GSEB Solutions for ધોરણ ૧૦ Gujarati

જવાબ : અહીં, a₂ – a₁ = 1 – 1  = 0 a₃ – a₂ = 1 – 1 = 0 a₄ - a₃ = 2 – 1 = 1 અહીં, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ પરંતુ a₃ – a₂ ≠ a₄ - a₃ આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી. 

જવાબ : અહીં, a₂ – a₁ = 2 – (-2)  = 2 + 2 = 4 a₃ – a₂ = -2 – 2 = -2 – 2 = -4 આમ, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂   આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

જવાબ : અહીં, a₂ – a₁ = -1 – 1  = -2 a₃ – a₂ = -3 – (-1) = -3 + 1 = -2 a₄ - a₃ = -5 – (-3) = -5 + 3 = -2 અથાર્ત, a_k+1 - a_k હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = -2 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: -5 + (-2) = -7 અને -7 + (-2) = -9 છે.  

જવાબ : અહીં, a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6 a₃ – a₂ = 16 – 10 = 6 a₄ - a₃ = 22 – 16 = 6 અથાર્ત, a_k+1 - a_k હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = 6 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: 22 + 6 = 28 અને 28 + 6 = 34 છે.   

જવાબ : અહીં, a =  , d =  -  = -1

જવાબ : જે સમાંતર શ્રેણીમાં અંતિમ પદ ન મળે તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લેતાં, a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...... સમાંતર શ્રેણી દર્શાવે છે. આને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કહેવાય છે.

જવાબ : ઉદાહરણ – 1: એક શાળામાં સવારની સભામાં એક હારમાં ઉભેલા કેટલાક વિદ્યાર્થીઓની ઉંચાઈ (સેમીમાં) 147, 148, 149 ...... 157 છે. અહીં, હારમાં ઉભેલા દરેક વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈમાં એક સેન્ટીમીટરનો વધારો થાય છે. ઉદાહરણ – 2: કોઈ શહેરના જાન્યુઆરી મહિનાના એક સપ્તાહના ન્યૂનતમ તાપમાનની વધતા ક્રમમાં નોંધણી (ડીગ્રી સેલ્સીયસમાં) -3.1, -3.૦, -2.9, -2.8, -2.7, -2.6, -2.5 છે. અહીં, પ્રત્યેક પદ મેળવવા તેની આગળના પદમાં 0.1નો ઉમેરો કરવામાં આવે છે.

જવાબ : સમાંતર શ્રેણીમાં નિશ્ચિત સંખ્યાને નિશ્ચિત તફાવત કહેવાય છે. તે ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

જવાબ : જેમાં પ્રથમ પદ સિવાયના પ્રત્યેક પદ, આગળના પળમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરી મેળવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની યાદી એ સમાંતર શ્રેણી છે.

જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a₁ = 15 બીજા કિલોમીટર માટે a₂ = 15 + 8 = 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a₃ = 23 + 8 = 31 ચોથા કિલોમીટર માટે a₄ = 31 + 8 = 39 a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8 a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8 a₄ - a₃ = 39 – 31 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 8 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

જવાબ : અહીં,

જવાબ : ​​​​​​1 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₁ = 150 2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₂ = 150 + 50 = 200 3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₃ = 200 + 50 = 250 4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₄ = 250 + 50 = 300 a₂ – a₁ = 200 – 150 = 50 a₃ – a₂ = 250 – 200 = 50 a₄ - a₃ = 300 – 250 = 50 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 50 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

જવાબ : શરૂઆતની રકમ a₁ = 10000 1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a₂ = 10000 (1 + )¹ = 10800 2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a₃ = 10800 (1 + )² = 12597 3 વર્ષ પછી મળતી રકમ a₄ = 12597 (1 + )³ = 15869 a₂ – a₁ = 10800 – 10000 = 800 a₃ – a₂ = 12597 – 10800 = 1797 a₄ - a₃ = 15869 – 12597 = 3272 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= 10 બીજું પદ a₂ = a₁ + d = 10 + 10 = 20 ત્રીજું પદ a₃ = a₂ + d = 20 + 10 = 30 ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = 30 + 10 = 40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= 10 બીજું પદ a₂ = a₁ + d = -2 + 0 = -2 ત્રીજું પદ a₃ = a₂ + d = -2 + 0 = -2 ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = -2 + 0 = -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= 4 બીજું પદ a₂ = a₁ + d = 4 – 3 = 1 ત્રીજું પદ a₃ = a₂ + d = 1 – 3 = -2 ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = -2 – 3 = -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, 1, -2, -5 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= 3 સામાન્ય તફાવત d = a_{2 ­}– a₁ = 1 - 3 = -2  

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= -1.25 બીજું પદ  a₂ = a₁ + d = -1.25 – 0.25 = -1.50 ત્રીજું પદ  a₃ = a₂ + d = -1.50 – 0.25 = -1.75 ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = -1.75 – 0.25 = -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= -1 બીજું પદ  a₂ = a₁ + d = -1 + 12 = -12 ત્રીજું પદ a₃ = a₂ + d = -12 + 12 = 0 ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = 0 + 12 = 12

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1, -12, 0, 12 છે.

જવાબ : દરેક હરીફે બાલદી પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકુ ઉપાડી, પાછા આવી બાલદીમાં નાંખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું બાલદીમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે? (સુચન: પ્રથમ અને દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર(મીટરમાં) 2 X 5 + 2 X (5 + 3) ] પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X 5 = 10 બીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 3)  = 2 X 8 = 16 ત્રીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 6)  = 2 X 11 = 22 તેથી સમાંતર શ્રેણી 10, 16, 22, ... , મળે. અહીં a = 10, d = 16 – 10 = 6, n = 10 છે. તેમજ S_n = ?     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₀  =   [2 X 10 + (10 – 1)( 6)] S₁₀  = 5[20 + (9)( 6)] S₁₀  = 5[20 + 54] S₁₀  = 5 X 74 S₁₀  = 370 મીટર

જવાબ : ​​​​​​અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = ( 2π r )     અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી,   2.0 સેમી ... છે. તેથી, પ્રથમ કુંતલની લંબાઈ l₁ = 0.5π  બીજા કુંતલની લંબાઈ l₂ = 1.5π  ત્રીજા કુંતલની લંબાઈ l₃ = 2.0π  ચોથા કુંતલની લંબાઈ l₄ = 2.5π  અહીં a = 0.5π, d = 1.5π – 0.5π = 0.5π, n = 13 છે. તેમજ S₁₃ = ?     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₃  =   [2 X 0.5π + (13 – 1)( 0.5π)] S ₁₃  =   [2 X 0.5π + (12)( 0.5π)] S ₁₃  =  13[0.5π + (6)( 0.5π)] S ₁₃  =  13[0.5π + 3.0π] S ₁₃  =  13[3.5π] S ₁₃  = 13 X 3.5 X S ₁₃  = 13 X 0.5 X 22 S ₁₃  = 143 સેમી

જવાબ : દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે. તેથી, વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X ધોરણ ધોરણ એક દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 1 = 3 ધોરણ બે દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 2 = 6 ધોરણ ત્રણ દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 3 = 9             તેથી a = 3, d = 6 – 3 = 3, n = 12 છે. તેમજ S₁₂ = ?     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d]

S₁₂  =   [2 X 3 + (12 – 1)(3)]

S₁₂  =  6[6 + 11(3)]

S₁₂  =  6[6 + 33]

S₁₂  =  6 X 39

S₁₂  =  234

જવાબ : અહીં a = ?, d = 20, n = 7 છે. તેમજ S₇ = 700     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] 700 =   [2a + (7 – 1) (20)] 700 =   [2a + 6(20)] 700 =   [2a + 120] 700 = 7[a + 60] a + 60 = a + 60 = 100 a = 100 – 60 a = 40 તેથી, ઇનામોની શ્રેણી 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 થશે. પરંતુ ઇનામની રકમ ઉતરતા ક્રમમાં હોય છે તેથી ઇનામો 160, 140 , 120, 100, 80, 60, 40, થશે.

જવાબ : દંડની ભરવી પડતી રકમ = 200, 250, 300, … થશે. અહીં a = 200, d = 250 – 200 = 2, n = 50 છે. તેમજ S₃₀ = ?     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₃₀  =   [2 X 200 + (30 – 1)(50)] S₃₀  =  15[400 + (29)(50)] S₃₀  =  15[400 + 1450] S₃₀  =  15[1850] S₃₀  =  27750

જવાબ : અહીં, a₂₂  = 149, d = 7,  S₂₂ = ? a_n = a + (n – 1)d 149 = a + (22 – 1)7 149 = a + 21 X 7 149 = a + 147 a = 149 - 147 a = 2 હવે, S_n  =   (a + a₂₂) S_n  =   (2 + 149) S_n  = 11 X 151 S_n  = 1661

જવાબ : અહીં, a₂  = 14, a₂  = 18, d =  18 – 14 = 4,  S₂₁ = ?  a_n = a + (n – 1)d a₃ = a + (3 – 1)4 14 = a + 2 X 4 14 = a + 8 a = 14 – 8 a = 6 હવે    S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₅₁  =   [2 X 6 + (51 – 1)4] S₅₁  =   [12 + (50)4] S₅₁  =   [12 + 200] S₅₁  =   X 212 S₅₁  = 51 X 106 S₅₁  = 5406

જવાબ : અહીં, a = 6, d = 12 – 6 = 6 છે, તેમજ S₄₀ = ? હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₄₀  =   [2 X 6 + (40 – 1)(6)] S₄₀  =  20[12 + (39)(6)] S₄₀  =  20[12 + 234] S₄₀  =  20 X 246 S₄₀  =  4920

જવાબ : અહીં, a = 8, d = 16 – 8 = 8 છે. તેમજ S₁₅ = ? હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₅  =   [2 X 8 + (15 – 1)(8)] S₁₅  =   [16 + (14)(8)] S₁₅  =   [16 + 112] S₁₅  =    X 128 S₁₅  = 15 X 64 S₁₅  = 960

જવાબ : ​​​​​​અહીં a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 25 છે. તેમજ S₂₅ = ?     હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₂₅  =   [2 X 8 + (25 – 1)(2)] S₂₅  =   [2 + (24)(2)] S₂₅  =   [2 + 48] S₂₅  =   [50] S₂₅  = 25 X 25 S₂₅  = 625

જવાબ : અહીં, a = 17, l = 350, d = 9, S_n = ? , n =? a_n = a + (n – 1)d 350 = 17 + (n – 1)9 350 = 17 + 9n – 9 350 = 9n + 8 350 – 8 = 9n 342 = 9n n =   n = 38 હવે, S_n  =   (a + l) S₃₈  =   (17 + 350) S₃₈  = 19 X 367 S₃₈  = 6973

જવાબ : અહીં, a = 5, l = 45, S_n = 400, તેમજ n = ? અને d = ? S_n  =   (a + l) 400 =   (5 + 45) 400 =   X 50 500 = n X 25 n = n = 16
હવે, a_n = a + (n – 1)d 45 = 5 + (16 - 1)d 45 = 5 + 15d 45 – 5 = 15d 40 = 15d d =    d =   

જવાબ : અહીં, a = 9, d = 17 – 9 = 8, S_n = 636 S_n  =   [2a + (n – 1)d] 636  =   [2 X 9 + (n – 1)8] 636 =   [18 X 8n – 8] 636 = n [9 + 4n – 4] 636 = n [4n + 5] 636 = 4n² + 5n 4n² + 5n – 636 = 0 4n² + 53n – 48n – 636 = 0 n (4n + 53) – 12(4n + 53) = 0 (4n + 53)(n - 12) = 0 4n + 53 = 0 કે n – 12 = 0 4n =- 53 કે n = 12 n = -  કે n = 12 પદોની સંખ્યા ઋણ પૂર્ણાંક કે અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે. n = 12 સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, … ના 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.

જવાબ : ​​​​​​અહીં, l = 28, , S_n = 192 S_n  =   (a + l) 144 =   (a + 28)  = a + 28 32 = a + 28 a = 28 - 32 a = 4

જવાબ : ​​​​​​અહીં,  a = 3, n = 8, S_n = 192 S_n  =   (a + a_n) 192 =   (3 + a_n) 192 = 4(3 + a_n)  = 3 + a_n 48 = 3 + a_n a_n = 48 – 3 a_n = 45 હવે, a_n = a + (n – 1)d a₈ = 3 + (8 – 1)d 45 = 3 + 7d 7d = 45 – 3 7d = 42 d = 6

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a = 8, a_n = 62, S_n = 210 S_n  =   (a + a_n) 210 =   (8 + 62) 210 =   (70) 210 =   (35)  = n n = 6 હવે, a_n = a + (n – 1)d 62 = 8 + (6 – 1)d 62 – 8 = 5d 54 = 5d d =   

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = , સામાન્ય તફાવત d =  –  = , S₁₁ = ?. S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₁  =   [2 X  + (11 – 1) X ] S₁₁  =   [ + ] S₁₁  =   [ ] S₁₁  =  S₁₁  = 

જવાબ : ​​​​​​અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 – 0.6 = 5, S₁₀₀ = ?. S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₀₀  =   [2 X 0.6 + (100 – 1) X 1.1] S₁₀₀  =  50[1.2 + 99 X 1.1] S₁₀₀  =  50[1.2 + 108.9] S₁₀₀  =  50 X 110.1 S₁₀₀  = 5505

જવાબ : ​​​​​​પ્રથમ પદ a₁= -5 સામાન્ય તફાવત d  = a_{2 ­}– a₁ = - 3 – (-5) = 2

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁= સામાન્ય તફાવત d = a_{2 ­}– a₁ =   =

જવાબ : ​​​​​​પ્રથમ પદ a₁= 0.6 સામાન્ય તફાવત d = a_{2 ­}– a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1

જવાબ : a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2 a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4 a₄ - a₃ = 16 – 8 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02 a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002 a₄ - a₃ = 0.222 – 0.222 = 0.0002 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : ​​​​​​a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2 a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6 a₄ - a₃ = 27 – 9 = 18 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : a₂ – a₁ = a² – a = a a₃ – a₂ = a³ – a² = a² a₄ - a₃ = a⁴ – a³ = a² અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : ​​​​​​a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 - 1 = 8 a₃ – a₂ = 5² – 3² =25 – 9 = 16 a₄ - a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a = 2, d = 7 – 2 = 5 અને n = 10 હવે, a_n = a + (n – 1)d a_n = 2 + (10 – 1) X 5     = 2 + 45 = 47 આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 10મું પદ 47 છે.

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a₃ = a + (3 - 1)d = a + 2d = 5 ..................(1) અને a₇ = a + (7 - 1)d = a + 6d = 9 ...................(2) સુરેખ સમીકરણયુગ્મ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં, a = 3, d = 1 મળે. આથી, માંગેલ સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, 6, 7,.... છે.      

જવાબ : ​​​​​​હા, અહીં a = 12, d = 3, a_n = 99         a_n = a + (n – 1)d હોવાથી, 99 = 12 + (n – 1) X 3 87 = (n – 1) X 3 n – 1 =  = 29 n = 29 + 1 = 30 આમ, 3 વડે વિભાજ્ય બે અંકના પૂર્ણાંકોની સંખ્યા 30 છે.

જવાબ : પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય,... હારમાં ગુલાબના છોડની સંખ્યા 23, 21, 19, ..., 5 છે. ધારો કે, હારની સંખ્યા n છે. અહી, a = 23, d = 21 – 23 = -2, a_n = 5 હવે, a_n = a + (n – 1)d હોવાથી, 5 = 23 + (n – 1)(-2) -18 = (n – 1)(-2) n = 29 આથી, ફૂલની ક્યારીમાં 10 હાર છે.

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a = 8, d = ૩- 8 = -5, n = 22. આપણે જાણીએ છીએ કે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] આથી, S₂₂  =   [16 + 21(– 5)]

      = 11 (16 – 105)

      = 11 (-89)

      = -979 આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો -979 છે.

જવાબ : અહીં, S₁₄ = 1050, n = 14, a = 10 હવે, S_n  =   [2a + (n – 1)d] આથી, 1050  =   [20 + 13d]

1050 = 140 + 91d

1050 – 140 = 91d

910 = 91d

d = 10             આથી, a₂₀ = 10 + (20 – 1) X 10 = 200             અથાર્ત 20મું પદ 200 છે.     

જવાબ : અહીં, a = 24, d = 21 – 24 = -3, S_n = 78. આપણે n મુલ્ય શોધવું છે. આપણે, જાણીએ છીએ કે,    S_n  =   [2a + (n – 1)d] 78  =   [48 + (n – 1)(-3)]       =  [51 – 3n] 3n² – 51n + 156 = 0 n² – 17n + 52 = 0 (n-4) (n-13) = 0 n = 4 અથવા 13 nનાં બંને મુલ્યો શક્ય છે આથી, માંગેલ પદની સંખ્યા 4 અથવા 13 થાય.

જવાબ : ​​​​​​ધારો કે,  S₁₀₀₀ = 1 + 2 + 3 + ... + 1000 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોના સરવાળાના સૂત્ર, S_n  =   (a + l)નો ઉપયોગ કરતાં, S₁₀₀₀  =   (1 + 1000) = 500 X 1001 = 500500 આથી, પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો 500500 થાય.

જવાબ : ​​​​​​ધારો કે,  S_n = 1 + 2 + 3 + ... + 1000 અહીં, a = 1 અને અંતિમ પદ l=n છે. આથી, S_n =  અથવા S_n = આથી, પ્રથમ n ધન પૂર્ણાકોનો સરવાળો.    S_n =   મળશે.  

જવાબ : a_n = 3 + 2n, હોવાથી, a₁ = 3 + 2 = 5 a₂ = 3 + 2 X 2 = 7 a₃ = 3 + 2 X 3 = 9 .... આથી, સંખ્યાઓની યાદી 5, 7, 9, 11,... બને. અહીં, 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 વગેરે. આથી, તે સમાંતર શ્રેણી બને છે. સામાન્ય તફાવત d = 2. S₂₄ =  [2 X 5 + (24 – 1) X 2]       = 12 [10 + 46] = 672

જવાબ : ​​​​​​અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને a_n = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1)d a_n = a + (n – 1)d a₈ = 7 + (8 – 1)3 a₈ = 7 + 7 X 3 a₈ = 7 + 21 a₈ = 28

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ?, n = 10 અને a_n = 0 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1)d a_n = a + (n – 1)d 0 = -18 + (10 - 1)d 0 = -18 + 9d 9d = 18 d = 2

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ?, સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને a_n = -5 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1)d a_n = a + (n – 1)d -5 = a + (18 - 1)3 -5 = a – 51 a = 51 – 5 a = 46

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને a_n = 3.6 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1)d a_n = a + (n – 1)d 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 2.5n = 3.6 + 21.4 2.5n = 25 n = 10

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને a_n = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1)d a_n = a + (n – 1)d a₁₀₅ = 3.5 + (105 - 1)0 a₁₀₅ = 3.5 + 0 a₁₀₅ = 0

જવાબ : અહીં, a = 2, a_n ­= 26, a_n = ? a_n = a + (n – 1)d a₃ = 2 + (3 – 1)d 26 = 2 + 2d 2d = 26 – 2 2d = 24 d = 12 હવે, બીજા પદ માટે a_n = a + (n – 1)d a₂ = 2 + (2 – 1)12 a₂ = 2 + 12 a₂ = 14 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.  

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a = 3, d = 8 – 3, a₇₈ = ? 78માં પદ માટે,  a_n = a + (n – 1)d 78 = 3 + (n – 1)(5) 78 – 3 = 5n – 5 75 + 5 = 5n 5n = 80 n = 16 સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, … નું 16મું પદ 78 થાય.

જવાબ : અહીં, a = 7, d = 13 – 7 = 6 ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે. તેથી, a_n = 205  a_n = a + (n – 1)d 205 = 7 + (n – 1)(6) 205 - 7 = 6n – 6 198 = 6n – 6 198 + 6 = 6n 6n = 204 n =   n = 34 7, 13, 19, … , 205 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 34 છે.

જવાબ : અહીં, a = 18, d = 15  – 18 = -  ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે. તેથી, a_n = -47 a_n = a + (n – 1)d -47 = 18 + (n – 1) (- ) -47 - 18 = (n – 1) (- ) - 65 = (n – 1) (- ) - 65 = (n – 1) (- ) = n – 1 = n – 1 26 = n – 1 n = 26 + 1 n = 27 18, 15 , 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 27 છે.

જવાબ : અહીં, a = 11, d = 11 – 3, a₇₈ = ? ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ – 150 છે. તેથી a_{n ­}= -150 a_n = a + (n – 1)d -150 = 11 + (n – 1)(-3) -150 - 11 = (n – 1)(-3) -161 = -3n + 3 -161 – 3 = -3n - 164 = -3n 164 = 3n 3n =  n = 54 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે. સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, … નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકેનહિ

જવાબ : ​​​​​​અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. a­₁₇ = a­₁₀ + 7 a + 16d = a + 9d + 7 16d – 9d = 7 7d = 7 d = 7

જવાબ : અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 – 3 = 12, 54માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ? a_n = a₅₄ + 132 a + (n - 1)d = a + 53d + 132 3 + (n - 1)(12) = 3 + 53(12) + 132 3 + 12n – 12 = 3 + 636 + 132 12n – 9 = 771 12n = 771 + 9 12n = 780 n =    n = 65

જવાબ : ધારો કે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 છે. A + 99d – (a + 99d) = 100 A + 99d - a – 99d = 100 A – a = 100   તેમના 1000માં પદનો તફાવત, A + 999d – (a + 999d) = A + 999d - a – 999d = A – a = 100  

જવાબ : અહીં, a = 105, તેમજ d = 112 – 105 = 7, a_n = 994 માટે n = ? a_n = a + (n - 1)d 994 = 105 + (n - 1)(7) 994 – 105 = (n – 1)(7) 889 = (n - 1)(7) 889 = 7n – 7 889 + 7 = 7n 7n = 896 n = n = 128 તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.

જવાબ : 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 12, 16, 20, ..., 248 મળે. અહીં, a = 12, તેમજ d = 16 – 12 = 4, a_n = 248 માટે n = ? a_n = a + (n - 1)d 248 = 12 + (n - 1)(4) 248 - 12 = (n - 1)(4) 236 = (n - 1)(4) 236 = 4n – 4 236 + 4 = 4n 4n = 240 n =  n = 60 તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 60 હશે. 

જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, … માટે a = 63 તેમજ d = 65 – 63 = 2 તેમજ સમાંતર શ્રેણી  3, 10, 17 … માટે a = 3 તેમજ d = 10 – 3 = 7 હવે બંને શ્રેણીના nમાં પદ સમાન છે,     a + (n - 1)d = a + (n - 1)d 63 + (n - 1) 2 = 3 + (n - 1) 7 63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7 61 + 2n = 7n – 4 2n – 7n = -4 – 61 -5n = -65 n =   n = 13

જવાબ : ​​​​​​અહીં a₃ = 16, a₇ = a₅  + 12 a_n = a + (n - 1)d a_n = a + 2d 16 = a + 2d a + 2d = 16 ... ... ... ... (1) 7મું પદ 5માં પદથી 12 વધુ છે. a₇ = a₅  + 12 a + 6d = a + 4d + 12 a + 6d - a - 4d = 12 2d = 12 d = 6 d = 6 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,  a + 2 X 6 = 16 a + 12 = 16 a = 16 – 12 a = 4 તેથી સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ... મળે.

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સામાન્ય તફાવત d = -33 – (-37) = 4, S₁₂ = ?. S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₂  =   [2 X (-37) + (12 – 1) X 4] S₁₂  =  6[-74 + 11 X 4] S₁₂  =  6[-74 + 44] S₁₂  =  6 X (-30) S₁₂  = -180

જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 – 2 = 5, S₁₀ = ?. S_n  =   [2a + (n – 1)d] S₁₀  =   [2 X 2 + (10 – 1) X 5] S₁₀  =  5[4 + 9 X 5] S₁₀  =  5[4 + 45] S₁₀  =  5 X 49 S₁₀  = 245

જવાબ : અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, a_n = 20.75 માટે n = ? a_n = a + (n - 1)d 20.75   = 5+ (n -1)(1.75) 20.75 – 5 = 1.75(n -1) 15.75 = 1.75(n -1) (n -1) =   (n -1) = 9 n = 9 + 1 n = 10 તેથી, 10માં અઠવાડિયે તેની બચત 20.75 રૂપિયા થશે.

જવાબ : ​​​​​​અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, a_n = 7000 માટે n = ? a_n = a + (n - 1)d 7000 = 5000 + (n -1)(250) 7000 – 5000 = 250n – 250 2000 = 250n – 250 2000 + 250 = 250n 2250 = 250n n = n = 11 તેથી 11માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2006માં તેમનું વેતન 7000 રૂપિયા થશે.

જવાબ : તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253તેમજ d = 3 – 8 = -5, a₂₀ = ? a_n = a + (n - 1)d a₂₀ = 253 + (20 - 1)(-5) a₂₀ = 253 + 19 (-5) a₂₀ = 253 – 95 a₂₀ = 158

જવાબ : a₂ – a₁ =  -   a₃ – a₂ =  -   a₄ - a₃ =  - અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a₁  =  ₹ 15 બીજા કિલોમીટર માટે a₂  =  ₹ (15  +  8)  =  ₹ 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a₃  =  ₹ (23  +  8)  =  ₹ 31          ચોથા કિલોમીટર માટે a₄  =  ₹ (31  +  8)  =  ₹ 39 ∴ a₂  -  a₁  =  23  -  15  =  8 ∴ a₃  -  a₂  =  31  -  23  =  8 ∴ a₄  -  a₃  =  39  -  31  =  8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 8 છે. આથી આપેલી પરિસ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

જવાબ : ધારો કે નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ a₁  =  x ∴ a₂  -  a₁  =  x  -  x  =    -  x ∴ a₃  -  a₂  =  x  -  x  =    -  x ∴ a₄  -  a₃  =  x  -  x  =    -  x અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : 1 મીટર ખોદવાની ખર્ચ a₁  =  ₹ 150 2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₂  =   (150  +  50)  =  ₹ 200 3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₃  =   (200  +  50)  =  ₹ 250 4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a₄  =   (250  +  50)  =  ₹ 300 ∴ a₂  -  a₁  =  200  -  150  =  50 ∴ a₃  -  a₂  =  250  -  200  =  50 ∴ a₄  -  a₃  =  300  -  250  =  50 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 50 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.

જવાબ : શરૂઆતની રકમ a₁  =  ₹ 10000 1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a₂  =  10000 (1  +  )²  =  ₹ 10800 2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a₃  =  10800 (1  +  )²  =  ₹ 12597 2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a⁴  =  12597 (1  +  )²  =  ₹ 15869 ∴ a₂  -  a₁  =  10800  -  10000  =  800 ∴ a₃  -  a₂  =  12597  -  10800  =  1797 ∴ a₄  -  a₃  =  15869  -  12597  =  3272 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  10  બીજું પદ a₂  =  a₁  +  d  =  10  +  10  =  20  ત્રીજું પદ a₃  =  a₂  +  d  =  20  +  10  =  30  ચોથું પદ a₄  =  a₃  +  d  =  30  +  10  =  40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10,  20,  30,  40 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  -2  બીજું પદ a₂  =  a₁  +  d  =  -2  +  0  =  -2  ત્રીજું પદ a₃  =  a₂  +  d  =  -2  +  0  =  -2 ચોથું પદ a₄  =  a₃  +  d  =  -2  +  0  =  -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2,  -2,  -2,  -2 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  4  બીજું પદ a₂  =  a₁  +  d  =  4  -  3  =  1  ત્રીજું પદ a₃  =  a₂  +  d  =  1  -  3  =  -2 ચોથું પદ a₄  =  a₃  +  d  =  -2  =  3  =  -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4,  -1,  -2,  -5 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  -1  બીજું પદ a₂  =  a₁  +  d  =  -1  +    =  -  ત્રીજું પદ a₃  =  a₂  +  d  =    -    =  0 ચોથું પદ a₄  =  a₃  +  d  =  0  +  સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ   -  1,    -    છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  -1.25 બીજું પદ a₂  =  a₁  +  d  =  -1.25  -  0.25  =  -1.50 ત્રીજું પદ a₃  =  a₂  +  d  =  -1.50  -  0.25  =  -1.75 ચોથું પદ a₄  =  a₃  +  d  =  -1.75  -  0.25  =  -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25,  -1.50,  -1.75,  -2.00 છે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  3 સામાન્ય તફાવત d  =  a₂  -  a₁  =  1  -  3  =  -2

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  -5 સામાન્ય તફાવત d  =  a₂  -  a₁  =  -3  -   (-5)  =  2

જવાબ : પ્રથમ પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ  =  ઘન મીટર  બીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ  =  ઘન મીટર  ત્રીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ  =  ઘન મીટર  તેજ રીતે,   પંદરમું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ  =  ઘન મીટર તેથી,  અહીં a  = ,  l  =  તેમજ d  =  s_n  =  [2a  +   (n  -  1)d] ∴ s₁₅ =  (15  -  1)  ∴ s₁₅ =  ∴ s₁₅ = ] ∴ s₁₅ =  ∴ s₁₅ =   ∴ s₁₅ =  ∴ s₁₅ =  ∴ s₁₅ = 750 તેથી,  આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ 750 ઘન સેમી કોન્ક્રીટની જરૂર પડશે.

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =   સામાન્ય તફાવત d  =  a₂  -  a₁  = 

જવાબ : પ્રથમ પદ a₁  =  0.6 સામાન્ય તફાવત d  =  a₂  -  a₁  =  1.7  -  0.6  =  1.1

જવાબ : ∴ a₂  -  a₁  =  4  -  2  =  2 ∴ a₃  -  a₂  =  8  -  4  =  4 ∴ a₄  -  a₃  =  16  -  8  =  8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.

જવાબ : ∴ a₂  -  a₁  =   -  2  =  ∴ a₃  -  a₂  =  3  -  ∴ a₄  -  a₃  =   -  3  =  અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d  =  સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a₅  =  a₄  +  d  =   =  4 છઠ્ઠું પદ a₆  =  a₅  +  d  =  4  +  સાતમું પદ a₇  =  a₆  +  d  =   =  5  સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 4, , 5 છે.

જવાબ : ∴ a₂  -  a₁  =  -3.2  -   (-1.2)  =  -2.0 ∴ a₃  -  a₂  =  -5.2  -   (-3.2)  =  -2.0 ∴ a₄  -  a₃  =  -7.2  -   (-5.2)  =  -2.0 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત d  =  -2.00 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a₅  =  a₄  +  d  =  -7.2  -  2.00  =  -9.2 છઠ્ઠું પદ a₆  =  a₅  +  d  =  -9.2  -  2.00  =  -11.2 સાતમું પદ a₇  =  a₆  +  d  =  -11.2  -  2.00  =  -13.2 સમાંતર શ્રેણીના પછીના ત્રણ પદ -9.2,  -11.2,  -13.2 છે.