LOADING . . .

GSEB Solutions for ધોરણ ૧૦ Gujarati

GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::

જોહ્ન અને જીવંતી પાસે કુલ ૪૫ લખોટીઓ છે. પ્રત્યેક વ્યક્તિ પાંચ-પાંચ લખોટી ખોઈ કાઢે છે અને હવે તેમની પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓ  ની સંખ્યાનો ગુણાકાર 124 છે, આપણે જાણવું છે કે તેમની પાસે શરૂઆતમાં કેટલી લખોટીઓ હતી. આ સ્થિતિને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે જોહ્ન પાસે x લખોટીઓ છે. આથી, જીવંતી પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x જોહ્ન પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = x – 5 જીવંતી પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x – 5 = 40 – x આથી, તેમનો ગુણાકાર = (x - 5)(40 - x)

= 40x – x2 – 200 + 5x

= -x2 + 45x – 200 આથી, -x2 + 45x + 200 = 124 (ગુણાકાર 124 આપેલ છે) -x2 + 45x - 324 = 0 x2 - 45x + 324 = 0 આથી, જોહ્ન પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા, દ્વિઘાત સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0 નું સમાધાન કરે છે. માંગેલ પ્રશ્નની આ ગાણિતિક રજૂઆત છે.


એક કુટિર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલાંક રમકડાં બનાવે છે. પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) 55માંથી એક દિવસમાં ઉત્પાદિત થતાં રમકડાંની સંખ્યા બાદ કરીએ તેટલો છે. કોઈ એક ચોક્કસ દિવસે ઉત્પાદન-ખર્ચ 750 રૂપિયા છે. આપણે તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા જાણવી છે. સ્થિતિને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા x છે. આથી, તે નિશ્ચિત દિવસે પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) = 55 – x આથી, તે દિવસનો રમકડાં બનાવવાનો કુલ ખર્ચ = x (55 – x) આથી, X (55 - x) = 750 55x – x2 = 750 X2 + 55x - 750 = 0 X2 - 55x + 750 = 0 આથી, નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ X2 - 55x + 750 = 0 નું સમાધાન કરે છે. આ આપેલ પ્રશ્નની ગાણિતિક રજૂઆત છે.  


(x - 2)2 + 1 = 2x – 3. ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ

 

Hide | Show

જવાબ :

ડા.બા = (x - 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1

= x2 – 4x + 5                 આથી, (x - 2)2 + 1 = 2x – 3 ને                         x2 – 4x + 5 = 2x – 3 તરીકે લખી શકાય.                         x26x + 8 = 0                 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. 


x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2). ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ

Hide | Show

જવાબ : x(x + 1) + 8 = x2 + x + 8 અને (x + 2)(x - 2) = x2 – 4 છે.

આથી,  

x2 + x + 8 = x2 – 4

x + 12 = 0 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ નથી. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. 


x(2x + 3) = x3 + 1. ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ

Hide | Show

જવાબ : અહીં, ડા.બા = x(2x + 3) = 2x2 + 3x આથી, x(2x + 3) = x2 + 1ને 2x2 + 3x = x2 + 1 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય. આથી,  x2 + 3x – 1 = 0. a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. 


(x + 2)3  = x3 – 4. ચકાસો દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહિ

Hide | Show

જવાબ : અહીં, ડા.બા = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 આથી, (x + 2)3  = x3 – 4 ને x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – 4 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય. 6x2 + 12x + 12 = 0 અથવા x2 + 2x + 2 = 0 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


આકૃતિમાં પ્રાર્થનાખંડ દર્શાવેલ છે. આ પ્રાર્થનાખંડની બાજુઓનાં માપ શોધો.

 

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​​જો ખંડની પહોળાઈ x મી હોય તો x એ સમીકરણ 2x2  + x – 300 = 0 નું સમાધાન કરે. અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતાં, આપણે, સમીકરણને 2x2 – 24x + 25x – 300 = 0 એમ લખી શકીએ. 2x (x - 12) + 25 (x - 12) = 0 (x – 12) (2x + 25) = 0 x – 12 = 0 અથવા 2x + 25 = 0 x = 12 અથવા x = -12.5 આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ x = 12 અથવા x = -12.5 છે. પરંતુ એ ખંડની પહોળાઈ હોવાથી તે ઋણ ન હોઈ શકે, આથી, ખંડની પહોળાઈ 12મી અને તેની લંબાઈ 2x + 1 = 25મી.     


સમીકરણ 4x2 + 3x + 5 = 0નાં બીજ પૂર્ણવર્ગની રીતે શોધો.

Hide | Show

જવાબ : આપણે નોંધીએ કે 4x2 + 3x + 5 = 0 અને (2x)2 + 2  x   + ()2 – ()2 + 5 = 0 સમાન છે.

(2x + )2 -  + 5 = 0

(2x + )2 +  = 0

(2x + )2 =  -  < 0

પરંતુ xના કોઈ પણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે (2x + )2 ઋણ હોઈ ના શકે.

આથી, કોઈ જ વાસ્તવિક સંખ્યા x આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરશે નહિ.

આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તે શક્ય નથી.


સમીકરણ 3x2 – 5x + 2 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : 3x2 – 5x + 2 = 0 અહીં, a = 3, b = -5, c = 2 આથી, b2- 4ac = 25 – 24 = 1 > 0 x =    =  અથાર્ત્, x = 1 અથવા    આમ, બીજ  અને 1 છે.


સમીકરણ x2 + 4x + 5 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : x2 + 4x + 5 = 0 અહીં, a = 1, b = 4, c = 5 આથી, b2- 4ac = 16 – 20 = -4 < 0 કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ના હોઈ શકે. આથી, b2 – 4ac નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક ન મળે. આથી, આપેલ સમીકરણને એક પણ વાસ્તવિક બીજ ના મળે. 


(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) 2x2 – x – 6x + 3 = x2 + 5x – x - 5 2x2 – x – 6x + 3 - x2 - 5x + x + 5 = 0 x2 – 11x + 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે.  


(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) x2 – 2x + x – 2 = x2 – x + 3x – 3 x2 – 2x + x – 2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 -3x + 1 = 0 3x – 1 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.  


x2 – 2x = (-2)(3 - x) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, x2 – 2x = (-2)(3 - x) x2 – 2x = -6 + 2x x2 – 2x + 6 – 2x = 0 x2 – 4x + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 – 2x = (-2)(3 - x) દ્વિઘાત સમીકરણ છે.  


(x + 1)2 = 2(x - 3) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x + 1)2 = 2(x - 3) x2 + 2x + 1 = 2x – 6 x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 x2 + x + 7 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x + 1)2 = 2(x - 3)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. 


(x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​​આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x x2 + x – 6x – 3 - 5x = 0 x2 – 10x – 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. 


સમીકરણ 3x2 – 2x +  = 0 નો વિવેચક શોધો. તે પરથી સમીકરણનાં બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો. જો તે વાસ્તવિક હોય તો મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : અહીં,  a = 3, b = -2, c =   આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-2)2 – (4 X 3 X ) = 4 – 4 = 0 આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બંને બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે. બીજ   ,   અથાર્ત્   ,  અથાર્ત્   ,  છે.


સમીકરણ   -    = 3, x 0,2 સમીકરણનાં બીજ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : x 0,2 હોવાથી, સમીકરણને x(x - 2) વડે ગુણતાં, (x – 2) – x = 3x (x – 2) = 3x2  – 6x આથી, આપેલ સમીકરણ પરિવર્તિત થઇ 3x2  – 6x + 2 = 0 બને. આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. અહીં, a = 3 , b = -6, c = 2 આથી, b2- 4ac = 3624 = 12 > 0 x =   =   =     આમ, બીજ    અને      છે. 


દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 – 4x + 3 = 0 નો વિચેચક શોધો અને તેના પરથી બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો.

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​​આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ a = 2, b = -4, c = 3 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું છે. આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-4)2 – (4 X 2 X 3) = 16 – 24 = -8 < 0 આથી, આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ શક્ય નથી.


સમીકરણ x +  = 3, x 0 સમીકરણનાં બીજ શોધો. 

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​સમીકરણ x +  = 3 ને x વડે ગુણતાં, x2 + 1 = 3x અથાર્ત્   x2 - 3x + 1 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે. અહીં, a = 1 , b = -3, c = 1 આથી, b2- 4ac = 94 = 5 > 0

x =    

આમ, બીજ   અને   છે. 


સમીકરણ 2x2 –22x + 1 = 0નો દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી બીજ મેળવો.

Hide | Show

જવાબ :


x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.

Hide | Show

જવાબ :

આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4 x2 + 3x + 1 - x2 + 4x – 4 = 0 7x – 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.  


જેની લંબાઈ, પહોળાઈ કરતાં બમણી હોય અને ક્ષેત્રફળ 800 મી2 હોય તેવી આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે? જો તમારો ઉત્તર “હા” હોય તો, તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ મેળવો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે આંબાવાડીની પહોળાઈ x મી છે. તેથી, આંબાવાડીની લંબાઈ 2x મી થાય. આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ 800 મી2 છે. તેથી, ક્ષેત્રફળ = x X 2x 800 = x X 2x 2x2 = 800 x2  = x2  = ±20 લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે. x = 20 તેથી, આંબાવાડીની પહોળાઈ 20મી અને આંબાવાડીની લંબાઈ 2x = 2 X 20 = 40 મી થાય. 


kx(x - 2) + 6 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય તો, kનું મુલ્ય શોધો. 

Locked Answer

જવાબ : kx(x - 2) + 6 = 0 kx2 – 2kx + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = k, b = -2k અને c = 6 મળે. અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 – 4ac = 0 (-2k)2 – 4 X k X 6 = 0 4k2 – 24k = 0 4k (k - 6) = 0 4k = 0 અથવા k – 6 = 0 k = 0 અથવા k = 6 k = 0 કિમત સમીકરણ kx(x - 2) + 6 = 0 ને સંતોષાતી નથી.


2x2 + kx + 3 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય તો, kનું મુલ્ય શોધો. 

Locked Answer

જવાબ : 2x2 + kx + 3 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = k અને c = 3 મળે. અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 – 4ac = 0 k2 – 4 X 2 X 3 = 0 k2 - 24 = 0 k2 = 24 k =  


  1. ​​​​​​2x2 – 3x + 5 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનાં સ્વરૂપ શોધો. જો તેમને વાસ્તવિક બીજ હોય તો તે શોધો.
Hide | Show

જવાબ : 2x2 – 3x + 5 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = -3 અને c = 5 મળે. તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-3)2 – 4 X 2 X 5 = 9 – 40 = -31 અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = -31 < 0 જે ઋણ છે. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.


x2 - 55x + 750 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો. આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,

Hide | Show

જવાબ : x2 - 55x + 750 = 0 x2 – 30x – 25x +  750 = 0 x(x - 30) - 25(x - 30) = 0 (x - 30) (x - 25) = 0 x - 30 = 0 અથવા x - 25 = 0 x = 30 અથવા x = 25 તેથી, સમીકરણ x2 - 55x + 750 = 0ના બીજ 30 અથવા 25 છે. 


x2 - 45x + 324 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​​આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, x2 - 45x + 324 = 0 x2 – 36x – 9x +  324 = 0 x(x - 36) - 9(x - 36) = 0 (x - 36) (x - 9) = 0 x - 36 = 0 અથવા x - 9 = 0 x = 36 અથવા x = 9 તેથી, સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0ના બીજ 36 અથવા 9 છે. 


100x2 - 20x + 1 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, 100x2 - 20x + 1 = 0 100x2 – 10x – 10x +  1 = 0 10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0 (10x - 1) (10x - 1) = 0 10x - 1 = 0 અથવા 10x - 1 = 0 x =  અથવા x = તેથી, સમીકરણ 100x2 - 20x + 1 = 0ના બીજ  અથવા  છે.


2x2 - x +  = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.

આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,

Hide | Show

જવાબ : 2x2 - x +  = 0 16x2 – 4x – 4x +  1 = 0 4x(4x - 1) + 1(4x - 1) = 0 (4x - 1) (4x - 1) = 0 4x - 1 = 0 અથવા 4x - 1 = 0 x =  અથવા x = તેથી, સમીકરણ 2x2 - x +  = 0ના બીજ  અથવા  છે.


2x2 + x – 6 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, 2x2 + x – 6 = 0 2x2 – 4x + 3x – 6 = 0 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 (x - 2) (2x + 3) = 0 x - 2 = 0 અથવા 2x + 3 = 0 x = 2 અથવા x = - તેથી, સમીકરણ 2x2 + x – 6 = 0ના બીજ 2 અથવા -  છે.  


x2 – 3x – 10 = 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​​આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, x2 – 3x – 10 = 0 x2 – 5x + 2x – 10 = 0 x(x - 5) + 2(x - 5) = 0 (x - 5) (x + 2) = 0 x - 5 = 0 અથવા x + 2 = 0 x = 5 અથવા x = -2 તેથી, સમીકરણ x2 – 3x – 10 = 0ના બીજ 5 અથવા -2 છે.  

 


x3 – 4x2 – x + 1 = (x - 2)3 દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો.આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,

Hide | Show

જવાબ : x3 – 4x2 – x + 1 = (x - 2)3 x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6x2 + 12x - 8 x3 – 4x2 – x + 1 - x3 + 6x2 - 12x + 8 = 0 2x2 – 13x + 9 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)3  = 2x(x2 - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે.  


(x - 2)3  = 2x(x2 - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે નહીં ચકાસો. આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં,

Hide | Show

જવાબ : (x - 2)3  = 2x(x2 - 1) x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x x3 + 6x2 + 12x + 8 - 2x3 + 2x = 0 -x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 x3 - 6x2 - 12x - 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)3  = 2x(x2 - 1) દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.  


રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટા છે.આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી

સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે.આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે અને આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે રોહનની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે તેથી, રોહનની માતાની હાલની ઉંમર x + 26 વર્ષ થાય. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે. 3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર x + 3 વર્ષ થાય. 3 વર્ષ પછી રોહનની માતાની ઉંમર x + 26 + 3 = x + 29 વર્ષ થાય.  (x + 3)(x + 29) = 360  x2 + 3x + 29x + 87 = 360  x2 + 32x + 87 - 360 = 0  x2 + 32x - 273 = 0 તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 32x - 273 = 0 છે.


બે ક્રમિક ઘન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.આપણે આ ઘન પૂર્ણાંકો શોધવા છે અને આ પરિસ્થિતિ  પરથી દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ :  ધારોકે પ્રથમ ઘન પૂર્ણાંક x છે. તેથી, બીજો ઘન પૂર્ણાંક x + 1 થાય. બે ક્રમિક ઘન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.   x(x + 1) = 306   x2 + x = 306   x2 + x - 306 = 0 તેથી, માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + x - 306 = 0 છે.


જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે.તેની લંબાઈ (મીટરમાં), તેની પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે.આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે.આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે લંબચોરસની લંબાઈ x મીટર છે. તેથી, અને લંબચોરસની પહોળાઈ 2x + 1 મીટર થાય. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x(2x + 1)થશે. લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે.  x(2x + 1) = 528  2x2 + x = 528  2x2 + x - 528 = 0 તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 + x - 528 = 0 છે.


x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3 સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,  x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3  x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 6x2 + 12x - 8  x3 - 4x2 - x + 1 - x3 + 6x2 - 12x + 8 = 0  2x2 - 13x + 9 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3 એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


(x - 2)3 = 2x(x2 - 1) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,   (x - 2)3 = 2x(x2 - 1)  x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 - 2x  x3 + 6x2 + 12x + 8 - 2x3 + 2x = 0  -x3 + 6x2 + 14x + 8 =  x3 - 6x2 - 14x - 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.


x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,   x2 + 3x + 1 = (x - 2)2   x2 + 3x + 1 = x2 - 4x + 4   x2 + 3x + 1 - x2 + 4x - 4 = 0  7x - 3 = 0  આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,  આપેલ સમીકરણ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 એ દ્વીઘાત સમીકરણ નથી.


(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.  (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,   (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)   2x2 - x - 6x + 3 = x2 + 5x - x - 5   2x2 - x - 6x + 3 - x2 - 5x + x + 5 = 0   x2 - 11x + 8 = 0  આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


(x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,  (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)  2x2 + x - 6x - 3 = x2 + 5x  x2 + x - 6x - 3 - 5x = 0  x2 - 10x - 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો, .   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,  (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)  x2 - 2x + x - 2 = x2 - x + 3x - 3  x2 - 2x + x - 2 - x2 + x - 3x + 3 = 0  -3x + 1 = 0  3x - 1 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.


x2 - 2x = (-2)(3 - x) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,  x2 - 2x = (-2)(3 - x)  x2 - 2x = -6 + 2x  x2 - 2x + 6 - 2x = 0  x2 - 4x + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 - 2x = (-2)(3 - x) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


(x + 1)2 = 2(x - 3) સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે કે કેમ તે ચકાસો.   (સ્વાધ્યાય 4.1)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતાં,  (x + 1)2 = 2(x - 3)  x2 + 2x + 1 = 2x - 6  x2 + 2x + 1 - 2x + 6 = 0  x2 + 0x + 7 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x + 1)2 = 2(x - 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.


જેની પરિમિતિ 80 મીટર અને ક્ષેત્રફળ 400 મી2 હોય, તેવો લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય

છે? જો શક્ય હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ કેટલી હશે તે મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.4)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે બગીચાની લંબાઈ x મીટર છે. બગીચાની પરિમિતિ 80 મીટર છે. હવે, લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ + પહોળાઈ) 80 = 2(x + પહોળાઈ)  40 = x + પહોળાઈ  પહોળાઈ = 40 - x લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 400 મી2 છે. ક્ષેત્રફળ = x(40 - x)  400 = 40x - x2  40x - x2 - 400 = 0  x2 - 40x + 400 = 0  x2 - 20x - 20x + 400 = 0 ∴  x(x - 20) - 20(x - 20) = 0  (x - 20)(x - 20) = 0  x - 20 = 0 અથવા x - 20 = 0  x = 20 અથવા x = 20 તેથી, બગીચાની લંબાઈ 20 મીટર અને બગીચાની પહોળાઈ = 40 - x = 40 - 20 = 20 મીટર થાય.


બે મિત્રોની ઉંમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે.4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓ નો

ગુણાકાર 48 હતો.જો આ પરિસ્થિતિ શક્ય હોય, તો તેમની હાલની ઉંમર કેટલી હશે?(સ્વાધ્યાય

4.4)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે એક મિત્રની ઉંમર x વર્ષ છે. બે મિત્રોની ઉંમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. તેથી, બીજા મિત્રની ઉંમર 20 - x વર્ષ થાય. 4 વર્ષ પહેલાં, પ્રથમ મિત્રની ઉંમર x - 4 વર્ષ થાય. બીજા મિત્રની ઉંમર 20 - x - 4 = 16 - x વર્ષ થાય. 4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 48 હતો.  (x - 4)(16 - x) = 48 16x - x2 - 64 + 4x - 48 = 0   - x2 + 20x - 112 = 0  x2 - 20x + 112 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 1, b =  - 20 અને c = 112 મળે. તેથી, વિવેચક b2 - 4ac = (-20)2 4 ´ 1 ´ 112 = 400 - 448 = - 48 અહીં, વિવેચક b2 - 4ac = - 48 < 0 જે ઋણ છે. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી. તેથી, આ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.


જેની લંબાઈ, પહોળાઈ કરતાં બમણી હોય અને ક્ષેત્રફળ 800 મી2 હોય તેવી આંબાવાડી બનાવવી  શક્ય છે?જો તેનો જવાબ હાહોય તો, તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ કેટલી હશે?   (સ્વાધ્યાય 4.4)

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે આંબાવાડી ની પહોળાઈ x મી છે. તેથી, આંબાવાડીની લંબાઈ 2x મી થાય. આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ 800 મી2 છે. તેથી, ક્ષેત્રફળ = x×2x  800 = x´2x  2x2 = 800  x2 =  x2 = 400  x = ±20 લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે.  x = 20 તેથી, આંબાવાડી ની પહોળાઈ 20 મી અને આંબાવાડીની લંબાઈ 2x = 2´20 = 40 મી થાય.


kx(x - 2) + 6 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય તો, k નું મુલ્ય મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.4)

Locked Answer

જવાબ :  kx(x - 2) + 6 = 0  kx2 - 2kx + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = k, b = -2k અને c = 6 મળે. અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 - 4ac = 0  ( - 2k)2 4 ´ k ´ 6 = 0  4k2 - 24k = 0  4k(k - 6) = 0  4k = 0 અથવા k - 6 = 0  k = 0 અથવા k = 6 k = 0 કિંમત સમીકરણ kx(x - 2) + 6 = 0 ને સંતોષતી નથી.  k = 6


2x2 + kx + 3 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય તો, k નું મુલ્ય મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.4)

Locked Answer

જવાબ :  2x2 + kx + 3 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = k અને c = 3 મળે. અહીં, દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 - 4ac = 0  k2 - 4´2´3 = 0  k2 - 24 = 0  k2 = 24  k = ±24


2x2 - 3x + 5 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના સ્વરૂપ શોધો અને જો વાસ્તવિક બીજ હોય તો તે પણ મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.4)

Locked Answer

જવાબ : દ્વિઘાત સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 માટે

  1. જો b2 - 4ac > 0 હોય તો, સમીકરણ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
  2. જો b2 - 4ac = 0 હોય તો, સમીકરણ ને બે સમાન બીજ મળે.
  3. જો b2 - 4ac < 0 હોય તો, સમીકરણ ને વાસ્તવિક બીજ ન મળે.

  2x2 - 3x + 5 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = -3 અને c = 5 મળે, તેથી, વિવેચક b2 - 4ac = (-3)2 4 ´ 2 ´ 5 = 9 - 40 = -31 તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.


એક કુટીર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલીક માટીની વસ્તુઓ બનાવે છે.એક નિશ્ચિત દિવસે જણાયું કે પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત (રૂપિયામાં), તે દિવસે ઉત્પાદિત વસ્તુના બમણા કરતાં 3 વધુ હતી.જો તે દિવસે ઉત્પાદન ખર્ચ 90 હોય, તો ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત યોગ્ય પરિસ્થિતિ મુજબ ઉકેલ મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા x છે.તેથી પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 થશે. ઉત્પાદન ખર્ચ 90 છે.  x(2x + 3) = 90  2x2 + 3x - 90 = 0  2x2 + 15x - 12x - 90 = 0  x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0  (2x + 15)(x - 6) = 0  2x + 15 = 0 અથવા x - 6 = 0  x =  -  અથવા x = 6 વસ્તુની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા 6 છે અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 = 2 ´ 6 + 3 = 15 થશે.


એક કાટકોણ ત્રિકોણનો વેધ તેના પાયા કરતાં 7 સેમી નાનો છે.જો કર્ણની લંબાઈ 13 સેમી હોય, તો બાકીની બાજુનાં માપ પરિસ્થિતિને અનુકુળ ઉકેલ મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે ત્રિકોણનો પાયો x છે.તેથી ત્રિકોણનો વેધ x - 7 થશે. પાયથાગોરસ ના પ્રમેય અનુસાર,  (પાયા)2 + (વેધ)2 = (કર્ણ)2  x2 + (x - 7)2 = 132  x2 + x2 - 14x + 49 = 169  2x2 - 14x + 49 - 169 = 0  2x2 - 14x - 120 = 0  x2 - 7x - 60 = 0  x2 - 12x + 5x - 60 = 0  x(x - 12) + 5(x - 12) = 0  (x - 12)(x + 5) = 0  x - 12 = 0 અથવા x + 5 = 0  x = 12 અથવા x = -5 ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, ત્રિકોણનો પાયો x = 12 અને ત્રિકોણનો વેધ x - 7 = 12 - 7 = 5 થશે.


જેના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય તેવી બે ક્રમિક ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધો, પરિસ્થતિનો ઉકેલ મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સંખ્યા x છે.તેથી બીજી સંખ્યા x + 1 થશે. બે ક્રમીક ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય છે. x2 + (x + 1)2 = 365  x2 + x2 + 2x + 1 - 365 = 0  2x2 + 2x - 364 = 0  x2 + x - 182 = 0  x2 - 13x + 14x - 182 = 0  x(x - 13) + 14(x - 13)  (x - 13)(x + 14) = 0  x - 13 = 0 અથવા x + 14 = 0  x = 13 અથવા x =  - 14 અહીં આપણને ઘન પૂર્ણાંકો જોઈએ છે. તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.


બે એવી સંખ્યાઓ એવી રીતે શોધો કે જેમનો સરવાળો 27 અને ગુણાકાર 182 હોય, આ પરિસ્થિતિનો ઉકેલ મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સંખ્યા x છે. બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 27 છે. તેથી બીજી સંખ્યા 27 - x થશે. બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 182 છે.  x(27 - x) = 182  27x - x2 - 182 = 0   - x2 + 27x - 182 = 0  x2 - 27x + 182 = 0  x2 - 13x - 14x + 182 = 0  x(x - 13) - 14(x - 13) = 0  (x - 13)(x - 14) = 0  x - 13 = 0 અથવા x - 14 = 0  x = 13 અથવા x = 14 તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.


x2 - 55x + 750 = 0 સમીકરણનો ઉકેલ અન્ય રીતે મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,  x2 - 55x + 750 = 0  x2 - 30x - 25x + 750 = 0  x(x - 30) - 25(x - 30)  (x - 30)(x - 25) = 0   x - 30 = 0 અથવા x - 25 = 0  x = 30 અથવા x = 25 તેથી, તે દિવસે ઉત્પાદન થયેલા રમકડાંની સંખ્યા 30 અથવા 25 છે.


x2 - 45x + 324 = ૦ સમીકરણનો ઉકેલ અન્ય રીતે મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,   x2 = 45x + 324 = 0   x2 - 36x - 9x + 324 = 0   x(x - 36) - 9(x - 36) = 0   (x - 36)(x - 9) = 0   x - 36 = 0 અથવા x - 9 = 0   x = 36 અથવા x = 9  તેથી, જ્હોન પાસે 36 લખોટીઓ અને જીવંતી પાસે 9 લખોટીઓ છે.


100x2 - 20x + 1 = 0 સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.(સ્વાધ્યાય4.2)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, 100x2 - 20x + 1 = 0  100x2 - 10x - 10x + 1 = 0  10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0  (10x - 1)(10x - 1) = 0  10x - 1 = 0 અથવા 10x - 1 = 0  x =  અથવા  x = તેથી, સમીકરણ 100x2 - 20x + 1 = 0 ના બીજ  અથવા  છે.


2x2 - x +  = 0 સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ :  2x2 - x +  = 0  16x2 - 8x + 1 = 0  16x2 - 4x - 4x + 1 = 0 ∴  4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0  (4x - 1)(4x - 1) = 0  4x - 1 = 0 અથવા 4x - 1 = 0  x =  અથવા x = તેથી, સમીકરણ 2x2 - x +  = 0 ના બીજ  અથવા  છે.


2x2 + x-6 = 0 સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,   2x2 + x-6 = 0   2x2-4x + 3x-6 = 0   2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0   (x - 2)(2x + 3) = 0   x - 2 = 0 અથવા 2x + 3 = 0   x = 2 અથવા x =  -  તેથી, સમીકરણ 2x2 + x - 6 = 0 ના બીજ 2 અથવા  -  છે.


x2 - 3x - 10 = 0 સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.   (સ્વાધ્યાય 4.2)

Locked Answer

જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,    x2 - 3x - 10 = 0    x2 - 5x + 2x - 10 = 0    x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
 
 (x - 5)(x + 2) = 0
    x - 5 = 0 અથવા x + 2 = 0     x = 5 અથવા x =  - 2    તેથી, સમીકરણ x2 - 3x - 10 = 0 ના બીજ 5 અથવા -2 છે.


સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 નાં બીજ અવયવ પાડીને શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​આપણે સૌપ્રથમ મધ્યમ પદ -5x ના બે ભાગ -2x અને -3x કરીએ

[કેમ કે (-2x) X (-3x) = 6x2 = (2x2) X 3]

આથી,  2x2 – 5x + 3 = 2x2 – 2x -3x + 3 = 2x (x - 1) -3(x - 1) = (2x – 3)(x - 1)

હવે,  2x2 – 5x + 3 = 0 ને (2x – 3)(x - 1) લખી શકાય.

આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 તથા (2x – 3)(x - 1) = ૦ માટેના xનાં મુલ્યો સમાન હશે.

અથાર્ત્  2x – 3= ૦  અથવા x - 1 = ૦

હવે, 2x – 3= ૦ પરથી x = અને x - 1 = ૦ પરથી x = 1 મળશે.

આથી, x =  અને x = 1 આપેલ સમીકરણના ઉકેલ હશે.

બીજા શબ્દોમાં  અને 1 સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 ના બીજ છે.


દ્વિઘાત સમીકરણ 6x2 x 2 = 0 નાં બીજ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : અહીં, 6x2 x 2 = 6x2 + ૩x 4x 2

= 3x ( 2x + 1) – 2 (2x + 1)

= (3x - 2)(2x + 1)

            6x2 x 2 = 0 નાં બીજ (3x - 2)(2x + 1) = 0 દ્વારા મળતાં xનાં મૂલ્યો છે.

આથી, 3x – 2 = 0 અથવા 2x + 1 = 0

અથાર્ત્, x =  અને x = -

આથી, 6x2 x 2 = 0 નાં બીજ  અને -  છે. 2


દ્વિઘાત સમીકરણ 3x2 2x 2 = 0 નાં બીજ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : 3x2 2x 2 = 3x2x - x + 2

= x(x) – (x – )

=  (x) (x)

            આથી, સમીકરણનાં બીજ (x) (x) = 0 થાય તેવા xનાં મૂલ્યો છે.

            આમ,  (x) = 0 પરથી x =

            આથી, આ બીજ બે વખત પુનરાવર્તિત અવયવ  x ને સંગત મળે છે.

            આમ, 3x2 x 2 = 0નાં બીજ  ,  છે. 


સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0ને પૂર્ણવર્ગની રીતે ઉકેલો.

Hide | Show

જવાબ : સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 અને x2x +  = 0 સમાન છે.

હવે,

x2x +  = (x – )2()2 + 32 = (x – )2

આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 ને(x – )2 = 0 તરીકે પણ લખી શકાય.

આથી સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0નાં બીજ અને (x – )2 = 0 નાં બીજ સમાન જ છે.

હવે, (x – )2 = 0 અને (x – )2 =  સમાન છે.

x –  =±

x =  ±

x =  +  અથવા x =  -

x =  અથવા x = 1 છે.


સમીકરણ 5x2 – 6x - 2 = 0નાં બીજ પૂર્ણવર્ગની રીતે શોધો.

Hide | Show

જવાબ : સમીકરણની બંને બાજુ 5 વડે ગુણતાં,

25x2 – 30x - 10 = 0 મળે.

આથી,

(5x)2 – 2 X (5x) X (3) + 32 – 32 – 10 = 0

(5x - 3)2 – 9 – 10 = 0

(5x - 3)2 – 19 = 0

5x – 3 = ±

5x =  3  ±  

આમ, x =

આથી બીજ  અને  છે.


સમીકરણ 2x2 + x – 528 = 0ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો. (આપેલ સમીકરણ લંબચોરસ જમીનના ટુકડાનું છે)

Hide | Show

જવાબ : ​​​​​ધારો કે જમીનની પહોળાઈ x મીટર છે. આથી, લંબાઈ (2x + 1) મીટર થાય.    

આપણને આપેલ છે કે,x(2x + 1) = 528 અથાર્ત્ 2x2 + x – 528 = 0   

a = 2, b = 1, c = -528 માટે,

આ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે.

આથી દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x =  =  =

x =   અથવા x = -

x =16 અથવા x = -

પરંતુ x ઋણ ના હોઈ શકે, કેમ કે તે એક પરિમાણ છે. આથી, ખંડની પહોળાઈ 16 મીટર અને આથી લંબાઈ 33 મીટર થાય.


13 મીટર વ્યાસવાળા એક વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પરના એક બિંદુએ એક થાંભલો એવી રીતે લગાવેલ છે કે જેથી આ બગીચાના એક વ્યાસનાં બંને અંત્યબિંદુઓ A અને B આગળ બનેલ ફાટકથી થાંભલાના અંતરનો તફાવત 7 મીટર હોય. શું આ શક્ય છે? જો હા, તો બંને ફાટકથી કેટલે દુર થાંભલો લગાવવો જોઈએ.

 

Hide | Show

જવાબ : સૌપ્રથમ રેખાકૃતિ બનાવતા.

ધારો કે P થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે. ધારો કે થાંભલાથી ફાટક Bનું અંતર xમી,

અથાર્ત્ BP = xમી.

હવે, થાંભલાથી બંને ફાટકના અંતરનો તફાવત = AP – BP = 7મી

આથી, AP = (x + 7) મી

હવે, AB વ્યાસ હોવાથી, AB = 13મી

APB = 90°      

હવે, AP2 + PB2 = AB2

(x + 7)2 + x2 = 132

x2 + 14x + 49 + x2 = 169

2x2 + 14x -120 = 0

આથી, થાંભલાનું ફાટક Bથી અંતર x એ સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0 નું સમાધાન કરે છે.

આથી હો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તો, થાંભલાનું સ્થાન નક્કી કરવું શક્ય બને.

આ શક્ય છે કે કેમ, તે જોવા વિવેચકનો વિચાર કરીએ.

વિવેચક b2 – 4ac = 72 – 4 X 1 X (-60) = 289 > 0

આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બે બીજ વાસ્તવિક બીજ છે અને આથી બગીચાની સીમા પર થાંભલો લગાવવાનું શક્ય છે.

દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0ને દ્વિઘાત સૂત્રથી ઉકેલતાં,

x =  =           

પરંતુ, થાંભલા અને ફાટક B વચ્ચેનું અંતર હોવાથી, તે ધન જ હોવું જોઈએ.

આથી, x = -12 ને અવગણવું જોઈએ, આથી x = 5

આથી, સીમા પર થાંભલો એ રીતે લગાવવો જોઈએ કે જેથી તેનું ફાટક B થી અંતર 5 મી અને ફાટક A થી અંતર 12મી હોય.


એક મોટરબોટની શાંત પાણીમાં ઝડપ 18કિમી/કલાકની છે. જો પ્રવાહની સમી દિશામાં 24 કિમી અંતર કાપવા લાગતો સમય, પ્રવાહની દિશામાં તેટલું જ અંતર કાપવા લાગતા સમય કરતાં 1 કલાક વધુ હોય, તો પ્રવાહની ઝડપ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, પ્રવાહની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.

આથી, પ્રવાહની સામી બાજુ જતાં મોટરબોટની ઝડપ = (18 – x) કિમી/કલાક અને

પ્રવાહની સામી બાજુ જવા લાગતો સમય =  =   કલાક

આ જ પ્રમાણે પ્રવાહની દિશામાં જવા લાગતો સમય =  કલાક

પ્રશ્નની માહિતી પરથી

 -   = 1

24(18 + x) – 24 (18 - x) = (18 - x)(18 + x)

x2 + 18x – 324 = 0  482

દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

x = =  =  = 6 અથવા -54

પરંતુ, x એ પ્રવાહની ઝડપ હોવાથી ઋણ હોઈ શકે નહિ. આથી બીજ x = -54 ને અવગણતાં, x = 6 મળે.

આથી, પ્રવાહની ઝડપ કિમી/કલાક છે.   


એક એવો લંબચોરસ બગીચો બનાવવો છે કે જેની પહોળાઈ તેની લંબાઈ કરતાં 3મી ઓછી હોય, તેનું ક્ષેત્રફળ જેનો પાયો લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ જેટલો હોય અને વેધ 12મી હોય તેવા પહેલેથી બનેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણકાર બગીચાનાં ક્ષેત્રફળ કરતાં 4 મી2 વધુ હોય લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ અને પહોલાઈ શોધો.

 

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ x મી છે.

આથી, તેની લંબાઈ = (x + 3)મી

આથી, લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ = x(x + 3) મી2 = (x2 + 3x) મી2 

હવે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો = x મી

આથી તેનું ક્ષેત્રફળ =  X x X 12 = 6x મી2

આપણી જરૂરીયાત મુજબ,

x2 + 3x = 6x + 4

x2 - 3x - 4 = 0

દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

x = = = 4 અથવા -1

પરંતુ x -1

આથી, x = 4

આમ, બગીચાની પહોળાઈ = 4મી અને લંબાઈ 7મી થશે.     


બે ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો 290 હોય, તો બંને સંખ્યાઓ શોધો.

 

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે બે ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પૈકી નાની સંખ્યા x છે. આથી બીજી સંખ્યા x + 2 થાય.

આપેલ પ્રશ્ન મુજબ,

x2 + (x + 2)2 = 290

x2 + x2 + 4x + 4 = 290

2x2 +  4x - 286 = 0

x2 +  2x - 143 = 0

આ xમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

x = =   =

x = 11 અથવા x = -13

પરંતુ x ધન અયુગ્મ સંખ્યા આપેલ છે.

x -13. આથી x = 11

આથી, માંગેલ બે ક્રમિક યુગ્મ પૂર્ણાકો 11 અને 13 છે.


જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે. તેની લંબાઈ (મીટરમાં), તેની પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે. આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ x મીટર છે.

અને લંબચોરસની પહોળાઈ 2x + 1 મીટર થાય.

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x(2x + 1) થશે.

લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે.

x(2x + 1) = 528

2x2 + x = 528

2x2 + x – 528 = 0

તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 + x – 528 = 0 છે.


બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર 306 છે. આપણે આ ધન પૂર્ણાકો શોધવા છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.   

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે પ્રથમ ધન પૂર્ણાંક x છે.

તેથી બીજો ધન પૂર્ણાંક x + 1 છે.

બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.

x(x + 1) = 306

x2 + x = 306

x2 + x – 306 = 0

તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + x – 306 = 0 છે.


રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટાં છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે. આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.

તેથી, રોહનની માતાની હાલની ઉંમર x + 26 વર્ષ થાય.

આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે.

3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર x + 3 વર્ષ થાય.

3 વર્ષ પછી રોહનની માતાની ઉમર x + 26 + 3 = x + 29 વર્ષ થાય.

(x + 3)(x + 29) = 360

x2 + 3x + 29x + 87 = 360

x2 + 32x + 87 – 360 = 0

x2 + 32x - 273 = 0

તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 32x - 273 = 0 છે.


એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચલ ગતિથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું અંતર કાપવા 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો. આ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો.

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.

તેથી, લાગતો સમય 480   થાય.

જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું અંતર કાપવા 3 કલાક વધુ લે છે.

તેથી, લાગતો સમય  

  -   =3

= 3

480x – 480x + 3640 = 3x(x - 8)

480x – 480x + 3640 = 3x2 – 24x

3640 – 3x2 + 24x = 0

3x2 - 24x – 3640 = 0

તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 3x2 - 24x – 3640 = 0 છે.


બે એવી સંખ્યાઓ એવી રીતે શોધો કે જેમનો સરવાળો 27 અને ગુણાકાર 182 હોય.

Hide | Show

જવાબ :

ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે.

બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 27 છે.

તેથી  બીજી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 182 છે.

x(27 - x) = 182

27x - x2 - 182 = 0

            -x2 + 27x – 182 = 0

           x2 - 27x + 182 = 0

           x2 -13x - 14x + 182 = 0

x(x - 13) - 14(x - 13) = 0

(x - 13) (x - 14) = 0

x - 13 = 0 અથવા x - 14 = 0

x = 13 અથવા x = 14

તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.


જેના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય તેવી બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે. તેથી બીજી સંખ્યા x + 1 થશે.

બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય છે.

x2 + (x + 1)2 = 365

x2 + x2 + 2x + 1 – 365 = 0

2x2 + 2x - 364 = 0

x2 -13x + 14x - 182 = 0

x(x - 13) + 14(x - 13) = 0

(x - 13) (x + 14) = 0

x - 13 = 0 અથવા x + 14 = 0

x = 13 અથવા x = -14

અહીં આપણને ધન પૂર્ણાંકો જોઈએ છે.

તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે. 


એક કાટકોણ ત્રિકોણનો વેધ તેના પાયા કરતાં 7 સેમી નાનો છે. જો કર્ણની લંબાઈ 13 સેમી હોય, તો બાકી બાજુનાં માપ શોધો.

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો x છે. તેથી ત્રિકોણનો વેધ x – 7 થશે.

પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર

(પાયા)2 + (વેધ)2 = (કર્ણ)2  

x2 + (x - 7)2 = 132

x2 + x2 – 14x + 49 = 169

2x2 – 14x – 120 = 0

x2 – 7x – 60 = 0  

x2 -12x + 5x - 60 = 0

x(x - 12) + 5(x - 12) = 0

(x - 12) (x + 5) = 0

x - 12 = 0 અથવા x + 5 = 0

x = 12 અથવા x = -5

ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, ત્રિકોણનો પાયો x = 12 અને ત્રિકોણનો વેધ x – 7 = 12 – 7 = 5 થશે.


એક કુટીર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલીક માટીની વસ્તુઓ બનાવે છે. એક નિશ્ચિત દિવસે જણાયું કે પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત (રૂપિયામાં), તે દિવસે ઉત્પાદિત વસ્તુના બમણા કરતાં 3 વધુ હતી. જો તે દિવસે ઉત્પાદન ખર્ચ 90 હોય, તો ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત શોધો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા x છે. તેથી પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 થશે.

ઉત્પાદન ખર્ચ 90 છે.

x(2x + 3) = 90

2x2 + 3x – 90 = 0  

x2 + 15x - 12x - 90 = 0

x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0

(2x + 15) (x - 6) = 0

2x + 15 = 0 અથવા x - 6 = 0

x = -  અથવા x = 6

વસ્તુની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા 6 છે

અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિમત 2x + 3 = 2 X 6 + 3 = 15 થશે.


2x2 – 7x + 3 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવો.   

Locked Answer

જવાબ : 2x2 – 7x + 3 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં

a = 2, b = -7 અને c = 3 મળે,

દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x = 

અહીં a = 2, b = -7 અને c = 3 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,  

x =  

x =  

x =  

x =

x =  અથવા x =

x =  અથવા x =

x = 3 અથવા x =

તેથી, સમીકરણ 2x2 – 7x + 3 = 0 ના બીજ 3 અથવા  છે.


2x2 + x 4 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવો.   

Locked Answer

જવાબ : 2x2 + x 4 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં

a = 2, b = 1 અને c = -4 મળે,

દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x = 

અહીં a = 2, b = 1 અને c = -4 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,  

x =  

x =  

x =  

x =   અથવા x =  

તેથી, સમીકરણ 2x2 + x 4 = 0 ના બીજ   અથવા   છે.


જેની પરિમિતિ 80 મીટર અને ક્ષેત્રફળ 400 મી2 હોય, તેવો લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય છે? જો તે શક્ય હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે બગીચાની લંબાઈ x મીટર છે.

બગીચાની પરિમિતિ 800 મીટર છે.

હવે, લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ + પહોળાઈ)

80 = 2(x + પહોળાઈ)

40 = x + પહોળાઈ

પહોળાઈ = 40 – x

લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 400 મી2 છે.

ક્ષેત્રફળ = x(40 – x)

400 = 40x – x2

40x – x2 – 400 = 0

x2 – 40x + 400 = 0

x2 – 20x – 20x + 400 = 0

x(x - 20) – 20(x - 20) = 0

(x – 20) (x – 20) = 0

x – 20 = 0 અથવા x – 20 = 0

x = 20 અથવા x = 20

તેથી, બગીચાની લંબાઈ 20 મીટર અને બગીચાની પહોળાઈ = 40 – x = 40 – 20 = 20 મીટર થાય.


બે મિત્રોની ઉમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. 4 વર્ષ પહેલા તેમની ઉમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 48 હતો. શું આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે? જો હોય, તો તેમની અત્યારની ઉમર શોધો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે એક મિત્રની ઉમર x વર્ષ છે.

બે મિત્રોની ઉમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે.

તેથી, બીજા મિત્રની ઉમર 20 – x વર્ષ થાય

4 વર્ષ પહેલા,

પ્રથમ મિત્રની ઉંમર x – 4 થાય.

બીજા મિત્રની ઉંમર 20 – x – 4 = 16 – x વર્ષ થાય.

4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 48 હતો.

(x - 4)(16 - x) = 48

16x – x2 – 64 + 4x = 48

16x – x2 – 64 + 4x – 48 = 0

– x2 + 20x – 112 = 0

x2 - 20x + 112 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,

a = 1, b = -20 અને c = 112 મળે.

તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-20)2 – 4 X 1 X 112 = 400 – 448 = - 48

અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = - 48 < 0 જે ઋણ છે.

તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

તેથી, આ પરિસ્થતિ શક્ય નથી.


2x2 – 6x + 3 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનાં સ્વરૂપ શોધો. જો તેમને વાસ્તવિક બીજ હોય તો તે શોધો.

Locked Answer

જવાબ : 2x2 – 6x + 3 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,

a = 2, b = -6 અને c = 3 મળે.

તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-6)2 – 4 X 2 X 3 = 36 – 24 = 12

અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = 12 > છે. જે ધન છે. 

તેથી સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.

દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x =  

અહીં b = - 6 અને b2 – 4ac = 12 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,  

x =  

x =

x =  

x =   અથવા x =  

તેથી, સમીકરણ 2x2 – 6x + 3 = 0 ના બીજ  અથવા  છે.


બે ચોરસનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે. જો તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર હોય, તો બંને ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ શોધો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે મોટા ચોરસની બાજુનું માપ x મીટર છે. અને નાના ચોરસની બાજુનું માપ y મીટર છે.

બે ચોરસનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે.

x2 + y2 = 468 … … … (1)

તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર છે.

4x – 4y = 24

x – y = 6

x = 6 + y … … … (2)

સમીકરણ (2)માંની x = 6 + y કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, 

x2 + y2 = 468

(y + 6)2 + y2 = 468

y2 + 12y + 36 + y2 – 468 = 0

2y2 + 12y – 432 = 0

y2 + 6y – 216 = 0

y2 + 18y - 12y – 216 = 0

y(y + 18) – 12(y + 18) = 0

(y + 18)(y - 12) = 0

y + 18 = 0 અથવા y - 12 = 0

y = -18 અથવા y = 12

બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, નાના ચોરસની બાજુનું માપ 12 મીટર થશે.

y = 12 કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

x = 6 + y

x = 6 + 12

x = 18

અને, મોટા ચોરસની બાજુનું માપ 18 મીટર થશે.  


એક વર્ગ કસોટીમાં શેફાલીના ગણિત અને અંગ્રેજીના ગુણનો સરવાળો 30 છે. જો તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોય, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત. તેણીએ આ બંને વિષયમાં મેળવેલ ગુણ શોધો.

Locked Answer

જવાબ : ધારો કે શેફાલીના ગણિતના ગુણ x છે.

તેથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x થશે.

તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ હોય તો ગણિતના ગુણ x + 2 થશે.

તેણીને અંગ્રેજીમાં 5 ગુણ ઓછા હોય તો અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x – 5 = 27 – x થશે.

જો તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત.

(x + 2)(27 - x) = 210

-x2 + 25x – 54 = 210    

-x2 + 25x – 54 - 210 = 0

x2 - 25x – 156 = 0

x2 - 12x – 13x + 156 = 0

x(x - 12) – 13(x - 12) = 0

(x - 12) (x – 13) = 0

x - 12 = 0 અથવા x – 13 = 0

x = 12 અથવા x = 13

જો x = 12 હોય, તો ગણિતના ગુણ 12 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x = 30 – 12 = 18 છે.

જો x = 13 હોય, તો ગણિતના ગુણ 13 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x = 30 – 13 = 17 છે.


બે ચોરસના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે.જો તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર હોય, તો બંને ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે મોટા ચોરસની બાજુનું માપ x મીટર છે.અને નાના ચોરસની બાજુનું માપ y મીટર છે.

બે ચોરસના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે.

  x2 + y2 = 468           ____(1)

તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર છે.

  4x - 4y = 24

  x - y = 6

  x = 6 + y  _________(2)

સમીકરણ (2) માંની x = y + 6 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,

  x2 + y2 = 468

  (y + 6)2 + y2 = 468

  y2 + 12y + 36 + y2 - 468 = 0

  2y2 + 12y - 432 = 0

  y2 + 6y - 216 = 0

  y2 + 18y - 12y - 216 = 0 

  y(y + 18) - 12(y + 18) = 0

  (y + 18)(y - 12) = 0

  y + 18 = 0 અથવા y - 12 = 0

  y =  - 18 અથવા y = 12

બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, નાના ચોરસની બાજુનું માપ 12 મીટર થશે.

y = 12 કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં,

  x = 6 + y

  x = 6 + 12

  x = 18

આમ, મોટા ચોરસની બાજુનું માપ 18 મીટર થશે.


એક ઝડપી ટ્રેન મૈસુર અને બેંગ્લોર વચ્ચેનું 132 કિમી અંતર કાપવા ધીમી ટ્રેન કરતાં 1 કલાક ઓછો સમય લે છે.જો ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ કરતાં 11 કિમી/કલાક વધુ હોય,  તો બંને ટ્રેનોની સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે તે શોધો. (સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે ધીમી ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.

તેથી, ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ x + 11 કિમી/કલાક થશે.

તેથી, ધીમી ટ્રેન માટે,    થાય.

અને ઝડપી ટ્રેન માટે,    થાય.

મૈસુર અને બેંગ્લોર વચ્ચેનું અંતર 132 કિમી છે.

∴   = 1

   = 1

∴     = 1

  132x + 1452 - 132x = x2 + 11x

  x2 + 11x - 1452 = 0

  x2 + 44x - 33x - 1452 = 0

  x(x + 44) - 33(x + 44) = 0

  x + 44 = 0 અથવા x - 33 = 0

  x =  - 44 અથવા x = 33

ઝડપ ઋણ હોઈ શકે.

તેથી, ધીમી ટ્રેન ની ઝડપ 33 કિમી/કલાક થશે.

અને, ઝડપી ટ્રેન ની ઝડપ x + 11 = 33 + 11 = 44 કિમી/કલાક થશે.


એક ટ્રેન એકધારી ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપે છે.જો તેની ઝડપ 5 કિમી/કલાક વધુ હોય, તો એટલું અંતર કાપતાં તેને 1 કલાક ઓછો સમય લાગે છે, તો આ પરિસ્થિતિને જોઈ તેની ઝડપ શોધો. (સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.અંતર 360 કિમી આપેલું છે.

તેથી, લાગતો સમય t1 =  કલાક થાય.

જો ટ્રેનની ઝડપ 5 કિમી/કલાક વધુ હોય, તો એટલું અંતર કાપતાં તેને 1 કલાક ઓછો સમય લાગે છે.

તેથી, લાગતો સમય t1 =  કલાક થાય.

 + 1

   = 1

   = 1

 360x + 1800 - 360x = x(x + 5)

  360x + 1800 - 360x = x2 + 5x

  1800 = x2 + 5x

  x2 + 5x - 1800 = 0

  x2 + 45x - 40x - 1800 = 0

   x(x + 45) - 40(x + 45) = 0

   (x + 45)(x - 40) = 0

  x + 45 = 0 અથવા x - 40 = 0

   x = -45 અથવા x = 40

ઝડપ ઋણ હોઈ શકે.

તેથી, ટ્રેનની ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.


બે સંખ્યાના વર્ગોનો તફાવત 180 છે.નાની સંખ્યાનો વર્ગ મોટી સંખ્યા કરતાં 8 ગણો છે, તો બંને સંખ્યાઓ કઈ હશે તે શોધો.(સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે મોટી સંખ્યા x છે.તેમજ નાની સંખ્યા y છે.

નાની સંખ્યાનો વર્ગ મોટી સંખ્યા કરતાં 8 ગણો છે.

તેથી, y2 = 8x

બે સંખ્યાના વર્ગોનો તફાવત 180 છે.

 x2 - y2 = 180

પરંતુ, y2 = 8x

   x2 - 8x = 180

  x2 - 8x - 180 = 0

  x2 - 18x + 10x - 180 = 0

  x(x - 18) + 10(x - 18) = 0

  (x - 18)(x + 10) = 0

  x - 18 = 0 અથવા x + 10 = 0

  x = 18 અથવા x =  - 10

સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, મોટી સંખ્યા 18 થશે.

તેમજ y2 = 8x   y2 = 8 ´ 18  y2 = 144  y = y = 12

અને મોટી સંખ્યા 12 થશે.


એક લંબચોરસ ખેતરના વિકર્ણનું માપ તેની નાની બાજુના માપથી 60 મીટર વધુ છે.જો મોટી બાજુ, નાની બાજુ કરતાં 30 મીટર વધુ હોય, તો ખેતરની બાજુના માપ કેટલા હશે તે શોધો.(સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે નાની બાજુનું માપ x મીટર છે.             

તેથી, વિકર્ણનું માપ x + 60 મીટર થશે.

અને મોટી બાજુનું માપ x + 30 મીટર થશે.

યથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,

  (x + 60)2 = x2 + (x + 30)2

  x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900

  x2 + 120x + 3600 - x2 - x2 - 60x - 900 = 0

   - x2 + 60x - 2700 = 0

  x2 - 60x + 2700 = 0

  x2 - 90x + 30x + 2700 =

  x(x - 90) + 30(x - 90) = 0

  (x - 90)(x + 30)

 x - 90 = 0 અથવા x + 30 = 0

  x = 90 અથવા x =  - 30

લંબચોરસની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.

જો x = 90 મીટર હોય, તો મોટી બાજુનું માપ x + 30 = 90 + 30 = 120 મીટર થશે.


એક વર્ગ કસોટીમાં શેફાલીના ગણિત અને અંગ્રેજીના ગુણનો સરવાળો 30 છે.જો તેણીને ગણિતમાં 2

 

ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત.તેણીએ આ

બંને વિષયમાં કુલ કેટલાં ગુણ મેળવ્યા હશે તે શોધો.(સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે શેફાલીના ગણિતના ગુણ x છે.

તેથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x થશે.

તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ હોય તો ગણિતના ગુણ x + 2 થશે.

તેણીને અંગ્રેજીમાં 5 ગુણ ઓછા હોય તો અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x - 5 = 27 - x થશે.

જો તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત.

  (x + 2)(27 - x) = 210

   - x2 + 25x - 54 = 210

   - x2 + 25x - 54 - 210 = 0

 x2 - 25x + 156 = 0

  x2 - 12x - 13x + 156 = 0

  x(x - 12) - 13(x - 12) = 0

  (x - 12)(x - 13) = 0

  x - 12 = 0 અથવા x - 13 = 0

  x = 12 અથવા x = 13

જો x = 12 હોય, તો ગણિતના ગુણ 12 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x = 30 - 12 = 18 થશે.

જો x = 13 હોય, તો ગણિતના ગુણ 13 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x = 30 - 13 = 17 થશે.


રહેમાનની આજથી 3 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર (વર્ષમાં)વ્યસ્ત અને હવેથી 5 વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો  છે તો તેની હાલની ઉંમર કેટલી હશે? (સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે રહેમાનની અત્યારની ઉંમર x વર્ષ છે.

તેથી રહેમાનની 3 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર x - 3 વર્ષ અને રહેમાનની 5 વર્ષ પછીની ઉંમર x + 5 વર્ષ થશે.

રહેમાનની આજથી 3 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર (વર્ષમાં)વ્યસ્ત અને હવેથી 5 વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો 13  છે.

  

  

  

  3(2x + 2) = x2 + 2x - 15

  6x + 6 - x2 - 2x + 15 = 0

   - x2 + 4x + 21 = 0

  x2 - 4x - 21 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = ૦ સાથે સરખાવતાં,

a = 1, b = -4 અને c = -21 મળે.

દ્વિઘાત સુત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x =

અહીં, a = 1, b = -4 અને c = -21 ઉપરના સૂત્રમાં મૂકતાં,

  x =

  x =

  x =

  x =

  x =  અથવા x =

  x =  અથવા x =

  x = 7 અથવા x = -3

ઉંમર ઋણ ન હોઈ શકે.તેથી, રહેમાનની અત્યારની ઉંમર 7 વર્ષ છે.


  , x    - 4,  7 આપેલ સમીકરણના બીજ મેળવો.(સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : , x    - 4,  7

  

  

  x2 - 3x - 28 =  - 30

  x2 - 3x - 28 + 30 = 0

  x2 - 3x + 2 = 0

આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,

a = 1, b =  - 3 અને c = 2 મળે.

દ્વિઘાત સુત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,

x =

અહીં, a = 1, b = -3 અને c = 2 ઉપરના સૂત્રમાં મૂકતાં,

  x =    

  x =

  x =

  x =

  x =  અથવા x =

  x =  અથવા x =

   x = 2 અથવા x = 1

તેથી, સમીકરણ , x   - 4, 7 ના બીજ 2 અથવા 1 છે.


પાણીના બે નળ એકસાથે 9  કલાકમાં એક ટાંકી ભરી શકે છે.મોટા વ્યાસવાળો નળ ટાંકી ભરવા માટે નાના વ્યાસવાળા નળ કરતાં 10 કલાકનો ઓછો સમય લે છે.બંને નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો અલગ - અલગ સમય કેટલો થાય તે શોધો.(સ્વાધ્યાય 4.3)

Locked Answer

જવાબ : ધારોકે મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x કલાક છે.

મોટા વ્યાસવાળો નળ ટાંકી ભરવા માટે નાના વ્યાસવાળા નળ કરતાં 10 કલાકનો ઓછો સમય લે છે.

તેથી, નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x + 10 કલાક થશે.

તેથી, એક કલાકમાં મોટા વ્યાસવાળા નળ માટે,     થાય.

તેથી, એક કલાકમાં નાના વ્યાસવાળા નળ માટે,    થાય.

પાણીના બે નળ એક સાથે 9  કલાકમાં એક ટાંકી ભરી શકે છે.

  

 75(2x + 10) = 8x(x + 10)

  150x + 750 = 8x2 + 180x

  8x2 + 180x - 150x - 750 = 0

  8x2 - 70x - 750 = 0

  4x2 - 35x - 375 = 0

  4x2 - 60x + 25x - 375 = 0

  4x(x - 15) + 25(x - 15) = 0

  x - 15 = 0 અથવા 4x + 25 = 0

  x = 15 અથવા x =  -

સમય ઋણ ન હોઈ શકે.

તેથી, મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય 15 કલાક છે.

અને નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x + 10 = 15 + 10 = 25 કલાક છે.


There are No Content Availble For this Chapter

Download PDF

Take a Test

Choose your Test :

દ્વિઘાત સમીકરણ

-.

આ પ્રકરણને લગતા વિવિધ એનિમેશન વિડીયો, હેતુલક્ષી પ્રશ્નો, ટૂંકા પ્રશ્નો, લાંબા પ્રશ્નો, પરિક્ષામાં પુછાઈ ગયેલા પ્રશ્નો તેમજ પરિક્ષામાં પુછાઈ શકે તેવા અનેક મુદ્દાસર પ્રશ્નો જોવા અમારી વેબસાઈટ પર રજીસ્ટર થાઓ અથવા અમારી App ફ્રી માં ડાઉનલોડ કરો.

Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects

The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.

The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.

For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.