LOADING . . .

GSEB Solutions for ધોરણ ૧૦ Gujarati

GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::

દ્વિઘાત બહુપદી x2 + 2x + 8 ના  શૂન્યો શોધો તથા તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

 

Hide | Show

જવાબ :

x2 + 2x + 8

= x2 - 4x + 2x - 8 

= x (x – 4) +2 (x – 4)

= (x – 4) (x + 2)

X – 4 = 0        અથવા    x + 2 = 0

X = 4                              x =  -2

  આથી બહુપદી x2 + 2x + 8 ના શૂન્યો 4 અને -2 થાય. શૂન્યોનો સરવાળો = 4 + (-2)

= 2

= - (-2) / 1

=  -( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક) શૂન્યોનો ગુણાકાર = 4*(-2)                                  = -8                    = -8/1                    = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક)


દ્વિઘાત બહુપદી 4s2  + 4s  + 1ના  શૂન્યો શોધો તથા તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

 

Hide | Show

જવાબ :

4s2  + 4s  + 1

= 4s2 -2s – 2s + 1

= 2s (2s – 1) -1 (2s – 1)

= (2s – 1) (2s – 1) 4s2  + 4s  + 1 ની કિંમત શૂન્ય લેતા 2s – 1 = 0 અથવા 2s – 1 = 0 થાય. એટલે કે, S = ½   અથવા S = ½   માટે બહુપદી 4s2  + 4s  + 1 ના શૂન્યો ½ અને ½ થાય. શૂન્યોનો સરવાળો = ½  + ½                    =  1                    = -(-4) / 4                    =-( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક) શૂન્યોનો ગુણાકાર = ½ * ½                    = ¼                                 = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક) 


દ્વિઘાત બહુપદી 6x2 – 3 - 7x ના  શૂન્યો શોધો તથા તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : 6x2 – 3 - 7x = 6x2 - 9x + 2x – 3 = 3x (2x – 3)  + 1 (2x – 3 ) = (2x – 3) (2x + 1) 2x – 3 = 0     અથવા    2x + 1 = 0 X =                         x =  -   શૂન્યોનો સરવાળો =   + (- )                   =                       =                                 =  - (- )                    =-( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક) શૂન્યોનો ગુણાકાર =   * (- )                                                =                                         =                                                     = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક) 


 અને  એ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

 

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, દ્વિઘાત બહુપદી ax2 + bx + c  ના શૂન્યો α અને β છે. આથી, α + β =  = α * β =  = જો a = 3       (જો અહી a, b અને c ની કિંમત કેવી રીતે આવી તે બતાવામાં આવે તો બેસ્ટ હશે સમજવામાં) b = -3 c = 1  માટે અહી દ્વિઘાત બહુપદી ૩x2 - 3  + 1 થશે. કોઈ પણ શુન્યેત્તર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k(૩x2 - 3  + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરત મુજબની બહુપદી છે.


0 અને   એ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, દ્વિઘાત બહુપદી ax2 + bx + c  ના શૂન્યો α અને β છે. આથી, α + β = 0  = α * β =    = જો a = 1 b = 0 c =      માટે અહી દ્વિઘાત બહુપદી x2 +   થશે. કોઈ પણ શુન્યેત્તર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k(x2 + ) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરત મુજબની બહુપદી છે.


1 અને 1  એ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, દ્વિઘાત બહુપદી ax2 + bx + c  ના શૂન્યો α અને β છે. આથી, α + β = 1  = α * β = 1  = જો a = 1 b = -1 c =  1  માટે અહી દ્વિઘાત બહુપદી x2 –x + 1  થશે. કોઈ પણ શુન્યેત્તર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k(x2 –x + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરત મુજબની બહુપદી છે.


4 અને 1  એ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, દ્વિઘાત બહુપદી ax2 + bx + c  ના શૂન્યો α અને β છે. આથી, α + β = 4  = α * β = 1  = જો a = 1 b = -4 c =  1  માટે અહી દ્વિઘાત બહુપદી x24x + 1  થશે. કોઈ પણ શુન્યેત્તર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k(x24x + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરત મુજબની બહુપદી છે.


દ્વિઘાત બહુપદી x2 – 24x + 143 ના  શૂન્યો શોધો તથા તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : x2 – 24x + 143 = x2 – 13x – 11x + 143 = x (x-13) -11 (x-13) = (x - 13)(x – 11) x – 13 = 0         or          x – 11 = 0 x = 13                              x = 11   શૂન્યોનો સરવાળો = 13 + 11                    = 24                    = -(-24) / 1                    =-( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક) શૂન્યોનો ગુણાકાર = 13 * 11                    = 143                                 = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક) 


2x2 + 3x + 1 ને x + 2 વડે ભાગો.

Hide | Show

જવાબ : સમજૂતી: જયારે શેષ શૂન્ય હોય અથવા તેની ઘાત ભાજક​ની ઘાત કરતા ઓછી હોય ત્યારે ભાગાકારની પ્રક્રિયા અટકાવવી. આથી અહી, ભાગફળ 2x – 1 અને શેષ 0 છે. ભાજ્ય = ભાજક * ભાગફળ + શેષ        = (x + 2) (2x – 1) + 3          = 2x2 + 3x – 2 – 3           =  2x2 + 3x + 1


3x3 + x2 + 2x + 5  ને 1 + 2x + x2 વડે ભાગો.

Hide | Show

જવાબ : બહુપદીના પદો હંમેશા ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં હોય ત્યારે તે બહુપદીના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે એમ કહેવાય. અહી ભાજ્ય પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે અને  x2 + 2x + 1 એ ભાજકનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ બનશે. સોપાન:1- ભાગફળનું પ્રથમ પદ મેળવવા માટે ભાજ્યની સૌથી મોટી ઘાત વાળા પદને (૩x3)ભજકના સૌથી મોટી ઘાત વાળા પદ (x2) વડે ભાગીશું. આમ કરતા ભાગફળ ૩x મળશે અને ભાગાકારની પ્રક્રિયા આગળ વધારતા -5x2 – x + 5  વધશે. સોપાન:2- ભાગફળનું બીજું પદ મેળવવા માટે ભાગાકારના નવા ભાજ્યની સૌથી મોટી ઘાત વાળા પદને (-5x2) ભાજકના સૌથી મોટી ઘાત વાળા પદ (x2) વડે ભાગો. આથી ભાગફળ -5 મળશે અને હવે ભાગાકારની પ્રક્રિયા -5x2 – x + 5  સાથે આગળ વધારો. સોપાન ૩- 9x + 10 બાકી રહેશે. અહી 9x + 10 ની ઘાત ભજકની ઘાત કરતા ઓછી છે. આથી ભાગાકારની પ્રક્રિયા અહી અટકાવીશું. ભાગફળ= ૩x - 5

શેષ= 9x + 10


3x2 –x3 – 3x  + 5 નો x – 1 – x2 વડે ભાગાકાર કરો અને ભાગપ્રવિધિ ચકાશો.

Hide | Show

જવાબ : અહી આપેલ બહુપદી પ્રમાણિત સ્વરૂપની નથી. આથી બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવવા ભાજ્ય અને ભાજકની ઘટને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવીશું. ભાજ્ય = –x3 + 3x2 – 3x  + 5 ભાજક = – x2 + x – 1 ભાગફળની ઘાત ભાજકની ઘાત કરતા ઓછી હોવાથી, ભાગાકારની પ્રક્રિયા અહી અટકાવીશું. ભાગફળ= x – ૨ શેષ = 3 ભાગપ્રવિધિ ને ચકાશતા, = ભાજક * ભાગફળ + શેષ = (– x2 + x – 1)( x – ૨) + 3 = x3 + x2 – x + 2x2 – 2x + 2 + 3 = –x3 + 3x2 – 3x  + 5

= ભાજ્ય


જો  અને -  એ 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 ના બે શૂન્યો છે. એવું તમે જાણતા હોવ તો બાકીના શૂન્યો શોધો.

Hide | Show

જવાબ : બે શૂન્યો  અને -  હોય તો, =(x - (x + = x2 – 2  આપેલ બહુપદીના અવયવો છે. આપેલ બહુપદીને x2 – 2 વડે ભાગતા. ભાગકારનું પ્રથમ પદ = 2x4 / x2  = 2x2 ભાગફળનું બીજું પદ= -3x3 / x2 =  - 3x ભાગફળનું ત્રીજું પદ = x2 / x2 = 1 માટે, 2x4 - 3x3 – 3x2 + 6x – 2 (x2 – 2) (2x2 – 3x + 1)   = 2x2 – 3x + 1 =  (2x – 1) (x-1) 2x – 1 = 0                      or     x-1 = 0 X = ½                                      x = 1

આથી આપેલી બહુપદીના શૂન્યો    , - , ½  , 1


જો  અને -  3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 ના બે શૂન્યો હોય તો બાકીના શૂન્યો શોધો.

Hide | Show

જવાબ :   અને -  છે માટે, ( x -  ) ( x +  ) = x2 -   એ આપેલ બહુપદીના અવયવ બનશે. બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે આપેલ બહુપદીને x2 -  વડે ભાગીશું. 3x2 + 6x + 3 = 3 (x2 + 2x + 1)                      = 3 (x+ 1)2                      = 3 ((x+ 1) (x+ 1) 3x2 + 6x + 3 ના શૂન્યો -1 અને -1 થાય.

આમ, 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 ના આપેલ શૂન્યો સિવાયના શૂન્યો -1 અને -1 છે.


x3 + 3x2 + x + 2 ને બહુપદી g(x) વડે ભાગતા ભાગફળ અને શેષ અનુક્રમે x – 2 અને -2x + 4 મળે છે, તો g(x) શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ભાજ્ય= x3 + 3x2 + x + 2 ભાગફળ q(x)=  x – 2 શેષ r(x)= -2x + 4 P(x) = g(x) * q(x) + r(x) x3 + 3x2 + x + 2 = g(x) * (x – 2) + (-2x + 4) x3 + 3x2 + x + 2 - (-2x + 4) = g(x) * (x – 2) x3 + 3x2 + 3x 2 = g(x) * (x – 2) g(x) = x3 + 3x2 + 3x 2/ x – 2

આમ, g(x) = x2 – x + 1


ભાગપ્રવિધિ અને નીચેની શરતોને સંતોષે તેવી બહુપદીઓ P(x), g(x), q(x) અને r(x) ના ઉદાહરણ આપો.

શરત: P(x) ની ઘાત =  q(x) ની ઘાત હોય.

Hide | Show

જવાબ : P(x) ની ઘાત =  q(x) ની ઘાત હોવાથી, g(x) ની ઘાત = 0 થાય. એટલે કે g(x) એ શુન્યેત્તર અચળ હોય તેવું એક ઉદાહરણ નીચે મુજબ હોઈ શકે. P(x) = 3x2  + 15x + 13 g(x) = 3 q(x) = x2 + 5x + 4 r(x) = 1 આ ઉદાહરણ નીચે મુજબ ભાગપ્રવિધિનું સમાધાન કરે છે.

3x2  + 15x + 13 = ૩(x2 + 5x + 4) + 1


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને બે બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 2 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને ત્રણ બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને એક જ બિંદુમાં છેદતો/ સ્પર્શતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 1 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને એક જ બિંદુમાં છેદતો/ સ્પર્શતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 1 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને 4 બિંદુમાં છેદતો/ સ્પર્શતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 4 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Locked Answer

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને એક બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 1 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Locked Answer

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને ત્રણ બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Locked Answer

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને 4 બિંદુમાં છેદતો/ સ્પર્શતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 4 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને બે બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 2 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને ત્રણ બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને એક જ બિંદુમાં છેદતો હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 1 છે.


નીચે આકૃતિમાં આપેલ આલેખ બહુપદી P(X) માટે Y= P(X) ના આલેખ છે. જેમાં P(X) ના શૂન્યોની સંખ્યા શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આલેખ X-અક્ષ ને સમાંતર હોવાથી બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા 0 છે.


એવી ત્રિઘાત બહુપદી શોધો જેના શૂન્યોનો સરવાળો, બબ્બે શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે 2,  -7,  -14 હોય. (સ્વાધ્યાય 2.4)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, α + β + γ  = 2, αβ + βγ + γα  = -7 અને αβγ  = -14 આપેલું છે. તેથી ત્રિઘાત સમીકરણ નીચે મુજબ મળે, k {x3- (α + β + γ )x2 + (αβ + βγ + γα ) x - (αβγ)} ∴  k {x3 - 2x2 - 7x + 14}


ભાગ પ્રવિધિ અને r(x) ની ઘાત = 0 આ શરત સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x,  g(x),  q(x)r(x) ના ઉદાહરણો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : p(x) = 2x2 - 4x + 3,  g(x) = x2 - 2x + 1,  q(x) = 2 અને r(x) = 1


ભાગ પ્રવિધિ અને q(x) ની ઘાત = r(x) ની ઘાત આ શરત સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x),  g(x)q(x),  r(x) ના ઉદાહરણો મેળવો.(સ્વાધ્યાય2.3)

Locked Answer

જવાબ : p(x) = 2x- 4x + 3, g(x) = x2 - 2x + 1, q(x) = 2 અને r(x) = 1


ભાગ પ્રવિધિ અને p(x) ની ઘાત = q(x) ની ઘાત શરત સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x),  g(x)q(x),  r(x) ના ઉદાહરણો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : p(x) = 3x2 - 6x + 5,  g(x) = 3,  q(x) = x2 - 2x + 1 અને r(x) = 2


x3 - 3x2 + x + 2 ને બહુપદી g(x) વડે ભાગતાં ભાગફળ અને શેષ x - 2 અને -2x + 4 હોય, તો g(x) ની કિંમત શોધો.(સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : આપણે જાણીએ છીએ કે, ભાજ્ય = ભાજક´ભાગફળ + શેષ   x3 - 3x2 + x + 2 = g(x) × (x - 2) + ( -2x + 4)   x3 - 3x2 + x + 2 - (-2x + 4) = g(x) × (x - 2)   x3 - 3x2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) × (x-2)   x3 - 3x2 + 3x - 2 = g(x) × (x-2) તેથી,  g(x) = x2 - x + 1


x2 + 3x + 1 ને 3x4 + 5x3 - 7x2 + 2x + 2 વડે ભાગીને ચકાસો કે પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે? (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં શેષ શૂન્ય છે તેથી, x2 + 3x + 1 3x4 + 5x3  -  7x2 + 2x + 2 નો અવયવ છે.


x2 - 3x + 1 ને x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1 વડે ભાગીને ચકાસો કે પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે? (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં શેષ શૂન્ય નથી તેથી , x2 - 3x + 1 x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1 નો અવયવ નથી.


4, 1 આપેલ દ્વિઘાત સંખ્યાનો દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે તેના દ્વારા દ્વિઘાત બહુપદી શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, α + β  = 4 અને αβ  = 1 છે. પરિણામોને સરખાવતાં, a = 1, b = -4 તેમજ c = 1 મળે. તેથી, p(x) = x2 - 4x + 1 બહુપદી મળે.


p(x) = x3 - 3x2 + 5x - 3,   g(x) = x2 - 2 આપેલ બહુપદીને p(x) ને g(x) વડે ભાગો અને ભાગફળ અને શેષ કેટલા મળશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : ભાગફળ = x - 3 અને શેષ = 7x - 9


p(x) = x4 - 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 - x આપેલ બહુપદીને p(x) ને g(x) વડે ભાગો અને શેષ કેટલી મળશે તે જણાવો..(સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : ભાગફળ = x2 + x - 3 અને શેષ = 8


p(x) = x4 - 5x + 6,   g(x) = 2 - x2 આપેલ બહુપદીને p(x) ને બહુપદી g(x) વડે ભાગો અને ભાગફળ અને શેષ કેટલા મળશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : ભાગફળ = -x2-2 અને શેષ = -5x + 10


t2 - 3 ને 2t4 + 3t3 - 2t2 - 9t - 12 વડે ભાગીને ચકાસો કે પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે? (સ્વાધ્યાય 2.3)

Locked Answer

જવાબ : અહીં શેષ શૂન્ય છે તેથી, t2 - 3 2t4 + 3t3 - 2t2 - 9t -12 નો અવયવ છે.


1, 1 આપેલી સંખ્યાનો દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે તેના દ્વારા દ્વિઘાત બહુપદી શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, α + β  = 1 અને αβ  = 1 છે. શૂન્યોનો સરવાળો (α + β) =   1 = શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ ) = પરિણામોને સરખાવતાં, a = 1,   b = -1 તેમજ c = 1 મળે. તેથી, p(x) = x2 - x + 1 બહુપદી મળે.


 આપેલ સંખ્યાનો દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે તેના દ્વારા દ્વિઘાત બહુપદી શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં,  અને   છે. શૂન્યોનો સરવાળો (α + β) = -b / a   શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ) = c / a પરિણામોને સરખાવતાં, a = 4, b = 1 તેમજ c = 1 મળે. તેથી, p(x) = 4x2 + x + 1 બહુપદી મળે.


,  - 1 આપેલી સંખ્યાનો દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે તેના દ્વારા દ્વિઘાત બહુપદી શોધો.(સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં,  અને αβ  = -1 છે. શૂન્યોનો સરવાળો (α + β) = -b / a શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ) = c / a   -1 =   -1 = પરિણામોને સરખાવતા, a = 4,   b = -1 તેમજ c = 4 મળે. તેથી p(x) = 4x2  x - 4 બહુપદી મળે.


નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે, તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે.કારણ કે, આલેખ X અક્ષને 3 બિંદુમાં છેદે છે.


 નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે, તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : શૂન્યોની સંખ્યા 4 છે.કારણ કે, આલેખ X અક્ષને 4 બિંદુમાં છેદે છે.


નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે, તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : શૂન્યોની સંખ્યા 2 છે.કારણ કે, આલેખ X અક્ષને 2 બિંદુમાં છેદે છે.


નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે, તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે.કારણ કે આલેખ X-અક્ષને 3 બિંદુમાં છેદે છે.


નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે, તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : શૂન્યોની સંખ્યા 1 છે. કારણ કે આલેખ X-અક્ષને 1 બિંદુમાં છેદે છે.


નીચેની આકૃતિમાં p(x) માટે y = p(x) ના આલેખ છે.તો p(x) ના શૂન્યોની સંખ્યા કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 2.1)

Locked Answer

જવાબ : અહીં આપણને પદાવલી x માં આપેલી છે એટલે આલેખ જેટલા બિંદુમાં X-અક્ષને છેદે તેટલા શૂન્યો  મળશે. શૂન્યોની સંખ્યા 0 છે. કારણ કે આલેખ X-અક્ષને છેદતો નથી.


દ્વિઘાત બહુપદી X2  + 7X + 10 ના શૂન્યો શોધો તથા તેના શૂન્યો અને સહગુણક વચ્ચેનો સંબંધ ચકાશો. 

Hide | Show

જવાબ : X2  + 7X + 10 = (X + 2) (X + 5)

માટે X + 2 = 0          X + 5 = 0 હોય ત્યારે  X2  + 7X + 10 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

માટે X = -2  અને X = -5 થાય

આથી બહુપદી X2  + 7X + 10 ના શૂન્યો -2 અને -5 મળશે.

શૂન્યોનો સરવાળો=  (-2) + (-5)

                  =   -7

                  =   -7 / 1

                  =  -( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક)

શૂન્યોનો ગુણાકાર = (-2) * (-5)

                  = 10

                  = 10/1

                  = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક)


બહુપદી X2  - 3 ના શૂન્યો શોધો તથા તેના શૂન્યો અને સહગુણક વચ્ચેનો સંબંધ ચકાશો

Hide | Show

જવાબ : = X2  - 3

= (X -  (X +

આથી, X =   અથવા  X = -   હોય ત્યારે X2  - 3 ની કિંમત શૂન્ય થાય.

આથી, X2  - 3 ના શૂન્યો   અને -   થાય.

શૂન્યોનો સરવાળો=     +  (-                     

                  =   0

                  =  -( x નો સહગુણક) / (X2 નો સહગુણક)

શૂન્યોનો ગુણાકાર =    *  (-                

                  = -3

                  = -3/1

                  = અચળ પદ /  (X2 નો સહગુણક)


જેના શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે  -3 અને 2 હોય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ધારોકે માંગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax + bx  + c ના શૂન્યો α અને β

α + β = -3 = -b/a

αβ = 2 = c/a

જો a = 1 તો b = 3 અને c = 2

આથી આપેલ સરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી,

X2 + 3x + 2 છે.

વાસ્તવિક k માટે k (X2 + 3x + 2) સ્વરૂપની કોઈ પણ દ્વિઘાત બહુપદીઆ શરતને અનુરૂપ લઇ શકાય.


ચકાસો કે, 3,  -1, -1/3 એ ત્રિઘાત બહુપદી P(x) = 3X3 – 5X2 + 11X – 3 ના શૂન્યો છે અને તે પછી શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલી બહુપદીને ax3 + bx2 + cx + d સાથે સરખાવતા,

a = 3

b = -5

c =  -11

d =  -3

P(3) =  3 * 33 – (5 * 32) – (11 * 3) -3

        = 81 – 45 – 33 – 3 = 0

       

P(-1) =  3 * (-1)3 – 5 * (-1)2 – 11 * (-1) – 3

          =   -3 – 5 + 11 – 3

          =    0    

P(-1/3) =  3 * (-1/3)3 – 5 * (-1/3)2 – 11 * (-1/3) – 3

               =        +    –  3

               = 

                  = 

                  =   0

આથી ૩, -1 અને  એ 3X3 – 5X2 + 11X – 3 ના શૂન્યો છે.

આથી,

α = 3

β = -1

y =    લેતા,

હવે,

α + β + y = 3 + (-1) + ( )

            =  2

            =

            =

            =

αβ + βy + yα

= 3 * (-1) + (-1)* (  ) + (  ) * 3

=  -3 +  - 1

=   

=   

 

αβy = 3 * (-1)* (  )

       = 1

       = -(-3) /3

      = -d / a


x2 -  2x - 8 દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Hide | Show

જવાબ : જો શુન્યેત્તર બહુપદી p ( x ) = ax2 + bx + c નાં શૂન્યો α અને β હોય તો તેમના શૂન્યો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે,

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)

= α+β  =   =

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)

=  αβ   =    =  

x2   2x - 8

અહીં, p (x) = x2 - 2x - 8 છે.

તેથી, a = 1, b = -2 તેમજ c = -8 છે.

આપેલી બહુપદીના અવયવ પાડતાં,

x2 2x - 8 = x2 - 4 x + 2x -8

= x (x - 4) + 2 (x - 4)

= ( x - 4) (x + 2)

આથી, જયારે x -4 = 0 અથવા x + 2 = 0 હોય, ત્યારે x2  -2x - 8 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

x 4 = 0 અથવા x + 2 = 0

  x = 4 અથવા   x = -2

  α  = 4 અને ∴ β  = -2

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)   =     =  

  4 2 =  =

  -2 = -2

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)   =    =  

 4 × (-2) = -

  - 8 = - 8


4s2 - 4s + 1 દ્ર્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને તેમના શૂન્યો અને તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, p (s) = 4s2 - 4s + 1 છે.

તેથી, a = 4, b = - 4 તેમજ c = 1 છે.

આપેલી બહુપદીના અવયવ પાડતાં,

4s2 - 4s + 1 = 4s2 - 2s - 2s + 1

= 2s (2s - 1) -1 (2s - 1)

= ( 2s - 1) (2s - 1)

આથી, જયારે 2s 1 = 0 અથવા 2s 1 = 0 હોય, ત્યારે 4s2 - 4s + 1 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

2s 1 = 0 અથવા 2s 1 = 0

  2s = 1 અથવા   2s = 1

 s  =  અથવા    s =

∴ α  =  અને    β  =

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)   =    =  

 +   =    =

  1 = 1

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)  =     =  

  ´   =

∴   =  


6x2  3 7 x દ્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, p ( x ) = 6x2 7 x -3 છે.

તેથી, a = 6, b = - 7 તેમજ c = - 3 છે.

આપેલી બહુપદીના અવયવ પાડતાં,

6x2 7 x - 3= 6x2 - 9x + 2x - 3

= 3x (2x - 3) + 1 (2x - 3)

= (2x - 3) (3x + 1)

આથી, જયારે 2x 3 = 0 અથવા 3x + 1 = 0 હોય, ત્યારે 6x2 - 7x - 3 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

2x 3 = 0 અથવા 3x + 1 = 0

  2x = 3 અથવા   3x = - 1

  x  =    અથવા   x  =  

∴ α   =    અથવા ∴ β   =  

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)  =  =

∴    +    =   =  

  +     =  

  +    =  

  =  

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)  =  =

   ´   =  

∴   =


t2 - 15 દ્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને તેમનાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવો. (સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, p (t) = t2 - 15 છે.

તેથી, a = 1, b = 0 તેમજ c = -15 છે.

આપેલી બહુપદીના અવયવ પાડતાં,

t2 15 = (t)2 - ( )2

= ( t - ) (t + )

આથી, જયારે t -  = 0 અથવા t +  = 0 હોય, ત્યારે t2 -15 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

t -  = 0 અથવા t -   = 0

   t =  અથવા t = -

∴  α =    અને   β = -

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)  =  =

∴    -  (  )  =     =  0

 0 = 0

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)  =  =

   ´ (-  ) =

  -15  =  -15


3x2 x - 4 દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને તેમના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો. ( સ્વાધ્યાય 2.2)

Locked Answer

જવાબ : અહીં, p(x)  =  3x2 x - 4 છે.

તેથી, a = 3, b = - 1 તેમજ c = - 4 છે.

આપેલ બહુપદીના અવયવ પાડતાં,

3x2 x - 4 = 3x2 - 4x - 3x - 4

= x (3x - 4) -1 (3x - 4)

= (3x - 4) ( x - 1)

આથી, જયારે 3x 4 = 0 અથવા x 1 = 0 હોય, ત્યારે 3x2 x - 4 નું મુલ્ય શૂન્ય થાય.

3x 4 = 0 અથવા x 1 = 0

  3x = 4 અથવા x = 1

   x =   અથવા x = 1

    અથવા β   = 1                 

શૂન્યોનો સરવાળો (α+β)  =  =

∴    - 1 =      =   

   -     =     =  

  =  

∴     =  

શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ)  =  =

  =  


p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2, શૂન્યો:2, 1, 1 ત્રિઘાત બહુપદીની સાથે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ તેના શૂન્યો છે તે જણાવો તેમજ શૂન્યો અને તેના સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ પણ જણાવો. (સ્વાધ્યાય 2.4)

Locked Answer

જવાબ : p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2 માં x = 2 મુકતાં,

∴p(2)  = (2)3 - 4(2)2 + 5(2) - 2

∴ 0  = 8 4 ´ 4 + 5 ´ 2 - 2

  0 = 8 16 + 10 - 2

∴0  = 18 - 18

  0 = 0

∴x   = 2  એ બહુપદીનું એક શૂન્ય છે.

p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2 માં x = 1 મુકતાં,

 = (1)3 - 4(1)2 + 5(1) - 2

  0 = 1 4 ´ 1 + 5 ´ 1 - 2

  0 = 1 4 + 5 - 2

  0 = 6 - 6

  0 = 0

  x = 1 એ બહુપદીનું એક શૂન્ય છે.

p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2 માં a = 1, b = -4, c = 5 અને d = -2 છે.

તેમજ α  = 2,  β  = 1 તેમજ γ  = 1 છે.

શૂન્યોનો સરવાળો = α + β + γ

   2 + 1 + 1 =

  4 =

∴4  = 4

શૂન્યોનો સરવાળો = αβ + βγ + γα

∴2 × 1 + 1 × 1 + 1 × 2  =

∴2 + 1 + 2  =

∴5  = 5

 =

શૂન્યોનો ગુણાકાર = αβγ

  2 ´ 1 ´ 1 =

∴2  =

  2 = 2


બહુપદી  x4 - 6x3 + 16x2 25x + 10 ને બીજી બહુપદી x2 - 2x + k વડે ભાગતાં શેષ x + a મળે તો k અને a ની કિંમત શોધો.

Locked Answer

જવાબ : અહીં, ભાજ્ય = x4 - 6x3 + 16x2 - 25x + 10,  ભાજક = x2 - 2x + k, શેષ = x + a

ભાજ્ય = ભાજક ´ ભાગફળ + શેષ

  x4 - 6x3 + 16x2 - 25x + 10 = (x2 - 2x + k) ´ ભાગફળ + (x + a)

 x4 - 6x3 + 16x2 -25x + 10 -(x + a) = (x2 - 2x + k) ´ ભાગફળ

  x4 - 6x3 + 16x2  - 25x + 10 a = (x2 - 2x + k) ´ ભાગફળ

ભાગફળ =