,

તેથી, A(-2, 2) અને B(2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ P(-1, , Q(, 5) તેમજ R(1, ) છે.


જેના શીરોબિંદુઓ(0, -1), (2, 1) અને(0, 3) હોય તેવા ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવોઆ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને આપેલ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારોકે ત્રિકોણ PQR એ જે ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(, -1), B(2, 1) અને C(0, 3) હોય તેવા ત્રિકોણ ABCની બાજુઓના મધ્યબિંદુ જોડાવાથી બને છે.

અહીં, x1 = 0, y1 = -1, x2 = 2, y2 = 1, x3 = 0, y3 = 3 છે.

AB ના મધ્યબિંદુ P ના યામ,

P( ) = P( ) = P( ) = P(1, 0)

BC ના મધ્યબિંદુ P ના યામ,

R( ) = P( ) = R( ) = R(1, 2)

AC નામધ્યબિંદુ Q ના યામ,

Q( ) = Q( ) = Q(  Q(0, 2)

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

DABC નું ક્ષેત્રફળ  [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [0(1-3)+2(3-(-1))+0(-1-1)]

 DABC નું ક્ષેત્રફળ  [0(-2)+2(3+1)+0(-2)]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [0+2(4)+0]

 DABC નું ક્ષેત્રફળ  [8]

 DABC નું ક્ષેત્રફળ = 4 ચોરસ એકમ

DPQR નું ક્ષેત્રફળ  [x1 (y2 - y3) + x2 (y3-y1)+x3 (y1-y2)]

 DPQR નું ક્ષેત્રફળ  [1 (2-1)+1 (1-0)+0 (-1)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [1(1)+1(1)+0(-1)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [1+1+0]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ   [2]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ = 1 ચોરસ એકમ

હવે,

ત્રિકોણ PQR અને ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર,


એક ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) અને(2, 3) હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Hide | Show

જવાબ : અહીં બિંદુઓ A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) અને D(2, 3) ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ છે.

અહીં, x1 = -4, y1 = -2, x2 = -3, y2 = -5, x3 = 3, y3 = -2, x4 = 2, y4 = 3 છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

 DABC નું ક્ષેત્રફળ  [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [(-4)(-5-(-2))+(-3)(-2-(-2))+3(-2-(-5))]

 DABC નું ક્ષેત્રફળ  [(-4)(-5+2)+(-3)(-2+2)+3(-2+5)]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [(-4)(-3)+(-3)(0)+3(3)]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [12+0+9]

  DABC નું ક્ષેત્રફળ  [21]

 DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [(-4)(-2-3)+3(3-(-2))+2(-2-(-2))]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [(-4)(-5)+3(5)+2(-2+2)]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [20+15+2(0)]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [35]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ = 17.5 ચોરસ એકમ

હવે,

ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = DABC નું ક્ષેત્રફળ + DACD નું ક્ષેત્રફળ

  ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 + 17.5

  ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 28 ચોરસ એકમ


જેના શીરોબિંદુઓ A(4, -6), B(3, -2) અને C(5, 2) હોય, તેવા DABC માટે સાબિત કરો કે ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણનું બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે. (સ્વાધ્યાય 7.3)

Hide | Show

જવાબ : DABC ના શીરોબિંદુઓ A(4, -6), B(3, -2) અને C(5, 2) છે તેમજ તેની મધ્યગા AD છે.

અહીં, x1 = 4, y1 = -6, x2 = 3, y2 = -2, x3 = 5, y3 = 2 છે.

BC ના મધ્યબિંદુ D ના યામ,

D( ) = D( ) = D(   D(4, 0)

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

 D ABD નું ક્ષેત્રફળ  [4(-2-0)+3(0-(-6))+4(-6-(-2))]

 D ABD નું ક્ષેત્રફળ  [4(-2)+3(6)+4(-6+2)]

 DABD નું ક્ષેત્રફળ  [-8+18+4(-4)]

 DABD નું ક્ષેત્રફળ  [-8+18-16]

 D ABD નું ક્ષેત્રફળ  [-6]

 DABD નું ક્ષેત્રફળ = -3 = 3 ચોરસ એકમ

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [4(2-0)+5(0-(-6)]+4(-6-2)]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [4(2)+5(6)+4(-8)]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [8+30-32]

 DACD નું ક્ષેત્રફળ  [6]

 DACD નુંક્ષેત્રફળ = 3 ચોરસ એકમ

 DABD નું ક્ષેત્રફળ = DACD નું ક્ષેત્રફળ

તેથી, ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણનું બે સમાન ક્ષેત્રફળ વાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે.


રેખા 2x + y - 4 = 0 બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે તે નક્કી કરી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(2, -2), B(3, 7) છે.

તેથી, x1 = 2, y1 = -2, x2 = 3, y2 = 7 છે.

ધારો કે રેખા 2x + y - 4 = 0 બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

તેથી, m1 = k, m2 = 1 થાય.

વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતા,

( )

 = ( )

 = ( )

અહીં, બિંદુઓ રેખા પર રહેલાં છે તેથી તેઓ રેખા 2x + y - 4 = 0 નું સમાધાન કરશે.

  2x + y - 4 = 0

  2( + -4 = 0

0

0

  9k - 2 = 0

  9k = 2

  k

તેથી, રેખા 2x + y - 4 = ૦ બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું   2 : 9 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.


બિંદુઓ(6, -6), (3, -7) અને(3, 3) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર મેળવો. (સ્વાધ્યાય7.4)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે, બિંદુઓ A(6, -6), B(3, -7) અને C(3, 3) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર O(x, y) છે.

તેથી, વર્તુળની ત્રીજ્યાઓ,

OA = OB

  x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 + 14y + 49

  -12x + 12y + 72 = -6x + 14y + 58

  -12x + 12y + 72 + 6x - 14y - 58 = 0

  -6x - 2y + 14 = 0

  3x + y - 7 = 0

  y = 7 - 3x            .....(1)

OA = OC

  x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 - 6y + 9

  -12x + 12y + 72 = -6x - 6y + 18

  -12x + 12y + 72 + 6x + 6y - 18 = 0

  -6x + 18y + 54 = 0

  x - 3y - 9 = 0

y = 7 - 3x કિંમત મૂકતાં,

  x - 3(7 - 3x) -9 = 0

  x - 21 + 9x - 9 = 0

  10x - 30 = 0

  10x = 30

  x

  x = 3

x = 3 કિંમત સમીકરણ(1) માં મૂકતાં,

  y = 7 - 3(3)

 y = 7 - 9

  y = -2

તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(3, -2) છે.


ચોરસના બે સામસામેના શીરોબિંદુઓ (-1, 2) અને (3, 2) છે, તો બાકીના બે શીરોબિંદુઓના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(-1, 2) અને C(3, 2) ચોરસના બે સામસામેના શીરોબિંદુઓ છે.

ધારો કે, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ B(x, y) અને D(x1, y1) છે.

ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે.

  AB = BC

  x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4

  2x + 1 + 4 = -6x + 9 + 4

  2x + 6x = 13 - 5

  8x = 8

  x = 1

ચોરસના તમામ ખુણાઓ 90° ના હોય છે.

તેથી, D ABC માં,

AB2 + BC2 = AC2

  ( 2+( )2 = ( )2

  (1 + 1)2 + (y - 2)2 + (1 - 3)2 + (y - 2)2 = (3 + 1)2+ (2 - 2)2

  (2)2 + y2 - 4y + 4 + (-2)2 + y2 - 4y + 4 = (4)2 + (0)2

  4 + y2 - 4y + 4 + 4 + y2 -4y + 4 = 16 + 0

  2y2 - 8y + 16 = 16

  2y2 - 8y = 0

  y2 - 4y = 0

  y(y - 4) = 0

  y = 0 કે y - 4 = 0

  y = 0 કે y = 4

આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણ એક બીજાને દુભાગે છે.

તેથી, AC નું મધ્યબિંદુ = BD નું મધ્યબિંદુ

  ( ) = ( )

  ( ( )

  (1, 2) = ( )

સરખામણી કરતાં,

  1 ® 2 = 1 + x® x1 = 1

  2 ® 4 = y + y1

જો, y = 0 તો y1 = 4

જો, y = 4 તો y1 = 0

તેથી, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ ના યામ (1, 0) અને(1, 4) છે.


કૃષિનગરના માધ્યમિક શાળાના ધોરણ x ના વિધાર્થીઓને બાગાયત પ્રવૃત્તિ માટે એક લંબચોરસ મેદાન ફાળવવામાં આવ્યું છે. તેની ફરતે બાજુએ ગુલમહોરના રોપા એક-એક મીટરના અંતરે વાવેલા છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ આ મેદાનમાં ઘાસની એક ત્રિકોણીય લોન છે. વિધાર્થીઓને બાકીના ભાગ પર ફૂલોના છોડનાં બીજ વાવવાના છે. આપેલ પરિસ્થિતિ મુજબ જવાબ આપો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

Locked Answer

જવાબ : (1) A ને ઊગમબિંદુ લઇ ત્રિકોણના શીરોબિંદુના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જવાબ: A ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD X-અક્ષ અને AB Y-અક્ષ થશે.

તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(4, 6), Q(3, 2), R(6, 5) થશે.

તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 = 3, y2 = 2, x3 = 6, y3 = 5 છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [4(-3)+3(-1)+6(4)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [-12-3+24]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [9]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ

(2) જો C ઊગમબિંદુ હોય, તો D PQRના શીરોબિંદુઓના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો. બંને કિસ્સાઓમાં તમારું અવલોકન પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

જવાબ: C ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD x-અક્ષ અનેAB y-અક્ષ થશે.

તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(12, 2), Q(13, 6), R(10, 3) થશે.

તેથી, x1 = 12, y1 = 2, x2 = 13, y2 = 6, x3 = 10, y3 = 3 છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [12(3) + 13(1) + 10(-4)]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [36 + 13 - 40]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  [9]

 D PQR નું ક્ષેત્રફળ  ચોરસ એકમ

બંને કિસ્સાઓમાં ક્ષેત્રફળ સમાન થશે.


DABC ના શીરોબિંદુઓ A(4, 6), B(1, 5) અને C(7, 2) છે. બાજુઓ AB અને AC ને અનુક્રમે એક રેખા D અને E એમ છેદે છે કે જેથી,  થાય છે.તો D ADE નું ક્ષેત્રફળ મેળવો અને D ABC ના ક્ષેત્રફળ સાથે તેની તુલના પણ કરો. (સ્વાધ્યાય 7.4)

Locked Answer

જવાબ :

અહીં,  આપેલું છે.

ધારો કે AD = x

  x

  AB = 4x

હવે, BD = AB - AD

  BD = 4x - x

  BD = 3x

તેમજ,

તેથી, બિંદુઓ D અને E એ બાજુઓ AB અને AC ને ગુણોત્તર 1:3 માં છેદે છે.

વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

બિંદુ D ના યામ,

 = D( )

 = D( )

 = D( )

 = D( )

તેજ રીતે, બિંદુ E ના યામ,

 = E( )

 = E( )

 = E( )

 = E(

D ADE નું ક્ષેત્રફળ,

તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ A(4, 6), D( , E(  થશે.

તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 , y2 , x3 , y3  છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

D ADE નું ક્ષેત્રફળ  [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ - - 6) +  -

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ (

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ ]

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ

 D ADE નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ

D ABC નું ક્ષેત્રફળ,

તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 = 1, y2 = 5, x3 = 7, y3 = 2 છે.