GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::
જવાબ : અહીં, A = (2, 3) તેમજ B = (4, 1)
તેમજ x1 = 2, x2 = 4, y1 = 3, y2 = 1
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
અંતર AB = 
∴ AB = 
∴ AB = 
∴ AB 
∴ AB = 
∴ AB = 2
જવાબ : અહીં, P = (-5, 7) તેમજ Q = (-1, 3)
તેમજ x1 = - 5, x2 = - 1, y1 = 7, y2 = 3
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
અંતર PQ =
∴ PQ = 
∴ PQ = 
∴ PQ = 
∴ PQ = 
∴ PQ = 
∴ PQ = 4
જવાબ : અહીં, M = (a, b) તેમજ N = (-a, -b)
તેમજ x1 = a, x2 = -a, y1 = b, y2 = -b
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
અંતર MN =
∴ MN = 
∴ MN = 
∴ MN = 
∴ MN = 2
જવાબ : અહીં, A = (0, 0) તેમજ B = (36, 15)
તેમજ x1 = 0, x2 = 36, y1 = 0, y2 = 15
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
અંતર AB =
∴ AB = 
∴ AB = 
∴ AB = 
∴ AB = 
∴ AB = 39
જવાબ : અહીં, A = (-2, 5) તેમજ B = (-2, 9) છે.
ધારોકે બિંદુ P(x, 0) એ એક x-અક્ષ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી PA = PB થાય.
∴
∴ 
બરાબર બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
∴ 4 + x2 - 4x + 25 = 4 + x2 + 4x + 81
∴ -4x - 4x = 81-25
∴ -8x = 56
∴ x = -
∴ x = -7
તેથી, P(-7, 0) એ (2, -5) અને (-2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ છે.
જવાબ : 
= 10
∴
= 10
∴
= 10
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
∴ 64 + y2 + 6y + 9 = 100
∴ y2 + 6y + 73-100 = 0
∴ y2 + 6y + 2 = 0
∴ y2 + 9y - 3y + 27 = 0
∴ y (y + 9) - 3 (y + 9) = 0
∴ (y + 9)(y - 3) = 0
∴ y + 9 = 0 કે y - 3 = 0
∴ y = - 9 કે y = - 3
જવાબ : Q(0, 1) એ P(5, -3) અને R(x, 6) થી સમાન અંતરે છે, તેથી QP = QR
∴
∴
∴
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
∴ 25 + 16 = x2 + 25
∴ 16 = x2
∴ x = ± 4
જો x = 4 હોય તો,
QR = 
PR = 
જો x = -4 હોય તો,
QR = 
PR = 
= 9
જવાબ : બિંદુ P(x, y) એ બિંદુઓ A(3, 6) અને B(-3, 4) થી સમાન અંતરે છે, તેથી PA = PB
∴
∴
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
∴ 9 + x2-6x + 36 + y2 - 12y = 9 + x2 + 6x + 16 + y2 - 8y
∴ - 6x + 36 - 12y = 6x + 16 - 8y
∴ - 6x - 6x - 12y + 8y = 16 - 36
∴ - 12x - 4y = -20
∴ 12x + 4y = 20
∴ 3x + y = 5
જવાબ : ધારો કે P એ બિંદુ (-1, 7) અને બિંદુ (4, -3) ને 2:3 માં વિભાજન કરે છે.
અહીં, m1 = 2, x1 = -1, y1 = 7.m2 = 3, x2 = 4, y2 = -3 છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = ( 
)
∴ P = ( 
)
∴ P = (1, 3)
જવાબ : ધારો કે બિંદુ P અને બિંદુ Q એ બિંદુ (4, -1) અને બિંદુ (-2, -3) ને 1:2 માં વિભાજન કરે છે.
અહીં, m1 = 1, x1 = 4, y1 = - 1, m2 = 2, x2 = - 2, y2 = - 3 છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = ( )
∴ P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = (2, 
)
હવે, ત્રિભાગ બિંદુ Q ના યામ,
Q = ( )
∴ Q = (
)
∴ Q = (
)
∴ Q = (
)
∴ Q = (0, 
)
અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. પ્રીત આઠમી હરોળમાં દોડે છે.અને તેણીએ AD નું 15
ભાગ અંતર કાપ્યું છે. અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. આ બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થશે? જો રશ્મીએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો હોય તો તે ધ્વજને ક્યાં ફરકાવશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)
જવાબ : નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે. અને તેણીએ AD નું અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે.
તેથી, નિહારીકાના યામ N = (2, 
= (2, 25)
પ્રીત આઠમી હરોળમાં દોડે છે અને તેણીએ AD નું ભાગ અંતર કાપ્યું છે. અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે.
તેથી, પ્રીતના યામ P = (8, ´100) = (8, 20)
બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર = NP
∴ NP = 
∴ NP = 
∴ NP = 
∴ NP = 
રશ્મીએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો છે.
બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ R ના યામ,
∴ R = (
)
∴ R = (
)
∴ R = (
)
∴ R = (5, 22.5)
જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે.
અહીં, m1 = k, x1 = -3, y1 = 10, m2 = 1, x2 = 6, y2 = -8, તેમજ P(-1, 6) વિભાજન બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = ( )
∴ (-1, 6) = (
)
∴ (-1, 6) = (
) સરખાવતાં,
∴ 
= -1 અને 
= 6
∴ 6k-3 = -k-1 અને -8k + 10 = 6k + 6
∴ 6k + k = -1 + 3 અને -8k-6k = 6-10
∴ 7k = 2 અને -14k = -4
∴ k = 
અને k = -
∴ k = અને k =
બિંદુ (-1, 6) એ બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, -8) ને જોડતા રેખાખંડનું 2:7 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.
જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે.
અહીં, m1 = k, x1 = 1, y1 = 5, m2 = 1, x2 = -4, y2 = 5, તેમજ P(x, 0) વિભાજન બિંદુ છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = ( )
∴ (x, 0) = (
)
∴ (x, 0) = 
)
સરખાવતાં,
∴ 
= x અને 
= 0
∴ 5k - 5 = 0
∴ 5k = 5
∴ k = 1
k = 1 કિંમત = x માં મૂકતાં,
∴
= x
∴ 
= x
∴ x = -
x-અક્ષ બિંદુઓ A(1, -5) અને B(-4, 5) ને જોડતા રેખાખંડનું 1:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
અને વિભાજન બિંદુના યામ P(- , 0) છે.
જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(1, 2), B(4, y), C(x, 6) અને D(3, 5) આપેલા છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ પરસ્પર દુભાગે છે.
તેથી, વિકર્ણ AC ના મધ્યબિંદુના યામ = વિકર્ણ BD ના મધ્યબિંદુના યામ
∴ (
), (
)
∴ (
) = (
) સરખામણી કરતાં,
∴ 
અને 
∴ 1 + x = 7 અને 8 = 5 + y
∴ x = 7 - 1 અને 8 - 5 = y
∴ x = 6 અને y = 3
જવાબ : અહીં, AB વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(2, -3) અને B(1, 4) છે તેમજ બિંદુ A(x, y) લેતાં,
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
તેથી,
AB નું મધ્યબિંદુના યામ = વર્તુળના કેન્દ્રના યામ
∴ (
) = (2, -3)
સરખામણી કરતાં,
∴ 
= 2 અને 
= -3
∴ x + 1 = 4 અને y + 4 = - 6
∴ x = 4 + 1 અને y = -6 - 4
∴ x = 5 અને y = -10
તેથી, બિંદુ A ના યામ (5, -10) છે.
AB થાય અને બિંદુ P રેખાખંડ AB પર હોય, તો બિંદુ P ના યામ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.2)
જવાબ : અહીં, AP = AB તેથી PB = 
AB થાય.
તેથી, AP:PB = 3:4 મળે.
બિંદુ P રેખાખંડ AB ને બિંદુ A(-2, -2) અને બિંદુ B(2, -4) ગુણોત્તર 3:4 માં વિભાગે છે.
અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = -2, m2 = 4, x2 = 2, y2 = -4 તેમજ P વિભાજન બિંદુ છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = ( )
∴ P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = (
)
જવાબ : અહીં, સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) અને D(-2, -1) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ AC તેમજ BD છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = 
(તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર)
વિકર્ણ AC = 
∴ AC = 
∴ AC =
∴ AC =
∴ AC = 4
વિકર્ણ BD = 
∴ BD = 
∴ BD = 
∴ BD = 6
હવે,
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર)
= ´ AC ´ BD
= 
= 4 ´ 6
= 24 ચોરસ એકમ
જવાબ : અહીં ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4) છે.
તેથી, x1 = 2, y1 = 3, x2 = - 1, y2 = 0, x3 = 2, y3 = - 4 છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
DABCનું ક્ષેત્રફળ = 
[x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [2(0 - (- 4)) + (- 1)((- 4) - 3) + 2(3 - 0)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [2(4) + (-1)(-7) + 2(3)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [8 + 7 + 6]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [21]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ.
જવાબ : અહીં, ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(-5, -1), B(3, -5), C(5, 2) છે.
તેથી, x1 = - 5, y1 = - 1, x2 = 3, y2 = - 5, x3 = 5, y3 = 2 છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
DABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3- y1) + x3(y1- y2)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 5) - 2) + 3(2- (- 1)) + 3(- 1) - (- 5))]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 7) + 3(2 + 1) + 3(-1 + 5)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [35 + 3(3) + 3(4)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [35 + 9 + 12]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [64]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 32 ચોરસ એકમ.
જવાબ : અહીં સમરેખ બિંદુઓ A(7, -2), B(5, 1), C(3, k) છે.
તેથી, x1 = 7, y1 = - 2, x2 = 5, y2 = 1, x3 = 3, y3 = k છે.
સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતા,
D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ 0 = [7(1 - k) + 5(k - (- 2)) + 3(- 2 - 1)]
∴ 0 = [(1 - k) + 5(k + 2) + 3(- 3)]
∴ 0 = [7 - 7k + 5k + 10 - 9]
∴ 0 = [8 - 2k]
∴ 0 = 8 - 2k
∴ 2k = 8
∴ k = 
∴ k = 4
જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(8, 1), B(k, - 4), C(2, - 5) છે.
તેથી, , x1 = 8, y1 = 1, x2 = k, y2 = - 4, x3 = 2, y3 = - 5 છે.
સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ 0 = [8(- 4 - (-5)) + k(- 5 - 1) + 2( - 1 - ( -4))]
∴ 0 = [8(- 4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)]
∴ 0 = [8(1) - 6k + 2(5)]
∴ 0 = [8 - 6k + 10]
∴ 0 = [18 - 6k]
∴ 0 = 18 - 6k
∴ 6k = 18
∴ k = 
= 3
જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(x, y), B(1, 2), C(7, 0) છે.
તેથી, x1 = x, y1 = y, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 7, y3 = 0 છે.
સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ 0 = [x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)]
∴ 0 = [2x - y + 7y - 14]
∴ 0 = [2x + 6y - 14]
∴ 2x + 6y - 14 = 0
∴ x + 3y - 7 = 0
જવાબ : અહીં, A = (1, 5), B = (2, 3) તેમજC = (-2, -11)
તેમજ x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2, y1 = 5, y2 = 3, y3 = -11 બિંદુઓA, B અનેC સમરેખ હોય તો AB+BC = AC થશે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
અંતર BC 
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC 
અંતર AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC 
અહીં, AB+BC + 
તેથી, બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (-2, -11) સમરેખ નથી.
જવાબ : અહીં, A = (5, -2), B = (6, 4) તેમજ C = (7, -2)
તેમજ x1 = 5, x2 = 6, x3 = 7, y1 = -2, y2 = 4, y3 = -2 સમદ્વિબાજુ ત્રીકોણના શીરોબીંદુઓ થવા માટે બિંદુઓ A , B અને C AB = BC, BC = AC અથવાAC = BC થશે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
અંતર BC
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC
∴ BC
અંતર AC
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC = 2
અહીં, AB = BC
તેથી, બિંદુઓ (5, -2), (6, 4) અને (7, -2) એ સમદ્વીબાજુના ત્રિકોણના શીરોબીંદુઓ છે.
જવાબ : આકૃતિ પરથી, બિંદુઓ A, B, C અને D ના યામ નીચે મુજબ લખી શકાય,
અહીં, A = (3, 4), B = (6, 7), C = (9, 4) તેમજ D = (6, 1) તેમજ x1 = 3, x2 = 6, x3 = 9, x4 = 6, y1 = 4, y2 = 7, y3 = 4, y4 = 1 જો આપેલી આકૃતિ ચોરસ હોય તો ચારેય બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર સરખા થાય. એટલે કે, AB = BC = CD = AC બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB = 3
અંતર BC
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC
∴ BC
∴ BC = 3
અંતર CD 
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD
∴ CD
∴ CD = 3
અંતર AD 
∴ AD 
∴ AD 
∴ AD
∴ AD
∴ AD = 3
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબ ચતુષ્કોણ બને.
પરંતુ ચોરસના બંને વિકર્ણ સરખા હોય છે.
અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.
અંતર AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC = 6
અંતર BD 
∴ BD 
∴ BD 
∴ BD
∴ BD = 6
તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે.
તેથી, ચંપા સાચી છે.
જવાબ : અહીં, A = (-1, -2), B = (1, 0), C = (-1, 2) તેમજ D = (-3, 0)
તેમજ x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, x4 = -3, y1 = -2, y2 = 0, y3 = 2, y4 = 0 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB = 2
અંતર BC
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC
∴ BC
∴ BC = 2
અંતર CD
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD
∴ CD
∴ CD = 2
અંતર AD
∴ AD 
∴ AD 
∴ AD
∴ AD
∴ AD
∴ AD = 2
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબચતુષ્કોણ બને.
હવે, બંને વિકર્ણ ચકાસીએ,
અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.
અંતર AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC = 4
અંતર BD 
∴ BD 
∴ BD 
∴ BD = 4
તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે.
તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD એચોરસ છે.
જવાબ : , A = (-3, 5), B = (3, 1), C = (0, 3) તેમજD = (-1, -4)
તેમજ x1 = -3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = -1, y1 = 5, y2 = 1, y3 = 3, y4 = -4 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB = 2
અંતર BC
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC 
∴ BC 
અંતર CD
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD 
∴ CD = 5
અંતર AD
∴ AD 
∴ AD 
∴ AD 
∴ AD 
∴ AD 
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુ સરખી નથી.
તેમજ, AC + BC = AB એટલે કે બિંદુ C એ બાજુ AB પર રહેલું છે, અથાર્ત બિંદુ A, B અનેC સમરેખ છે.
તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD શક્ય નથી.
જવાબ : અહીં, A = (4, 5), B = (7, 6), C = (4, 3) તેમજD = (1, 2)
તેમજ x1 = 4, x2 = 7, x3 = 4, x4 = 1, y1 = 5, y2 = 6, y3 = 3, y4 = 2 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
∴ AB 
અંતર BC
∴ BC 
∴ BC
∴ BC
∴ BC
અંતર CD
∴ CD 
∴ CD
∴ CD
∴ CD
અંતર AD 
∴ AD 
∴ AD
∴ AD
∴ AD
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સરખી છે.
હવે, બંને વિકર્ણ ચકાસીએ,
અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે.
અંતર AC 
∴ AC 
∴ AC 
∴ AC
∴ AC = 2
અંતર BD 
∴ BD = 
∴ BD
∴ BD
∴ BD = 2
તેથી, સામસામેની બાજુઓ સમાન છે તેમજ વિકર્ણ સમાન નથી.
તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.
જવાબ : ધારો કે બિંદુઓ P, Q અને R બિંદુ A (-2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે.
જેથી, AP : PB = 1 : 3, AQ : QB = 2 : 2 તેમજ AR : RB = 3 : 1 મળે. બિંદુP ના યામ અહીં, m1 = 1, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 3, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AP : PB = 1 : 3 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = (
)
∴ P = (
∴ P = (-1, 
)
બિંદુ Q ના યામ,
અહીં, m1 = 2, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 2, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AQ : QB = 2 : 2 છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
Q = ( )
∴ Q = (
)
∴ Q = (
)
∴ Q = (
)
∴ Q = (૦, 5)
બિંદુ R ના યામ,
અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 1, x2 = 2, y2 = 8, તેમજ AR : RB = 3 : 1 છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
R = ( )
∴ R = (
)
∴ R = (
)
∴ R = (
)
∴ R = (1, 
તેથી, A(-2, 2) અને B(2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ P(-1, 
, Q(૦, 5) તેમજ R(1, 
) છે.
જવાબ : ધારોકે ત્રિકોણ PQR એ જે ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(૦, -1), B(2, 1) અને C(0, 3) હોય તેવા ત્રિકોણ ABCની બાજુઓના મધ્યબિંદુ જોડાવાથી બને છે.
અહીં, x1 = 0, y1 = -1, x2 = 2, y2 = 1, x3 = 0, y3 = 3 છે.
AB ના મધ્યબિંદુ P ના યામ,
P(
) = P(
) = P(
) = P(1, 0)
BC ના મધ્યબિંદુ P ના યામ,
R(
) = P(
) = R(
) = R(1, 2)
AC નામધ્યબિંદુ Q ના યામ,
Q(
) = Q(
) = Q( 
Q(0, 2)
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
DABC નું ક્ષેત્રફળ 
[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0(1-3)+2(3-(-1))+0(-1-1)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0(-2)+2(3+1)+0(-2)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0+2(4)+0]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [8]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 4 ચોરસ એકમ
DPQR નું ક્ષેત્રફળ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3-y1)+x3 (y1-y2)]
∴ DPQR નું ક્ષેત્રફળ [1 (2-1)+1 (1-0)+0 (૦-1)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [1(1)+1(1)+0(-1)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [1+1+0]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [2]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ = 1 ચોરસ એકમ
હવે,
ત્રિકોણ PQR અને ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર,
જવાબ : અહીં બિંદુઓ A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) અને D(2, 3) ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ છે.
અહીં, x1 = -4, y1 = -2, x2 = -3, y2 = -5, x3 = 3, y3 = -2, x4 = 2, y4 = 3 છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5-(-2))+(-3)(-2-(-2))+3(-2-(-5))]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5+2)+(-3)(-2+2)+3(-2+5)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-3)+(-3)(0)+3(3)]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [12+0+9]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [21]
∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-2-3)+3(3-(-2))+2(-2-(-2))]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5)+3(5)+2(-2+2)]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [20+15+2(0)]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [35]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ = 17.5 ચોરસ એકમ
હવે,
ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = DABC નું ક્ષેત્રફળ + DACD નું ક્ષેત્રફળ
∴ ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 + 17.5
∴ ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 28 ચોરસ એકમ
જવાબ : DABC ના શીરોબિંદુઓ A(4, -6), B(3, -2) અને C(5, 2) છે તેમજ તેની મધ્યગા AD છે.
અહીં, x1 = 4, y1 = -6, x2 = 3, y2 = -2, x3 = 5, y3 = 2 છે.
BC ના મધ્યબિંદુ D ના યામ,
D(
) = D(
) = D( 
D(4, 0)
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [4(-2-0)+3(0-(-6))+4(-6-(-2))]
∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [4(-2)+3(6)+4(-6+2)]
∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ [-8+18+4(-4)]
∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ [-8+18-16]
∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [-6]
∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ = -3 = 3 ચોરસ એકમ
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [4(2-0)+5(0-(-6)]+4(-6-2)]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [4(2)+5(6)+4(-8)]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [8+30-32]
∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [6]
∴ DACD નુંક્ષેત્રફળ = 3 ચોરસ એકમ
∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ = DACD નું ક્ષેત્રફળ
તેથી, ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણનું બે સમાન ક્ષેત્રફળ વાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે.
જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(2, -2), B(3, 7) છે.
તેથી, x1 = 2, y1 = -2, x2 = 3, y2 = 7 છે. ધારો કે રેખા 2x + y - 4 = 0 બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી, m1 = k, m2 = 1 થાય. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતા, ( )
= (
)
= (
)
અહીં, બિંદુઓ રેખા પર રહેલાં છે તેથી તેઓ રેખા 2x + y - 4 = 0 નું સમાધાન કરશે.
∴ 2x + y - 4 = 0
∴ 2(
+
-4 = 0
0
0
∴ 9k - 2 = 0
∴ 9k = 2
∴ k 
તેથી, રેખા 2x + y - 4 = ૦ બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 9 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.
જવાબ : ધારો કે, બિંદુઓ A(6, -6), B(3, -7) અને C(3, 3) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર O(x, y) છે.
તેથી, વર્તુળની ત્રીજ્યાઓ, OA = OB
∴ x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 + 14y + 49
∴ -12x + 12y + 72 = -6x + 14y + 58
∴ -12x + 12y + 72 + 6x - 14y - 58 = 0
∴ -6x - 2y + 14 = 0
∴ 3x + y - 7 = 0
∴ y = 7 - 3x .....(1)
OA = OC
∴ x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 - 6y + 9
∴ -12x + 12y + 72 = -6x - 6y + 18
∴ -12x + 12y + 72 + 6x + 6y - 18 = 0
∴ -6x + 18y + 54 = 0
∴ x - 3y - 9 = 0
y = 7 - 3x કિંમત મૂકતાં,
∴ x - 3(7 - 3x) -9 = 0
∴ x - 21 + 9x - 9 = 0
∴ 10x - 30 = 0
∴ 10x = 30
∴ x 
∴ x = 3
x = 3 કિંમત સમીકરણ(1) માં મૂકતાં,
∴ y = 7 - 3(3)
∴ y = 7 - 9
∴ y = -2
તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(3, -2) છે.
જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(-1, 2) અને C(3, 2) ચોરસના બે સામસામેના શીરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ B(x, y) અને D(x1, y1) છે.
ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે.
∴ AB = BC
∴ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4
∴ 2x + 1 + 4 = -6x + 9 + 4
∴ 2x + 6x = 13 - 5
∴ 8x = 8
∴ x = 1
ચોરસના તમામ ખુણાઓ 90° ના હોય છે.
તેથી, D ABC માં,
AB2 + BC2 = AC2
∴ (
2+(
)2 = (
)2
∴ (1 + 1)2 + (y - 2)2 + (1 - 3)2 + (y - 2)2 = (3 + 1)2+ (2 - 2)2
∴ (2)2 + y2 - 4y + 4 + (-2)2 + y2 - 4y + 4 = (4)2 + (0)2
∴ 4 + y2 - 4y + 4 + 4 + y2 -4y + 4 = 16 + 0
∴ 2y2 - 8y + 16 = 16
∴ 2y2 - 8y = 0
∴ y2 - 4y = 0
∴ y(y - 4) = 0
∴ y = 0 કે y - 4 = 0
∴ y = 0 કે y = 4
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણ એક બીજાને દુભાગે છે.
તેથી, AC નું મધ્યબિંદુ = BD નું મધ્યબિંદુ
∴ (
) = (
)
∴ (
(
)
∴ (1, 2) = (
)
સરખામણી કરતાં,
∴ 1 
® 2 = 1 + x1 ® x1 = 1
∴ 2 
® 4 = y + y1
જો, y = 0 તો y1 = 4
જો, y = 4 તો y1 = 0
તેથી, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ ના યામ (1, 0) અને(1, 4) છે.
જવાબ : (1) A ને ઊગમબિંદુ લઇ ત્રિકોણના શીરોબિંદુના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો.
જવાબ: A ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD એ X-અક્ષ અને AB એ Y-અક્ષ થશે. તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(4, 6), Q(3, 2), R(6, 5) થશે. તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 = 3, y2 = 2, x3 = 6, y3 = 5 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D PQR નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [4(-3)+3(-1)+6(4)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [-12-3+24]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [9]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ 
ચોરસ એકમ
(2) જો C ઊગમબિંદુ હોય, તો D PQRના શીરોબિંદુઓના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો. બંને કિસ્સાઓમાં તમારું અવલોકન પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4)
જવાબ: C ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD એ x-અક્ષ અનેAB એ y-અક્ષ થશે.
તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(12, 2), Q(13, 6), R(10, 3) થશે.
તેથી, x1 = 12, y1 = 2, x2 = 13, y2 = 6, x3 = 10, y3 = 3 છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
D PQR નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [12(3) + 13(1) + 10(-4)]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [36 + 13 - 40]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [9]
∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ
બંને કિસ્સાઓમાં ક્ષેત્રફળ સમાન થશે.
થાય છે.તો D ADE નું ક્ષેત્રફળ મેળવો અને D ABC ના ક્ષેત્રફળ સાથે તેની તુલના પણ કરો. (સ્વાધ્યાય 7.4)
જવાબ : 
આપેલું છે.
ધારો કે AD = x
∴ x 
∴ AB = 4x
હવે, BD = AB - AD
∴ BD = 4x - x
∴ BD = 3x
તેમજ,
તેથી, બિંદુઓ D અને E એ બાજુઓ AB અને AC ને ગુણોત્તર 1:3 માં છેદે છે.
વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
બિંદુ D ના યામ,
= D( )
= D(
)
= D(
)
= D(
)
તેજ રીતે, બિંદુ E ના યામ,
= E(
)
= E(
)
= E(
)
= E(
D ADE નું ક્ષેત્રફળ,
તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ A(4, 6), D(
, E( થશે.
તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 
, y2 
, x3 
, y3 
છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
D ADE નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
- 
- 6) + 
- 
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
(
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
]
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
∴ D ADE નું ક્ષેત્રફળ 
ચોરસ એકમ
D ABC નું ક્ષેત્રફળ,
તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 = 1, y2 = 5, x3 = 7, y3 = 2 છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
D ABC નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
∴ D ABC નું ક્ષેત્રફળ [4(5 - 2)+1(2 - 6) + 7(6 - 5)]
∴ D ABC નું ક્ષેત્રફળ [4(3) + 1(-4) + 7(1)]
∴ D ABC નું ક્ષેત્રફળ [12 – 4 + 7]
∴ D ABC નું ક્ષેત્રફળ [15]
∴ D ABC નું ક્ષેત્રફળ 
ચોરસ એકમ
હવે,
જવાબ : 
= D(
(2)AP:PD = 2:1 થાય તેવું બિંદુ P એ AD પર છે.
બિંદુ P ના યામ,
= P(
)
= P(
= P(
(3)BQ:QE = 2:1 અને CR:RF = 2:1 હોય તેવા બિંદુઓ Q અને R અનુક્રમે મધ્યગા BE અને CF પર છે.
B માંથી દોરેલ મધ્યગા AC ને E માં મળે છે. તેથી બિંદુ E એ AC નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ E ના યામ,
= E(
= E(
= E(
AQ:QE = 2:1 થાય તેવું બિંદુ Q એ AE પર છે.
બિંદુ Q ના યામ,
= Q(
= Q(
= Q(
C માંથી દોરેલ મધ્યગા AB ને F માં મળે છે. તેથી બિંદુ F એ AB નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ F ના યામ,
= F(
= F(
= F(5, )
CR:RF = 2:1 થાય તેવું બિંદુ R એ CF પર છે.
બિંદુ R ના યામ,
= R(
= R(
)
= R(
(4)તમે શું અવલોકન કર્યું?
બિંદુ P, Q અને R ના યામ સમાન છે.
(5)જો A(x1, y1), B(x2, y2) અને C(x3, y3) ત્રિકોણ ABC ના શીરોબિંદુઓ હોય તો આપેલ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ મેળવો.
A માંથી દોરેલ મધ્યગા BC ને D માં મળે છે.તેથી બિંદુ D એ BC નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ D ના યામ,
= D(
ધારો જે બિંદુ O એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
બિંદુO રેખાખંડ AD નું 2:1 માં વિભાજન કરે છે.
તેથી, બિંદુ O ના યામ,
= O(
= O(
= O(
)
જવાબ : 
= P(
= P(-1, )
બિંદુ Q એ BC નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ Q ના યામ,
= Q(
)
= Q(
= Q(2, 4)
બિંદુR એ CD નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ R ના યામ,
= R(
)
= R(
= R(5, 
બિંદુ S એ DA નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ S ના યામ,
= S(
= S(
)
= S(2, -1)
બાજુ PQ ની લંબાઈ
બાજુ QR ની લંબાઈ
બાજુ RS ની લંબાઈ 
બાજુ SP ની લંબાઈ
વિકર્ણ PR ની લંબાઈ
6
વિકર્ણ SQ ની લંબાઈ
5
અહીં, PQ = QR = RS = SP તેમજ વિકર્ણ PR ≠ SQ છે.
તેથી, ચતુષ્કોણ PQRS સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
There are No Content Availble For this Chapter
Take a Test
યામ ભૂમિતિ
std 10 maths gujarati medium, std 10 maths book pdf gujarati medium
Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects
- વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અર્થશાસ્ત્ર Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- રસાયણવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સામાજિક વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૂગોળ Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૌતિકવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગણિત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગુજરાતી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અંગ્રેજી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સંસ્કૃત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- હિન્દી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.
The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.
For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.
