જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 1 – 1 = 0 a3 – a2 = 1 – 1 = 0 a4 - a3 = 2 – 1 = 1 અહીં, a2 – a1 = a3 – a2 પરંતુ a3 – a2 ≠ a4 - a3 આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4 a3 – a2 = -2 – 2 = -2 – 2 = -4 આમ, a2 – a1 ≠ a3 – a2 આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = -1 – 1 = -2 a3 – a2 = -3 – (-1) = -3 + 1 = -2 a4 - a3 = -5 – (-3) = -5 + 3 = -2 અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = -2 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: -5 + (-2) = -7 અને -7 + (-2) = -9 છે.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 10 – 4 = 6 a3 – a2 = 16 – 10 = 6 a4 - a3 = 22 – 16 = 6 અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = 6 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: 22 + 6 = 28 અને 28 + 6 = 34 છે.
જવાબ : અહીં, a = , d =
-
= -1
જવાબ : જે સમાંતર શ્રેણીમાં અંતિમ પદ ન મળે તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લેતાં, a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...... સમાંતર શ્રેણી દર્શાવે છે. આને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કહેવાય છે.
જવાબ : ઉદાહરણ – 1: એક શાળામાં સવારની સભામાં એક હારમાં ઉભેલા કેટલાક વિદ્યાર્થીઓની ઉંચાઈ (સેમીમાં) 147, 148, 149 ...... 157 છે. અહીં, હારમાં ઉભેલા દરેક વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈમાં એક સેન્ટીમીટરનો વધારો થાય છે. ઉદાહરણ – 2: કોઈ શહેરના જાન્યુઆરી મહિનાના એક સપ્તાહના ન્યૂનતમ તાપમાનની વધતા ક્રમમાં નોંધણી (ડીગ્રી સેલ્સીયસમાં) -3.1, -3.૦, -2.9, -2.8, -2.7, -2.6, -2.5 છે. અહીં, પ્રત્યેક પદ મેળવવા તેની આગળના પદમાં 0.1નો ઉમેરો કરવામાં આવે છે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીમાં નિશ્ચિત સંખ્યાને નિશ્ચિત તફાવત કહેવાય છે. તે ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
જવાબ : જેમાં પ્રથમ પદ સિવાયના પ્રત્યેક પદ, આગળના પળમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરી મેળવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની યાદી એ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1 = 15 બીજા કિલોમીટર માટે a2 = 15 + 8 = 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3 = 23 + 8 = 31 ચોથા કિલોમીટર માટે a4 = 31 + 8 = 39 a2 – a1 = 23 – 15 = 8 a3 – a2 = 31 – 23 = 8 a4 - a3 = 39 – 31 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 8 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : અહીં,
જવાબ : 1 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a1 = 150 2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2 = 150 + 50 = 200 3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3 = 200 + 50 = 250 4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4 = 250 + 50 = 300 a2 – a1 = 200 – 150 = 50 a3 – a2 = 250 – 200 = 50 a4 - a3 = 300 – 250 = 50 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 50 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : શરૂઆતની રકમ a1 = 10000
1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2 = 10000 (1 + )1 = 10800
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3 = 10800 (1 +
)2 = 12597
3 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4 = 12597 (1 +
)3 = 15869
a2 – a1 = 10800 – 10000 = 800
a3 – a2 = 12597 – 10800 = 1797
a4 - a3 = 15869 – 12597 = 3272
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30 ચોથું પદ a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = -2 + 0 = -2 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -2 + 0 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 + 0 = -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 4 બીજું પદ a2 = a1 + d = 4 – 3 = 1 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 1 – 3 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 – 3 = -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, 1, -2, -5 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 3 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 1 - 3 = -2
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -1.25 બીજું પદ a2 = a1 + d = -1.25 – 0.25 = -1.50 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -1.50 – 0.25 = -1.75 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -1.75 – 0.25 = -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -1
બીજું પદ a2 = a1 + d = -1 + 12 = -12
ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -12
+ 12
= 0
ચોથું પદ a4 = a3 + d = 0 + 12
= 12
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1, -12, 0, 12
છે.
જવાબ : દરેક હરીફે બાલદી પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકુ ઉપાડી, પાછા આવી બાલદીમાં નાંખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું બાલદીમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે?
(સુચન: પ્રથમ અને દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર(મીટરમાં) 2 X 5 + 2 X (5 + 3) ]
પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X 5 = 10
બીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 3) = 2 X 8 = 16
ત્રીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 6) = 2 X 11 = 22
તેથી સમાંતર શ્રેણી 10, 16, 22, ... , મળે.
અહીં a = 10, d = 16 – 10 = 6, n = 10 છે. તેમજ Sn = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S10 =
[2 X 10 + (10 – 1)( 6)]
S10 = 5[20 + (9)( 6)]
S10 = 5[20 + 54]
S10 = 5 X 74
S10 = 370 મીટર
જવાબ : અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = ( 2π r )
અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી, 2.0 સેમી ... છે.
તેથી, પ્રથમ કુંતલની લંબાઈ l1 = 0.5π
બીજા કુંતલની લંબાઈ l2 = 1.5π
ત્રીજા કુંતલની લંબાઈ l3 = 2.0π
ચોથા કુંતલની લંબાઈ l4 = 2.5π
અહીં a = 0.5π, d = 1.5π – 0.5π = 0.5π, n = 13 છે. તેમજ S13 = ?
હવે, Sn =
[2a + (n – 1)d]
S13 =
[2 X 0.5π + (13 – 1)( 0.5π)]
S 13 =
[2 X 0.5π + (12)( 0.5π)]
S 13 = 13[0.5π + (6)( 0.5π)]
S 13 = 13[0.5π + 3.0π]
S 13 = 13[3.5π]
S 13 = 13 X 3.5 X
S 13 = 13 X 0.5 X 22
S 13 = 143 સેમી
જવાબ : દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે.
તેથી, વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X ધોરણ
ધોરણ એક દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 1 = 3
ધોરણ બે દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 2 = 6
ધોરણ ત્રણ દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 3 = 9
તેથી a = 3, d = 6 – 3 = 3, n = 12 છે. તેમજ S12 = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S12 = [2 X 3 + (12 – 1)(3)]
S12 = 6[6 + 11(3)]
S12 = 6[6 + 33]
S12 = 6 X 39
S12 = 234
જવાબ : અહીં a = ?, d = 20, n = 7 છે. તેમજ S7 = 700
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
700 =
[2a + (7 – 1) (20)]
700 =
[2a + 6(20)]
700 =
[2a + 120]
700 = 7[a + 60]
a + 60 =
a + 60 = 100
a = 100 – 60
a = 40
તેથી, ઇનામોની શ્રેણી 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 થશે.
પરંતુ ઇનામની રકમ ઉતરતા ક્રમમાં હોય છે તેથી ઇનામો 160, 140 , 120, 100, 80, 60, 40, થશે.
જવાબ : દંડની ભરવી પડતી રકમ = 200, 250, 300, … થશે.
અહીં a = 200, d = 250 – 200 = 2, n = 50 છે. તેમજ S30 = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S30 =
[2 X 200 + (30 – 1)(50)]
S30 = 15[400 + (29)(50)]
S30 = 15[400 + 1450]
S30 = 15[1850]
S30 = 27750
જવાબ : અહીં, a22 = 149, d = 7, S22 = ?
an = a + (n – 1)d
149 = a + (22 – 1)7
149 = a + 21 X 7
149 = a + 147
a = 149 - 147
a = 2
હવે,
Sn = (a + a22)
Sn =
(2 + 149)
Sn = 11 X 151
Sn = 1661
જવાબ : અહીં, a2 = 14, a2 = 18, d = 18 – 14 = 4, S21 = ?
an = a + (n – 1)d
a3 = a + (3 – 1)4
14 = a + 2 X 4
14 = a + 8
a = 14 – 8
a = 6
હવે
Sn = [2a + (n – 1)d]
S51 =
[2 X 6 + (51 – 1)4]
S51 =
[12 + (50)4]
S51 =
[12 + 200]
S51 =
X 212
S51 = 51 X 106
S51 = 5406
જવાબ : અહીં, a = 6, d = 12 – 6 = 6 છે, તેમજ S40 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S40 =
[2 X 6 + (40 – 1)(6)]
S40 = 20[12 + (39)(6)]
S40 = 20[12 + 234]
S40 = 20 X 246
S40 = 4920
જવાબ : અહીં, a = 8, d = 16 – 8 = 8 છે. તેમજ S15 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S15 =
[2 X 8 + (15 – 1)(8)]
S15 =
[16 + (14)(8)]
S15 =
[16 + 112]
S15 =
X 128
S15 = 15 X 64
S15 = 960
જવાબ : અહીં a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 25 છે. તેમજ S25 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S25 =
[2 X 8 + (25 – 1)(2)]
S25 =
[2 + (24)(2)]
S25 =
[2 + 48]
S25 =
[50]
S25 = 25 X 25
S25 = 625
જવાબ : અહીં, a = 17, l = 350, d = 9, Sn = ? , n =?
an = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)9
350 = 17 + 9n – 9
350 = 9n + 8
350 – 8 = 9n
342 = 9n
n =
n = 38
હવે,
Sn =
(a + l)
S38 =
(17 + 350)
S38 = 19 X 367
S38 = 6973
જવાબ : અહીં, a = 5, l = 45, Sn = 400, તેમજ n = ? અને d = ?
Sn = (a + l)
400 =
(5 + 45)
400 =
X 50
500 = n X 25
n =
n = 16
હવે,
an = a + (n – 1)d
45 = 5 + (16 - 1)d
45 = 5 + 15d
45 – 5 = 15d
40 = 15d
d =
d =
જવાબ : અહીં, a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636
Sn = [2a + (n – 1)d]
636 =
[2 X 9 + (n – 1)8]
636 =
[18 X 8n – 8]
636 = n [9 + 4n – 4]
636 = n [4n + 5]
636 = 4n2 + 5n
4n2 + 5n – 636 = 0
4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
n (4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
(4n + 53)(n - 12) = 0
4n + 53 = 0 કે n – 12 = 0
4n =- 53 કે n = 12
n = -
કે n = 12
પદોની સંખ્યા ઋણ પૂર્ણાંક કે અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે.
n = 12
સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, … ના 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.
જવાબ : અહીં, l = 28, , Sn = 192
Sn = (a + l)
144 =
(a + 28)
= a + 28
32 = a + 28
a = 28 - 32
a = 4
જવાબ : અહીં, a = 3, n = 8, Sn = 192
Sn = (a + an)
192 =
(3 + an)
192 = 4(3 + an)
= 3 + an
48 = 3 + an
an = 48 – 3
an = 45
હવે,
an = a + (n – 1)d
a8 = 3 + (8 – 1)d
45 = 3 + 7d
7d = 45 – 3
7d = 42
d = 6
જવાબ : અહીં,
a = 8, an = 62, Sn = 210
Sn = (a + an)
210 =
(8 + 62)
210 =
(70)
210 =
(35)
= n
n = 6
હવે,
an = a + (n – 1)d
62 = 8 + (6 – 1)d
62 – 8 = 5d
54 = 5d
d =
જવાબ : અહીં,
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = , સામાન્ય તફાવત d =
–
=
, S11 = ?.
Sn =
[2a + (n – 1)d]
S11 =
[2 X
+ (11 – 1) X
]
S11 =
[
+
]
S11 =
[
]
S11 =
S11 =
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 – 0.6 = 5, S100 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S100 =
[2 X 0.6 + (100 – 1) X 1.1]
S100 = 50[1.2 + 99 X 1.1]
S100 = 50[1.2 + 108.9]
S100 = 50 X 110.1
S100 = 5505
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -5 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = - 3 – (-5) = 2
જવાબ : પ્રથમ પદ a1=
સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 =
=
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 0.6 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
જવાબ : a2 – a1 = 4 – 2 = 2 a3 – a2 = 8 – 4 = 4 a4 - a3 = 16 – 8 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02 a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002 a4 - a3 = 0.222 – 0.222 = 0.0002 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 3 – 1 = 2 a3 – a2 = 9 – 3 = 6 a4 - a3 = 27 – 9 = 18 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = a2 – a = a a3 – a2 = a3 – a2 = a2 a4 - a3 = a4 – a3 = a2 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 32 – 12 = 9 - 1 = 8 a3 – a2 = 52 – 32 =25 – 9 = 16 a4 - a3 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : અહીં, a = 2, d = 7 – 2 = 5 અને n = 10 હવે, an = a + (n – 1)d an = 2 + (10 – 1) X 5 = 2 + 45 = 47 આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 10મું પદ 47 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = a + (3 - 1)d = a + 2d = 5 ..................(1) અને a7 = a + (7 - 1)d = a + 6d = 9 ...................(2) સુરેખ સમીકરણયુગ્મ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં, a = 3, d = 1 મળે. આથી, માંગેલ સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, 6, 7,.... છે.
જવાબ : હા,
અહીં a = 12, d = 3, an = 99
an = a + (n – 1)d હોવાથી,
99 = 12 + (n – 1) X 3
87 = (n – 1) X 3
n – 1 = = 29
n = 29 + 1 = 30
આમ, 3 વડે વિભાજ્ય બે અંકના પૂર્ણાંકોની સંખ્યા 30 છે.
જવાબ : પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય,... હારમાં ગુલાબના છોડની સંખ્યા 23, 21, 19, ..., 5 છે. ધારો કે, હારની સંખ્યા n છે. અહી, a = 23, d = 21 – 23 = -2, an = 5 હવે, an = a + (n – 1)d હોવાથી, 5 = 23 + (n – 1)(-2) -18 = (n – 1)(-2) n = 29 આથી, ફૂલની ક્યારીમાં 10 હાર છે.
જવાબ : અહીં, a = 8, d = ૩- 8 = -5, n = 22.
આપણે જાણીએ છીએ કે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
આથી, S22 =
[16 + 21(– 5)]
= 11 (16 – 105)
= 11 (-89)
= -979 આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો -979 છે.
જવાબ : અહીં, S14 = 1050, n = 14, a = 10
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
આથી, 1050 =
[20 + 13d]
1050 = 140 + 91d
1050 – 140 = 91d
910 = 91d
d = 10 આથી, a20 = 10 + (20 – 1) X 10 = 200 અથાર્ત 20મું પદ 200 છે.
જવાબ : અહીં, a = 24, d = 21 – 24 = -3, Sn = 78.
આપણે n મુલ્ય શોધવું છે.
આપણે, જાણીએ છીએ કે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
78 =
[48 + (n – 1)(-3)]
=
[51 – 3n]
3n2 – 51n + 156 = 0
n2 – 17n + 52 = 0
(n-4) (n-13) = 0
n = 4 અથવા 13
nનાં બંને મુલ્યો શક્ય છે આથી, માંગેલ પદની સંખ્યા 4 અથવા 13 થાય.
જવાબ : ધારો કે, S1000 = 1 + 2 + 3 + ... + 1000
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોના સરવાળાના સૂત્ર,
Sn = (a + l)નો ઉપયોગ કરતાં,
S1000 =
(1 + 1000) = 500 X 1001 = 500500
આથી, પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો 500500 થાય.
જવાબ : ધારો કે, Sn = 1 + 2 + 3 + ... + 1000
અહીં, a = 1 અને અંતિમ પદ l=n છે.
આથી, Sn = અથવા Sn =
આથી, પ્રથમ n ધન પૂર્ણાકોનો સરવાળો.
Sn =
મળશે.
જવાબ : an = 3 + 2n, હોવાથી,
a1 = 3 + 2 = 5
a2 = 3 + 2 X 2 = 7
a3 = 3 + 2 X 3 = 9
....
આથી, સંખ્યાઓની યાદી 5, 7, 9, 11,... બને.
અહીં, 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 વગેરે.
આથી, તે સમાંતર શ્રેણી બને છે. સામાન્ય તફાવત d = 2.
S24 = [2 X 5 + (24 – 1) X 2]
= 12 [10 + 46] = 672
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d a8 = 7 + (8 – 1)3 a8 = 7 + 7 X 3 a8 = 7 + 21 a8 = 28
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ?, n = 10 અને an = 0 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d 0 = -18 + (10 - 1)d 0 = -18 + 9d 9d = 18 d = 2
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ?, સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d -5 = a + (18 - 1)3 -5 = a – 51 a = 51 – 5 a = 46
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 2.5n = 3.6 + 21.4 2.5n = 25 n = 10
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d a105 = 3.5 + (105 - 1)0 a105 = 3.5 + 0 a105 = 0
જવાબ : અહીં, a = 2, an = 26, an = ? an = a + (n – 1)d a3 = 2 + (3 – 1)d 26 = 2 + 2d 2d = 26 – 2 2d = 24 d = 12 હવે, બીજા પદ માટે an = a + (n – 1)d a2 = 2 + (2 – 1)12 a2 = 2 + 12 a2 = 14 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = 3, d = 8 – 3, a78 = ? 78માં પદ માટે, an = a + (n – 1)d 78 = 3 + (n – 1)(5) 78 – 3 = 5n – 5 75 + 5 = 5n 5n = 80 n = 16 સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, … નું 16મું પદ 78 થાય.
જવાબ : અહીં, a = 7, d = 13 – 7 = 6
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = 205
an = a + (n – 1)d
205 = 7 + (n – 1)(6)
205 - 7 = 6n – 6
198 = 6n – 6
198 + 6 = 6n
6n = 204
n =
n = 34
7, 13, 19, … , 205 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 34 છે.
જવાબ : અહીં, a = 18, d = 15 – 18 = -
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે. તેથી, an = -47
an = a + (n – 1)d
-47 = 18 + (n – 1) (-
)
-47 - 18 = (n – 1) (-
)
- 65 = (n – 1) (-
)
- 65 = (n – 1) (-
)
= n – 1
= n – 1
26 = n – 1
n = 26 + 1
n = 27
18, 15
, 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 27 છે.
જવાબ : અહીં, a = 11, d = 11 – 3, a78 = ?
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ – 150 છે.
તેથી an = -150
an = a + (n – 1)d
-150 = 11 + (n – 1)(-3)
-150 - 11 = (n – 1)(-3)
-161 = -3n + 3
-161 – 3 = -3n
- 164 = -3n
164 = 3n
3n =
n = 54
સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે.
સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, … નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકેનહિ
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. a17 = a10 + 7 a + 16d = a + 9d + 7 16d – 9d = 7 7d = 7 d = 7
જવાબ : અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 – 3 = 12, 54માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ?
an = a54 + 132
a + (n - 1)d = a + 53d + 132
3 + (n - 1)(12) = 3 + 53(12) + 132
3 + 12n – 12 = 3 + 636 + 132
12n – 9 = 771
12n = 771 + 9
12n = 780
n =
n = 65
જવાબ : ધારો કે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 છે. A + 99d – (a + 99d) = 100 A + 99d - a – 99d = 100 A – a = 100 તેમના 1000માં પદનો તફાવત, A + 999d – (a + 999d) = A + 999d - a – 999d = A – a = 100
જવાબ : અહીં, a = 105, તેમજ d = 112 – 105 = 7, an = 994 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
994 = 105 + (n - 1)(7)
994 – 105 = (n – 1)(7)
889 = (n - 1)(7)
889 = 7n – 7
889 + 7 = 7n
7n = 896
n =
n = 128
તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.
જવાબ : 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 12, 16, 20, ..., 248 મળે.
અહીં, a = 12, તેમજ d = 16 – 12 = 4, an = 248 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
248 = 12 + (n - 1)(4)
248 - 12 = (n - 1)(4)
236 = (n - 1)(4)
236 = 4n – 4
236 + 4 = 4n
4n = 240
n =
n = 60
તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 60 હશે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, … માટે a = 63 તેમજ d = 65 – 63 = 2
તેમજ સમાંતર શ્રેણી 3, 10, 17 … માટે a = 3 તેમજ d = 10 – 3 = 7
હવે બંને શ્રેણીના nમાં પદ સમાન છે,
a + (n - 1)d = a + (n - 1)d
63 + (n - 1) 2 = 3 + (n - 1) 7
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
61 + 2n = 7n – 4
2n – 7n = -4 – 61
-5n = -65
n =
n = 13
જવાબ : અહીં a3 = 16, a7 = a5 + 12 an = a + (n - 1)d an = a + 2d 16 = a + 2d a + 2d = 16 ... ... ... ... (1) 7મું પદ 5માં પદથી 12 વધુ છે. a7 = a5 + 12 a + 6d = a + 4d + 12 a + 6d - a - 4d = 12 2d = 12 d = 6 d = 6 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a + 2 X 6 = 16 a + 12 = 16 a = 16 – 12 a = 4 તેથી સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ... મળે.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સામાન્ય તફાવત d = -33 – (-37) = 4, S12 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S12 =
[2 X (-37) + (12 – 1) X 4]
S12 = 6[-74 + 11 X 4]
S12 = 6[-74 + 44]
S12 = 6 X (-30)
S12 = -180
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 – 2 = 5, S10 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S10 =
[2 X 2 + (10 – 1) X 5]
S10 = 5[4 + 9 X 5]
S10 = 5[4 + 45]
S10 = 5 X 49
S10 = 245
જવાબ : અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, an = 20.75 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
20.75 = 5+ (n -1)(1.75)
20.75 – 5 = 1.75(n -1)
15.75 = 1.75(n -1)
(n -1) =
(n -1) = 9
n = 9 + 1
n = 10
તેથી, 10માં અઠવાડિયે તેની બચત 20.75 રૂપિયા થશે.
જવાબ : અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, an = 7000 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
7000 = 5000 + (n -1)(250)
7000 – 5000 = 250n – 250
2000 = 250n – 250
2000 + 250 = 250n
2250 = 250n
n =
n = 11
તેથી 11માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2006માં તેમનું વેતન 7000 રૂપિયા થશે.
જવાબ : તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253તેમજ d = 3 – 8 = -5, a20 = ? an = a + (n - 1)d a20 = 253 + (20 - 1)(-5) a20 = 253 + 19 (-5) a20 = 253 – 95 a20 = 158
જવાબ : a2 – a1 = -
a3 – a2 =
-
a4 - a3 =
-
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1 = ₹ 15 બીજા કિલોમીટર માટે a2 = ₹ (15 + 8) = ₹ 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3 = ₹ (23 + 8) = ₹ 31 ચોથા કિલોમીટર માટે a4 = ₹ (31 + 8) = ₹ 39 ∴ a2 - a1 = 23 - 15 = 8 ∴ a3 - a2 = 31 - 23 = 8 ∴ a4 - a3 = 39 - 31 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 8 છે. આથી આપેલી પરિસ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : ધારો કે નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ a1 = x
∴ a2 - a1 =
x - x = -
x
∴ a3 - a2 =
x -
x = -
x
∴ a4 - a3 =
x -
x = -
x
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : 1 મીટર ખોદવાની ખર્ચ a1 = ₹ 150
2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2 = (150 + 50) = ₹ 200
3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3 = (200 + 50) = ₹ 250
4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4 = (250 + 50) = ₹ 300
∴ a2 - a1 = 200 - 150 = 50
∴ a3 - a2 = 250 - 200 = 50
∴ a4 - a3 = 300 - 250 = 50
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 50 છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : શરૂઆતની રકમ a1 = ₹ 10000
1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2 = 10000 (1 + )2 = ₹ 10800
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3 = 10800 (1 +
)2 = ₹ 12597
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4 = 12597 (1 +
)2 = ₹ 15869
∴ a2 - a1 = 10800 - 10000 = 800
∴ a3 - a2 = 12597 - 10800 = 1797
∴ a4 - a3 = 15869 - 12597 = 3272
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30 ચોથું પદ a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -2 બીજું પદ a2 = a1 + d = -2 + 0 = -2 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -2 + 0 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 + 0 = -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 4 બીજું પદ a2 = a1 + d = 4 - 3 = 1 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 1 - 3 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 = 3 = -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, -1, -2, -5 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -1
બીજું પદ a2 = a1 + d = -1 + = -
ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -
= 0
ચોથું પદ a4 = a3 + d = 0 +
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ - 1, -
છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -1.25 બીજું પદ a2 = a1 + d = -1.25 - 0.25 = -1.50 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -1.50 - 0.25 = -1.75 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -1.75 - 0.25 = -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 3 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 1 - 3 = -2
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -5 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = -3 - (-5) = 2
જવાબ :
પ્રથમ પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ =
ઘન મીટર
બીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ =
ઘન મીટર
ત્રીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ =
ઘન મીટર
તેજ રીતે,
પંદરમું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ =
ઘન મીટર
તેથી, અહીં a =
, l =
તેમજ d =
sn =
[2a + (n - 1)d]
∴ s15 =
(15 - 1)
∴ s15 =
∴ s15 =
]
∴ s15 =
∴ s15 =
∴ s15 =
∴ s15 =
∴ s15 = 750
તેથી, આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ 750 ઘન સેમી કોન્ક્રીટની જરૂર પડશે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 =
સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 =
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 0.6 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 1.7 - 0.6 = 1.1
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 4 - 2 = 2 ∴ a3 - a2 = 8 - 4 = 4 ∴ a4 - a3 = 16 - 8 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = - 2 =
∴ a3 - a2 = 3 -
∴ a4 - a3 =
- 3 =
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d =
સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d =
= 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 4 +
સાતમું પદ a7 = a6 + d =
= 5
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 4,
, 5 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = -3.2 - (-1.2) = -2.0 ∴ a3 - a2 = -5.2 - (-3.2) = -2.0 ∴ a4 - a3 = -7.2 - (-5.2) = -2.0 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત d = -2.00 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -7.2 - 2.00 = -9.2 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -9.2 - 2.00 = -11.2 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -11.2 - 2.00 = -13.2 સમાંતર શ્રેણીના પછીના ત્રણ પદ -9.2, -11.2, -13.2 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = -6 - (-10) = 4 ∴ a3 - a2 = -2 - (-6) = 4 ∴ a4 - a3 = 2 - (-2) = 4 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 4 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 2 + 4 = 6 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10 સાતમું પદ a7 = a6 + d = 10 + 4 = 14 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 6, 10, 14 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 3 + - 3 =
∴ a3 - a2 = 3 + 2
- 3 +
∴ a4 - a3 = 3 + 3
- 3 + 2
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d =
સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 3 + 3
= 3 + 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 3 + 4
= 3 + 5
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 3 + 5
= 3 + 6
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 3 + 4
, 3 + 5
, 3 + 6
છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 0.22 - 0.2 = 0.02
∴ a3 - a2 = 0.222 - 0.22 = 0.002
∴ a4 - a3 = 0.2222 - 0.222 = 0.0002
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = - 4 - 0 = - 4 ∴ a3 - a2 = -8 - (- 4) = - 4 ∴ a4 - a3 = -12 - (-8) = - 4 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = - 4 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -12 - 4 = -16 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -16 - 4 = -20 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -20 - 4 = -24 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -16, -20, -24 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = - - (-
) = 0
∴ a3 - a2 = -
- (-
) = 0
∴ a4 - a3 = -
- (-
) = 0
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 0 સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -
+ 0 = -
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -
+ 0 = -
સાતમું પદ a7 = a6 + d = -
+ 0 = -
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -
-
-
છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 3 - 1 = 2 ∴ a3 - a2 = 9 - 3 = 6 ∴ a4 - a3 = 27 - 9 = 18 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સામાન્ય નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 2a - a = a ∴ a3 - a2 = 3a - 2a = a ∴ a4 - a3 = 4a - 3a = a અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = a સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 4a + a = 5a છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 5a + a = 6a સાતમું પદ a7 = a6 + d = 6a + a = 7a સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 5a, 6a, 7a છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = a2 - a = a2 - a ∴ a3 - a2 = a3 - a2 = a3 - a2 ∴ a4 - a3 = a4 - a3 = a4 - a3 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = = 2
∴ a3 - a2 =
= 3
- 2
∴ a4 - a3 =
= 4
- 3
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d =
સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d =
= 4
= 5
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d =
= 5
= 6
સાતમું પદ a7 = a6 + d =
= 6
= 7
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ
છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 =
∴ a3 - a2 =
∴ a4 - a3 =
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 32 - 12 = 9 - 1 = 8 ∴ a3 - a2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 ∴ a4 - a3 = 72 - 52 = 49 - 25 = 24 અહીં ક્રમિક બે પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 52 - 12 = 25 - 1 = 24 ∴ a3 - a2 = 72 - 52 = 49 - 25 = 24 ∴ a4 - a3 = 73 - 72 = 73 - 49 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 24 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 73 + 24 = 97 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121 સાતમું પદ a7 = a6 + d = 121 + 24 = 145 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 97, 121, 145 છે.
જવાબ : અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)dમાં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a8 = 7 + (8 - 1)3 ∴ a8 = 7 + 7´3 ∴ a8 = 7 + 21 ∴ a8 = 28
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ? , n = 10 અને an = 0 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 0 = -18 + (10 - 1)d ∴ 0 = 18 + 9d ∴ 9d = 18 ∴ d = 2
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ? , સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ -5 = a + (18 - 1)3 ∴ -5 = a - 51 ∴ a = 51 - 5 ∴ a = 46
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 ∴ 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 ∴ 2.5n = 3.6 + 21.4 ∴ 2.5n = 25 ∴ n = 10
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a105 = 3.5 + (105 - 1)0 ∴ a105 = 3.5 + 0 ∴ a105 = 0
જવાબ : અહીં, a = 10, d = 7 - 10 = -3, n = 30 ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a30 = 10 + (30 - 1) (-3) ∴ a30 = 10 + 29 ´ (-3) ∴ a30 = 10 - 87 ∴ a30 = - 77 તેથી, વિકલ્પ (C) સાચો જવાબ છે.
જવાબ : અહીં, a = 3, d = - + 3 =
, n = 11
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a11 = -3 + (11 - 1) (
)
∴ a11 = -3 + 25
∴ a11 = 22
તેથી, વિકલ્પ (B) સાચો જવાબ છે.
જવાબ : અહીં, a = 2, a3 = 26, a2 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = 2 + (3 - 1)d ∴ 26 = 2 + 2d ∴ 2d = 26 - 2 ∴ 2d = 24 ∴ d = 12 હવે, બીજા પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a2 = 2 + (2 - 1)12 ∴ a2 = 2 + 12 ∴ a2 = 14 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = 3, d = 8 - 3 = 5, a78 = ? 78 માં પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 78 = 3 + (n - 1) (5) ∴ 78 - 3 = 5n - 5 ∴ 75 = 5n - 5 ∴ 75 + 5 = 5n ∴ 5n = 80 ∴ n = 16 સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, ....નું 16 મુ પદ 78 થાય.
જવાબ : 7, 13, 19, ...., 205
અહીં, a = 7, d = 13 - 7 = 6
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી ના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = 205
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 205 = 7 + (n - 1)6
∴ 205 - 7 = 6n - 6
∴ 198 = 6n - 6
∴ 198 + 6 = 6n
∴ 6n = 204
∴ n =
∴ n = 34
સમાંતર શ્રેણી 7, 13, 19, ....., 205 માં પદોની સંખ્યા 34 છે.
જવાબ : અહીં, a = 18, d = 15 - 18 = -
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી ના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = - 47
∴ an = a + (n - 1)d
∴ - 47 = 18 + (n - 1) (-
)
∴ - 47 - 18 = (n - 1) (-
)
∴ -65 = (n - 1) ( -
)
∴ 65 = (n - 1) (
)
= n - 1
= n - 1
∴ 26 = n - 1
∴ n = 26 + 1
∴ n = 27
સમાંતર શ્રેણી 18, 15
, 13, ....., - 47 માં પદોની સંખ્યા 27 છે.
જવાબ : 11, 8, 5, 2, ....
અહીં, a = 11, d = 11 - 8 = -3
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ -150 છે.
તેથી, an = -150
∴ an = a + (n - 1)d
∴ -150 = 11 + (n - 1) (-3)
∴ -150 - 11 = (n - 1) (-3)
∴ -161 = -3n + 3
∴ -161 - 3 = -3n
∴ -164 = -3n
∴ 164 = 3n
∴ n =
∴ n = 54
સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે.
સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, .... નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકે નહિ.
જવાબ : અહીં, a11 = 38 તેમજ a16 = 73, a31 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a11 = a + (11 - 1)d ∴ 38 = a + 10d ∴ a = 38 - 10d____ (1) ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a16 = a + (16 - 1)d ∴ 73 = a + 15d____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ 73 = 38 - 10d + 15d ∴ 73 - 38 = 5d ∴ 35 = 5d ∴ d = 7 d = 7 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 38 - 10´7 ∴ a = 38 - 70 ∴ a = -32 હવે આપણે 31 મું પદ શોધવાનું છે. ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a31 = -32 + (31 - 1) (7) ∴ a31 = -32 + 210 ∴ a31 = 178 તેથી, સમાંતર શ્રેણીનું 11 મું પદ 38 અને 16 મું પદ 73 હોય તો 31 મું પદ 178 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = 12 તેમજ a50 = 106, a29 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = a + (3 - 1)d ∴ a = 12 - 2d ___ (1) ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a50 = a + (50 - 1)d ∴ 106 = a + 49d____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ 106 = 12 - 2d + 49d ∴ 106 = 12 + 47d ∴ 106 - 12 = 47d ∴ 94 = 47d ∴ d = 2 d = 2 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 12 - 2 ´ 2 ∴ a = 12 - 4 ∴ a = 8 હવે, આપણે 29 મું પદ શોધવાનું છે. ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a29 = 8 + (29 - 1) (2) ∴ a29 = 8 + 56 ∴ a29 = 64 તેથી, 29 મું પદ 64 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = 4 તેમજ a9 = -8, an = 0 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a3 = a + (3 - 1)d
∴ 4 = a + (3 - 1)d
∴ a = 4 - 2d ……………………… (1)
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a9 = a + (9 - 1)d
∴ -8 = a + 8d ………………………..(2)
સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં,
∴ -8 = 4 - 2d + 8d
∴ -8- 4 = 6d
∴ -12 = 6d
∴ d = -2
d = -2 ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 4 - 2 ´ (- 2)
∴ a = 4 + 4
∴ a = 8
હવે આપણે an = 0 માટે n = ? મું પદ શોધવાનું છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 0 = 8 + (n - 1) (-2)
∴ 0 = 8 - 2n + 2
∴ 0 = 10 - 2n
∴ 2n = 10
∴ n = 5
તેથી, શ્રેણીનું 5 મું પદ 0 થાય.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17 મું પદ 10 માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. ∴ a17 = a10 + 7 ∴ a + 16d = a + 9d + 7 ∴ 16d - 9d = 7 ∴ 7d = 7 ∴ d = 7
જવાબ : અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 - 3 = 12, 54 માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ?
∴ an = a54 + 132
∴ a + (n - 1)d = a + 53d + 132
∴ 3 + (n - 1) (12) = 3 + 53 (12) + 132
∴ 12n - 9 = 771
∴ 12n = 771 + 9
∴ 12n = 780
∴ n =
∴ n = 65
જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. તેમનાં 100 માં પદનો તફાવત 100 છે. ∴ A + 99d - (a + 99d) = 100 ∴ A + 99d - a - 99d = 100 ∴ A - a = 100 તેમનાં 1000 માં પદનો તફાવત, ∴ A + 99d - (a + 999d) = A + 999d - a - 999d = A - a = 100
જવાબ : 7 થી વિભાજ્ય ત્રણ અંકોની સંખ્યા 105, 112, 119, ....., 994 મળે.
અહીં, a = 105 તેમજ d = 112 - 105 = 7, an = 994 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 994 = 105 + (n - 1) (7)
∴ 994 - 105 = (n - 1) (7)
∴ 889 = (n - 1) (7)
∴ 889 = 7n - 7
∴ 889 + 7 = 7n
∴ 7n = 896
∴ n =
∴ n = 128
તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.
જવાબ : 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના ગુણિત 12, 16, 20, ......, 248 મળે.
અહીં, a = 12 તેમજ d = 16 - 12 = 4, an = 248 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 248 = 12 + (n - 1) (4)
∴ 248 - 12 = (n - 1) (4)
∴ 236 = (n - 1) (4)
∴ 236 = 4n - 4
∴ 236 + 4 = 4n
∴ 4n = 240
∴ n =
∴ n = 60
તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના ગુણિત 60 હશે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, .... માટે a = 63 તેમજ d = 65 - 63 = 2
તેમજ સમાંતર શ્રેણી 3, 10, 17, .... માટે a = 3 તેમજ d = 10 - 3 = 7
હવે બંને શ્રેણી ના n માં પદ સમાન છે.
∴ a + (n - 1)d = a + (n - 1)d
∴63 + (n - 1) (2) = 3 + (n - 1) (7)
∴ 63 + 2n - 2 = 3 + 7n - 7
∴ 61 + 2n = 7n - 4
∴ 2n - 7n = - 4 - 61
∴ -5n = -65
∴ n =
∴ n = 13
જવાબ : અહીં, a3 = 16, a7 = a5 + 12 ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = a + 2d ∴ 16 = a + 2d ∴ a + 2d = 16_____ (1) 7 મુ પદ 5 માં પદ થી 12 વધુ છે. ∴ a7 = a5 + 12 ∴ a + 6d = a + 4d + 12 ∴ a + 6d - a - 4d = 12 ∴ 2d = 12 ∴ d = 6 d = 6 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a + 2´6 = 16 ∴ a + 12 = 16 ∴ a = 16 - 12 ∴ a = 4 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ..... મળે.
જવાબ : અહીં, છેલ્લેથી 20 મું પદ શોધવાનું છે. તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253 તેમજ d = 3 - 8 = -5, a20 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a20 = 253 + (20 - 1) (-5) ∴ a20 = 253 + 19´ (-15) ∴ a20 = 253 - 95 ∴ a20 = 158
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીના ચોથા અને આઠમાં પદનો સરવાળો 24 છે. ∴ a4 + a8 = 24 ∴ a + 3d + a + 7d = 24 ∴ 2a + 10d = 24 ∴ a + 5d = 12 ∴ a = 12 - 5d_____ (1) સમાંતર શ્રેણીના છઠ્ઠા અને દસમાં પદનો સરવાળો 44 છે. ∴ a6 + a10 = 44 ∴ a + 5d + a + 9d = 44 ∴ 2a + 14d = 44 ∴ a + 7d = 22_____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ a + 7d = 22 ∴ 12 - 5d + 7d = 22 ∴ 2d = 22 - 12 ∴ 2d = 10 ∴ d = 5 d = 5 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 12 - 5´5 ∴ a = 12 - 25 ∴ a = -13 હવે સમાંતર શ્રેણી ના પ્રથમ ત્રણ પદ -13, -8, -3 મળે.
જવાબ : અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, an = 7000 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 7000 = 5000 + (n - 1) (250)
∴ 7000 - 5000 = 250n - 250
∴ 2000 = 250n - 250
∴ 2000 + 250 = 250n
∴ 2250 = 250n
∴ n =
∴ n = 11
તેથી, 11 માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2007 માં તેમને વેતન ₹ 7000 થશે.
જવાબ : અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, an = 20.75 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 20.75 = 5 + (n - 1) (1.75)
∴ 20.75 - 5 = 1.75 (n - 1)
∴ 15.75 = 1.75 (n - 1)
∴ n - 1 =
∴ n - 1 = 9
∴ n = 9 + 1
∴ n = 10
તેથી, 10 માં અઠવાડિયે તેની બચત₹ 20.75 થશે.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 - 2 = 5 અને s10 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s10 =
[2´2 + (10 - 1)´5]
∴ s10 = 5 [4 + 9´5]
∴ s10 = 5 [4 + 45]
∴ s10 = 5´49
∴ s10 = 245
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સમાન્ય તફાવત d = -33- (-37) = 4 અને s12 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s12 =
[2´ ( - 37) + (12 - 1)´4]
∴ s12 = 6 [-74 + 11´4]
∴ s12 = 6 [-74 + 44]
∴ s12 = (6´-30)
∴ s12 = -180
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 - 0.6 = 1.1, s100 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s100 =
[2´0.6 + (100 - 1)´1.1]
∴ s100 = 50 [1.2 + 99´1.1]
∴ s100 = 50 [1.2 + 108.9]
∴ s100 = 50´110.1
∴ s100 = 5505
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = , સામાન્ય તફાવત d =
અને s11 = ?
∴ sn =
[2a + (n - 1)d]
∴ s11 =
+ (11 - 1)´
]
∴ s11 =
]
∴ s11 =
]
∴ s11 =
∴ s11 =
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત = 10 - 7 =
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ 84 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ an = 7 + (n - 1)
∴ 84 = 7 + (n - 1)
∴ 84 - 7 = (n - 1)
∴ 77 = (n - 1)
∴ 77´
= n - 1
∴ n - 1 = 11´2
∴ n - 1 = 22
∴ n = 22 + 1
∴n = 23
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 84 છે.
∴ sn =
(a + l)
∴ s23 =
(7 + 84)
∴ s23 =
´91
∴
s23 =
∴ s23 = 1046
જવાબ : અહીં, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સામાન્ય તફાવત d = 32 - 34 = -2
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ 10 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 10 = 34 + (n - 1) (-2)
∴ 10 - 34 = (n - 1) (-2)
∴ -24 = (n - 1) (-2)
∴ = (n - 1)
∴ 12 = n - 1
∴ n = 12 + 1
∴ n = 13
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 10 છે.
∴ sn =
(a + l)
∴ s13 =
(34 + 10)
∴ s13 =
´44
∴ s13 = 23´22
∴ s13 = 286
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સામાન્ય તફાવત d = -8 - (-5) = -3
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ -230 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ -230 = -5 + (n - 1) (-3)
∴ -230 + 5 = (n - 1) (-3)
∴ -225 = (n - 1) (-3)
= (n - 1)
∴ 75 = n - 1
∴ n - 1 = 75
∴ n = 75 + 1
∴ n = 76
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = -230 છે.
∴ sn =
(a + l)
∴ s76 =
(-5 - 230)
∴ s76 = 38´ (- 235)
∴ s76 = -8930
જવાબ : અહીં, a = 5, d = 3, an = 50 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 50 = 5 + (n - 1) (3)
∴ 50 - 5 = (n - 1) (3)
∴ 45 = (n - 1) (3)
∴ 45 = 3n - 3
∴ 45 + 3 = 3n
∴ 48 = 3n
∴ n =
∴ n = 16
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 50 છે.
∴ sn =
(a + l)
∴ sn =
(5 + 50)
∴ sn = 8´55
∴ sn = 440
જવાબ : અહીં, a = 7, a13 = 35 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a13 = 7 + (13 - 1)d
∴ 35 = 7 + 12d
∴ 35 - 7 = 12d
∴ 12d = 28
∴ d =
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 35 છે.
∴ sn =
(a + l)
∴ s13 =
(7 + 35)
∴ s13 =
∴s13 = 13´21
∴ s13 = 273
જવાબ : અહીં, a12 = 37, d = 3 આપેલ છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a12 = a + (12 - 1) (3)
∴ 37 = a + 11´3
∴ 37 - 33 = a
∴ a = 4
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 4, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 37 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s12 =
(4 + 37)
∴ s12 = 6´41
∴ s12 = 246
જવાબ : અહીં, d = 5, s9 = 75 છે.
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s9 =
[2a + (9 - 1) (5)]
∴ 75 =
[2a + 8 (5)]
∴ 75 =
(2a + 40)
∴ 75 = 9a + 180
∴ 9a = 75 - 180
∴ 9a = - 105
∴ a = -
∴ a = -
હવે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a9 = -
+ (9 - 1) (5)
∴ a9 = -
+ (8) (5)
∴ a9 = -
+ 40
∴ a9 = -
∴ a9 =
∴ a9 =
જવાબ : અહીં, a = 2, d = 8, sn = 90 છે.
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s9 =
[2´2 + (n - 1) (8)]
∴ 90 =
[4 + 8n - 8]
∴ 90 =
[8n - 4]
∴ 90 = n (4n - 2)
∴ 90 = 4n2 - 2n