જવાબ : અહીં, A = (2, 3) તેમજ B = (4, 1) તેમજ x1 = 2, x2 = 4, y1 = 3, y2 = 1 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB = ∴ AB = ∴ AB = ∴ AB ∴ AB = ∴ AB = 2
જવાબ : અહીં, P = (-5, 7) તેમજ Q = (-1, 3) તેમજ x1 = - 5, x2 = - 1, y1 = 7, y2 = 3 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર PQ = ∴ PQ = ∴ PQ = ∴ PQ = ∴ PQ = ∴ PQ = ∴ PQ = 4
જવાબ : અહીં, M = (a, b) તેમજ N = (-a, -b) તેમજ x1 = a, x2 = -a, y1 = b, y2 = -b બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર MN = ∴ MN = ∴ MN = ∴ MN = ∴ MN = 2
જવાબ : અહીં, A = (0, 0) તેમજ B = (36, 15) તેમજ x1 = 0, x2 = 36, y1 = 0, y2 = 15 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB = ∴ AB = ∴ AB = ∴ AB = ∴ AB = ∴ AB = 39
જવાબ : અહીં, A = (-2, 5) તેમજ B = (-2, 9) છે. ધારોકે બિંદુ P(x, 0) એ એક x-અક્ષ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી PA = PB થાય. ∴ ∴ બરાબર બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, ∴ 4 + x2 - 4x + 25 = 4 + x2 + 4x + 81 ∴ -4x - 4x = 81-25 ∴ -8x = 56 ∴ x = - ∴ x = -7 તેથી, P(-7, 0) એ (2, -5) અને (-2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ છે.
જવાબ : = 10 ∴ = 10 ∴ = 10 બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, ∴ 64 + y2 + 6y + 9 = 100 ∴ y2 + 6y + 73-100 = 0 ∴ y2 + 6y + 2 = 0 ∴ y2 + 9y - 3y + 27 = 0 ∴ y (y + 9) - 3 (y + 9) = 0 ∴ (y + 9)(y - 3) = 0 ∴ y + 9 = 0 કે y - 3 = 0 ∴ y = - 9 કે y = - 3
જવાબ : Q(0, 1) એ P(5, -3) અને R(x, 6) થી સમાન અંતરે છે, તેથી QP = QR ∴ ∴ ∴ બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, ∴ 25 + 16 = x2 + 25 ∴ 16 = x2 ∴ x = ± 4 જો x = 4 હોય તો, QR = PR = જો x = -4 હોય તો, QR = PR = = 9
જવાબ : બિંદુ P(x, y) એ બિંદુઓ A(3, 6) અને B(-3, 4) થી સમાન અંતરે છે, તેથી PA = PB ∴ ∴ બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, ∴ 9 + x2-6x + 36 + y2 - 12y = 9 + x2 + 6x + 16 + y2 - 8y ∴ - 6x + 36 - 12y = 6x + 16 - 8y ∴ - 6x - 6x - 12y + 8y = 16 - 36 ∴ - 12x - 4y = -20 ∴ 12x + 4y = 20 ∴ 3x + y = 5
જવાબ : ધારો કે P એ બિંદુ (-1, 7) અને બિંદુ (4, -3) ને 2:3 માં વિભાજન કરે છે. અહીં, m1 = 2, x1 = -1, y1 = 7.m2 = 3, x2 = 4, y2 = -3 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = (1, 3)
જવાબ : ધારો કે બિંદુ P અને બિંદુ Q એ બિંદુ (4, -1) અને બિંદુ (-2, -3) ને 1:2 માં વિભાજન કરે છે.
અહીં, m1 = 1, x1 = 4, y1 = - 1, m2 = 2, x2 = - 2, y2 = - 3 છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
P = ( )
∴ P = ( )
∴ P = ( )
∴ P = ( )
∴ P = (2, )
હવે, ત્રિભાગ બિંદુ Q ના યામ,
Q = ( )
∴ Q = ( )
∴ Q = ( )
∴ Q = ( )
∴ Q = (0, )
જવાબ : નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે. અને તેણીએ AD નું અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. તેથી, નિહારીકાના યામ N = (2, = (2, 25) પ્રીત આઠમી હરોળમાં દોડે છે અને તેણીએ AD નું ભાગ અંતર કાપ્યું છે. અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. તેથી, પ્રીતના યામ P = (8, ´100) = (8, 20) બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર = NP ∴ NP = ∴ NP = ∴ NP = ∴ NP = રશ્મીએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો છે. બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ R ના યામ, ∴ R = ( ) ∴ R = ( ) ∴ R = ( ) ∴ R = (5, 22.5)
જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે. અહીં, m1 = k, x1 = -3, y1 = 10, m2 = 1, x2 = 6, y2 = -8, તેમજ P(-1, 6) વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( ) ∴ (-1, 6) = ( ) ∴ (-1, 6) = ( ) સરખાવતાં, ∴ = -1 અને = 6 ∴ 6k-3 = -k-1 અને -8k + 10 = 6k + 6 ∴ 6k + k = -1 + 3 અને -8k-6k = 6-10 ∴ 7k = 2 અને -14k = -4 ∴ k = અને k = - ∴ k = અને k = બિંદુ (-1, 6) એ બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, -8) ને જોડતા રેખાખંડનું 2:7 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.
જવાબ : ધારો કે, k:1 એ માંગેલ ગુણોત્તર છે. અહીં, m1 = k, x1 = 1, y1 = 5, m2 = 1, x2 = -4, y2 = 5, તેમજ P(x, 0) વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( ) ∴ (x, 0) = ( ) ∴ (x, 0) = ) સરખાવતાં, ∴ = x અને = 0 ∴ 5k - 5 = 0 ∴ 5k = 5 ∴ k = 1 k = 1 કિંમત = x માં મૂકતાં, ∴ = x ∴ = x ∴ x = - x-અક્ષ બિંદુઓ A(1, -5) અને B(-4, 5) ને જોડતા રેખાખંડનું 1:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. અને વિભાજન બિંદુના યામ P(- , 0) છે.
જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(1, 2), B(4, y), C(x, 6) અને D(3, 5) આપેલા છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ પરસ્પર દુભાગે છે. તેથી, વિકર્ણ AC ના મધ્યબિંદુના યામ = વિકર્ણ BD ના મધ્યબિંદુના યામ ∴ ( ), ( ) ∴ ( ) = ( ) સરખામણી કરતાં, ∴ અને ∴ 1 + x = 7 અને 8 = 5 + y ∴ x = 7 - 1 અને 8 - 5 = y ∴ x = 6 અને y = 3
જવાબ : અહીં, AB વર્તુળનો વ્યાસ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(2, -3) અને B(1, 4) છે તેમજ બિંદુ A(x, y) લેતાં, વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોય છે. તેથી, AB નું મધ્યબિંદુના યામ = વર્તુળના કેન્દ્રના યામ ∴ ( ) = (2, -3) સરખામણી કરતાં, ∴ = 2 અને = -3 ∴ x + 1 = 4 અને y + 4 = - 6 ∴ x = 4 + 1 અને y = -6 - 4 ∴ x = 5 અને y = -10 તેથી, બિંદુ A ના યામ (5, -10) છે.
જવાબ : અહીં, AP = AB તેથી PB = AB થાય. તેથી, AP:PB = 3:4 મળે. બિંદુ P રેખાખંડ AB ને બિંદુ A(-2, -2) અને બિંદુ B(2, -4) ગુણોત્તર 3:4 માં વિભાગે છે. અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = -2, m2 = 4, x2 = 2, y2 = -4 તેમજ P વિભાજન બિંદુ છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( )
જવાબ : અહીં, સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) અને D(-2, -1) છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ AC તેમજ BD છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર) વિકર્ણ AC = ∴ AC = ∴ AC = ∴ AC = ∴ AC = 4 વિકર્ણ BD = ∴ BD = ∴ BD = ∴ BD = 6 હવે, સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = (તેના વિકર્ણનો ગુણાકાર) = ´ AC ´ BD = = 4 ´ 6 = 24 ચોરસ એકમ
જવાબ : અહીં ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4) છે. તેથી, x1 = 2, y1 = 3, x2 = - 1, y2 = 0, x3 = 2, y3 = - 4 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, DABCનું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [2(0 - (- 4)) + (- 1)((- 4) - 3) + 2(3 - 0)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [2(4) + (-1)(-7) + 2(3)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [8 + 7 + 6] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [21] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ.
જવાબ : અહીં, ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(-5, -1), B(3, -5), C(5, 2) છે. તેથી, x1 = - 5, y1 = - 1, x2 = 3, y2 = - 5, x3 = 5, y3 = 2 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, DABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3- y1) + x3(y1- y2)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 5) - 2) + 3(2- (- 1)) + 3(- 1) - (- 5))] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [(- 5)(- 7) + 3(2 + 1) + 3(-1 + 5)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [35 + 3(3) + 3(4)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [35 + 9 + 12] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = [64] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 32 ચોરસ એકમ.
જવાબ : અહીં સમરેખ બિંદુઓ A(7, -2), B(5, 1), C(3, k) છે. તેથી, x1 = 7, y1 = - 2, x2 = 5, y2 = 1, x3 = 3, y3 = k છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતા, D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)] ∴ 0 = [7(1 - k) + 5(k - (- 2)) + 3(- 2 - 1)] ∴ 0 = [(1 - k) + 5(k + 2) + 3(- 3)] ∴ 0 = [7 - 7k + 5k + 10 - 9] ∴ 0 = [8 - 2k] ∴ 0 = 8 - 2k ∴ 2k = 8 ∴ k = ∴ k = 4
જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(8, 1), B(k, - 4), C(2, - 5) છે. તેથી, , x1 = 8, y1 = 1, x2 = k, y2 = - 4, x3 = 2, y3 = - 5 છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)] ∴ 0 = [8(- 4 - (-5)) + k(- 5 - 1) + 2( - 1 - ( -4))] ∴ 0 = [8(- 4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)] ∴ 0 = [8(1) - 6k + 2(5)] ∴ 0 = [8 - 6k + 10] ∴ 0 = [18 - 6k] ∴ 0 = 18 - 6k ∴ 6k = 18 ∴ k = = 3
જવાબ : અહીં, સમરેખ બિંદુઓ A(x, y), B(1, 2), C(7, 0) છે. તેથી, x1 = x, y1 = y, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 7, y3 = 0 છે. સમરેખ બિંદુઓ હોવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D ABC નું ક્ષેત્રફળ = [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)] ∴ 0 = [x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)] ∴ 0 = [2x - y + 7y - 14] ∴ 0 = [2x + 6y - 14] ∴ 2x + 6y - 14 = 0 ∴ x + 3y - 7 = 0
જવાબ : અહીં, A = (1, 5), B = (2, 3) તેમજC = (-2, -11)
તેમજ x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2, y1 = 5, y2 = 3, y3 = -11 બિંદુઓA, B અનેC સમરેખ હોય તો AB+BC = AC થશે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC અંતર AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC અહીં, AB+BC + તેથી, બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (-2, -11) સમરેખ નથી.જવાબ : અહીં, A = (5, -2), B = (6, 4) તેમજ C = (7, -2)
તેમજ x1 = 5, x2 = 6, x3 = 7, y1 = -2, y2 = 4, y3 = -2 સમદ્વિબાજુ ત્રીકોણના શીરોબીંદુઓ થવા માટે બિંદુઓ A , B અને C AB = BC, BC = AC અથવાAC = BC થશે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC અંતર AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC = 2 અહીં, AB = BC તેથી, બિંદુઓ (5, -2), (6, 4) અને (7, -2) એ સમદ્વીબાજુના ત્રિકોણના શીરોબીંદુઓ છે.જવાબ : આકૃતિ પરથી, બિંદુઓ A, B, C અને D ના યામ નીચે મુજબ લખી શકાય,
અહીં, A = (3, 4), B = (6, 7), C = (9, 4) તેમજ D = (6, 1) તેમજ x1 = 3, x2 = 6, x3 = 9, x4 = 6, y1 = 4, y2 = 7, y3 = 4, y4 = 1 જો આપેલી આકૃતિ ચોરસ હોય તો ચારેય બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર સરખા થાય. એટલે કે, AB = BC = CD = AC બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB = 3 અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC = 3 અંતર CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD = 3 અંતર AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD = 3 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબ ચતુષ્કોણ બને. પરંતુ ચોરસના બંને વિકર્ણ સરખા હોય છે. અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે. અંતર AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC = 6 અંતર BD ∴ BD ∴ BD ∴ BD ∴ BD = 6 તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે. તેથી, ચંપા સાચી છે.જવાબ : અહીં, A = (-1, -2), B = (1, 0), C = (-1, 2) તેમજ D = (-3, 0)
તેમજ x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, x4 = -3, y1 = -2, y2 = 0, y3 = 2, y4 = 0 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB = 2 અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC = 2 અંતર CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD = 2 અંતર AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD = 2 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સરખી હોય તો તે ચોરસ અથવા સમલંબચતુષ્કોણ બને. હવે, બંને વિકર્ણ ચકાસીએ, અહીં, ABCD ના વિકર્ણ AC અનેBD છે. અંતર AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC ∴ AC = 4 અંતર BD ∴ BD ∴ BD ∴ BD = 4 તેથી, બાજુઓ AB = BC = CD = AC તેમજ વિકર્ણ AC = BD છે. તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD એચોરસ છે.જવાબ : , A = (-3, 5), B = (3, 1), C = (0, 3) તેમજD = (-1, -4)
તેમજ x1 = -3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = -1, y1 = 5, y2 = 1, y3 = 3, y4 = -4 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB = 2 અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC અંતર CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD ∴ CD = 5 અંતર AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD ∴ AD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુ સરખી નથી. તેમજ, AC + BC = AB એટલે કે બિંદુ C એ બાજુ AB પર રહેલું છે, અથાર્ત બિંદુ A, B અનેC સમરેખ છે. તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD શક્ય નથી.જવાબ : અહીં, A = (4, 5), B = (7, 6), C = (4, 3) તેમજD = (1, 2)
તેમજ x1 = 4, x2 = 7, x3 = 4, x4 = 1, y1 = 5, y2 = 6, y3 = 3, y4 = 2 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, અંતર AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB ∴ AB અંતર BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC ∴ BC અંતર CD ∴ CDજવાબ : ધારો કે બિંદુઓ P, Q અને R બિંદુ A (-2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે.
જેથી, AP : PB = 1 : 3, AQ : QB = 2 : 2 તેમજ AR : RB = 3 : 1 મળે. બિંદુP ના યામ અહીં, m1 = 1, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 3, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AP : PB = 1 : 3 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( ) ∴ P = ( ∴ P = (-1, ) બિંદુ Q ના યામ, અહીં, m1 = 2, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 2, x2 = 2, y2 = 8 તેમજ AQ : QB = 2 : 2 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, Q = ( ) ∴ Q = ( ) ∴ Q = ( ) ∴ Q = ( ) ∴ Q = (૦, 5) બિંદુ R ના યામ, અહીં, m1 = 3, x1 = -2, y1 = 2, m2 = 1, x2 = 2, y2 = 8, તેમજ AR : RB = 3 : 1 છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, R = ( ) ∴ R = ( ) ∴ R = ( ) ∴ R = ( ) ∴ R = (1, તેથી, A(-2, 2) અને B(2, 8) ને જોડતા રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ P(-1, , Q(૦, 5) તેમજ R(1, ) છે.જવાબ : ધારોકે ત્રિકોણ PQR એ જે ત્રિકોણના શીરોબિંદુઓ A(૦, -1), B(2, 1) અને C(0, 3) હોય તેવા ત્રિકોણ ABCની બાજુઓના મધ્યબિંદુ જોડાવાથી બને છે.
અહીં, x1 = 0, y1 = -1, x2 = 2, y2 = 1, x3 = 0, y3 = 3 છે. AB ના મધ્યબિંદુ P ના યામ, P( ) = P( ) = P( ) = P(1, 0) BC ના મધ્યબિંદુ P ના યામ, R( ) = P( ) = R( ) = R(1, 2) AC નામધ્યબિંદુ Q ના યામ, Q( ) = Q( ) = Q( Q(0, 2) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, DABC નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0(1-3)+2(3-(-1))+0(-1-1)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0(-2)+2(3+1)+0(-2)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [0+2(4)+0] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [8] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 4 ચોરસ એકમ DPQR નું ક્ષેત્રફળ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3-y1)+x3 (y1-y2)] ∴ DPQR નું ક્ષેત્રફળ [1 (2-1)+1 (1-0)+0 (૦-1)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [1(1)+1(1)+0(-1)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [1+1+0] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [2] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ = 1 ચોરસ એકમ હવે, ત્રિકોણ PQR અને ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર,જવાબ : અહીં બિંદુઓ A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) અને D(2, 3) ચતુષ્કોણના ક્રમિક શીરોબિંદુઓ છે.
અહીં, x1 = -4, y1 = -2, x2 = -3, y2 = -5, x3 = 3, y3 = -2, x4 = 2, y4 = 3 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5-(-2))+(-3)(-2-(-2))+3(-2-(-5))] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5+2)+(-3)(-2+2)+3(-2+5)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-3)+(-3)(0)+3(3)] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [12+0+9] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ [21] ∴ DABC નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 ચોરસ એકમ. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-2-3)+3(3-(-2))+2(-2-(-2))] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [(-4)(-5)+3(5)+2(-2+2)] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [20+15+2(0)] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [35] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ = 17.5 ચોરસ એકમ હવે, ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = DABC નું ક્ષેત્રફળ + DACD નું ક્ષેત્રફળ ∴ ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 10.5 + 17.5 ∴ ચતુષ્કોણ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = 28 ચોરસ એકમજવાબ : DABC ના શીરોબિંદુઓ A(4, -6), B(3, -2) અને C(5, 2) છે તેમજ તેની મધ્યગા AD છે.
અહીં, x1 = 4, y1 = -6, x2 = 3, y2 = -2, x3 = 5, y3 = 2 છે. BC ના મધ્યબિંદુ D ના યામ, D( ) = D( ) = D( D(4, 0) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, ∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [4(-2-0)+3(0-(-6))+4(-6-(-2))] ∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [4(-2)+3(6)+4(-6+2)] ∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ [-8+18+4(-4)] ∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ [-8+18-16] ∴ D ABD નું ક્ષેત્રફળ [-6] ∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ = -3 = 3 ચોરસ એકમ ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [4(2-0)+5(0-(-6)]+4(-6-2)] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [4(2)+5(6)+4(-8)] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [8+30-32] ∴ DACD નું ક્ષેત્રફળ [6] ∴ DACD નુંક્ષેત્રફળ = 3 ચોરસ એકમ ∴ DABD નું ક્ષેત્રફળ = DACD નું ક્ષેત્રફળ તેથી, ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણનું બે સમાન ક્ષેત્રફળ વાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે.જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(2, -2), B(3, 7) છે.
તેથી, x1 = 2, y1 = -2, x2 = 3, y2 = 7 છે. ધારો કે રેખા 2x + y - 4 = 0 બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી, m1 = k, m2 = 1 થાય. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતા, ( ) = ( ) = ( ) અહીં, બિંદુઓ રેખા પર રહેલાં છે તેથી તેઓ રેખા 2x + y - 4 = 0 નું સમાધાન કરશે. ∴ 2x + y - 4 = 0 ∴ 2( + -4 = 0 0 0 ∴ 9k - 2 = 0 ∴ 9k = 2 ∴ k તેથી, રેખા 2x + y - 4 = ૦ બિંદુઓ A(2, -2) અને B(3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 9 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.જવાબ : ધારો કે, બિંદુઓ A(6, -6), B(3, -7) અને C(3, 3) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર O(x, y) છે.
તેથી, વર્તુળની ત્રીજ્યાઓ, OA = OB ∴ x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 + 14y + 49 ∴ -12x + 12y + 72 = -6x + 14y + 58 ∴ -12x + 12y + 72 + 6x - 14y - 58 = 0 ∴ -6x - 2y + 14 = 0 ∴ 3x + y - 7 = 0 ∴ y = 7 - 3x .....(1) OA = OC ∴ x2 - 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 - 6x + 9 + y2 - 6y + 9 ∴ -12x + 12y + 72 = -6x - 6y + 18 ∴ -12x + 12y + 72 + 6x + 6y - 18 = 0 ∴ -6x + 18y + 54 = 0 ∴ x - 3y - 9 = 0 y = 7 - 3x કિંમત મૂકતાં, ∴ x - 3(7 - 3x) -9 = 0 ∴ x - 21 + 9x - 9 = 0 ∴ 10x - 30 = 0 ∴ 10x = 30 ∴ x ∴ x = 3 x = 3 કિંમત સમીકરણ(1) માં મૂકતાં, ∴ y = 7 - 3(3) ∴ y = 7 - 9 ∴ y = -2 તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર 0(3, -2) છે.જવાબ : અહીં, બિંદુઓ A(-1, 2) અને C(3, 2) ચોરસના બે સામસામેના શીરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ B(x, y) અને D(x1, y1) છે. ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે. ∴ AB = BC ∴ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4 ∴ 2x + 1 + 4 = -6x + 9 + 4 ∴ 2x + 6x = 13 - 5 ∴ 8x = 8 ∴ x = 1 ચોરસના તમામ ખુણાઓ 90° ના હોય છે. તેથી, D ABC માં, AB2 + BC2 = AC2 ∴ ( 2+( )2 = ( )2 ∴ (1 + 1)2 + (y - 2)2 + (1 - 3)2 + (y - 2)2 = (3 + 1)2+ (2 - 2)2 ∴ (2)2 + y2 - 4y + 4 + (-2)2 + y2 - 4y + 4 = (4)2 + (0)2 ∴ 4 + y2 - 4y + 4 + 4 + y2 -4y + 4 = 16 + 0 ∴ 2y2 - 8y + 16 = 16 ∴ 2y2 - 8y = 0 ∴ y2 - 4y = 0 ∴ y(y - 4) = 0 ∴ y = 0 કે y - 4 = 0 ∴ y = 0 કે y = 4 આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણ એક બીજાને દુભાગે છે. તેથી, AC નું મધ્યબિંદુ = BD નું મધ્યબિંદુ ∴ ( ) = ( ) ∴ ( ( ) ∴ (1, 2) = ( ) સરખામણી કરતાં, ∴ 1 ® 2 = 1 + x1 ® x1 = 1 ∴ 2 ® 4 = y + y1 જો, y = 0 તો y1 = 4 જો, y = 4 તો y1 = 0 તેથી, બાકીના બે શીરોબિંદુઓ ના યામ (1, 0) અને(1, 4) છે.જવાબ : (1) A ને ઊગમબિંદુ લઇ ત્રિકોણના શીરોબિંદુના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો.
જવાબ: A ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD એ X-અક્ષ અને AB એ Y-અક્ષ થશે. તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(4, 6), Q(3, 2), R(6, 5) થશે. તેથી, x1 = 4, y1 = 6, x2 = 3, y2 = 2, x3 = 6, y3 = 5 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D PQR નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [4(-3)+3(-1)+6(4)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [-12-3+24] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [9] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ (2) જો C ઊગમબિંદુ હોય, તો D PQRના શીરોબિંદુઓના યામ તેમજ ક્ષેત્રફળ મેળવો. બંને કિસ્સાઓમાં તમારું અવલોકન પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 7.4) જવાબ: C ને ઊગમબિંદુ તરીકે લેતાં AD એ x-અક્ષ અનેAB એ y-અક્ષ થશે. તેથી, ત્રિકોણના બિંદુઓ P(12, 2), Q(13, 6), R(10, 3) થશે. તેથી, x1 = 12, y1 = 2, x2 = 13, y2 = 6, x3 = 10, y3 = 3 છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, D PQR નું ક્ષેત્રફળ [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [12(3) + 13(1) + 10(-4)] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [36 + 13 - 40] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ [9] ∴ D PQR નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ બંને કિસ્સાઓમાં ક્ષેત્રફળ સમાન થશે.જવાબ :
અહીં, આપેલું છે. ધારો કે AD = x ∴ x ∴ AB = 4x હવે, BD = AB - AD ∴ BD = 4x - x ∴ BD = 3x તેમજ, તેથી, બિંદુઓ D અને E એ બાજુઓ AB અને AC ને ગુણોત્તર 1:3 માં છેદે છે. વિભાજન સુત્રનો ઉપયોગ કરતાં, બિંદુ D ના યામ, = D( ) = D( ) = D( ) = D( ) તેજ રીતે, બિંદુ E ના યામ, = E(