GSEB Solutions for ધોરણ ૧૧ Gujarati

GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::

ગણ ત્રિકોણમિતિય વિધેયો લક્ષ અને વિકલન ગાણિતિક અનુમાનનો સિદ્ધાંત સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો સુરેખ અસમતાઓ ક્રમચય અને સંચય દ્વિપદી પ્રમેય શ્રેણી અને શ્રેઢી રેખાઓ શાંકવો ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય સંબંધ અને વિધેયો ગાણિતિક તર્ક આંકડાશાસ્ત્ર સંભાવના
n મુ પદ આપેલ હોય, તો તે શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. an = n(n + 2). (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : an = n(n + 2) n = 1 લેતાં,       a1 = 1 + (1 + 2) = 3 n = 2 લેતાં,       a2 = 2 + (2 + 2) = 8 n = 3 લેતાં,       a3 = 3 + (3 + 2) = 15 n = 4 લેતાં,       a4 = 4 + (4 + 2) = 24 n = 5 લેતાં,       a5 = 5 + (5 + 2) = 35


n મુ પદ આપેલ હોય તો, તે શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો મેળવો. an = . (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 1, , 14, , 63


n મુ પદ આપેલ હોય તો, તે શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો મેળવો. an = cos(). (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 0, -1, 0, 1, 0


n મું પદ આપેલ હોય તો શ્રેણીનું 10મું પદ મેળવો. an = (n - 1) (n + 2) (n - 3). (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 756


a1 = -1, n ≥ 2 માટે an =  આપેલ શ્રેણી માટે પ્રથમ પાંચ પદો અને તેને સંબંધિત શ્રેઢી પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


a1 = a2 = 2, n > 2 માટે an = an-1 - 1 આપેલ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : n > 2 માટે an = an-1 - 1 n = 3 માટે, a3 = a3-1 - 1 = a2 - 1 = 2 - 1 = 1 (∵ a2 = 2) n = 4 માટે, a4 = a4-1  - 1 = a3 - 1 = 1 - 1 = ૦ (∵ a3 = 1) n = 5 માટે, a5 = a5-1 - 1 = a­4 - 1 = 0 - 1 = -1 (∵ a4 = ૦) આમ, શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ અનુક્રમે 2, 2, 1, ૦ અને -1 છે તથા સંબંધિત શ્રેઢી 2 + 2 + 1 + ૦ + (-1) + .... છે.


n મુ પદ આપેલ છે તો તે શ્રેણીનાં a8 પદ મેળવો. an = n3 - 2n. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 496


n મુ પદ આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો an = 8 - n3. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 7, 0, -19, -56, -117


n મું પદ an =  આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


n મું પદ an = 2n આપેલ છે તો શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : an = 2n n = 1 લેતાં, a1 = 21 = 2 n = 2 લેતાં, a2 = 22 = 4 n = 3 લેતાં, a3 = 23 = 8 n = 4 લેતાં, a4 = 24 = 16 n = 5 લેતાં, a5 = 25 = 32 આમ, શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો અનુક્રમે 2, 4, 8, 16 અને 32 છે.


n મું પદ an = 2n2 - n + 1 આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 2, 7, 16, 29, 46


n મું પદ an =  તો શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


n મું પદ an = 4n - 3; a17 અને a24 પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : an = 4n - 3 n = 17 લેતાં, a17 = 4(17) - 3 = 68 - 3 = 65 n = 24 લેતાં, a24 = 4(24) - 3 = 96 - 3 = 93 આમ, આપેલ શ્રેણી માટે a17 = 65 અને a24 = 93


a1 = 2, an = an-1 + 3, ∀ n > 1 શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 3, 9, 27, 81, 243. શ્રેઢી: 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + ....


a1 = 2, an = an-1 + 3, ∀ n ≥ 2 આપેલ શ્રેણીનાં પાંચ પદ અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 2, 5, 8, 11, 14. શ્રેઢી: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ....


n મુ પદ an = 2n2 + 1 હોય તો a7 મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 99


n મું પદ an = (-1)n (n2 - 1). તો a13 મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : -168


n મું પદ an = n મી અવિભાજ્ય સંખ્યા. આપેલ હોય તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 2, 3, 5, 7, 1


n મું પદ an =  આપેલ છે તો, શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


n મુ પદ an =  આપેલ છે તો a7 પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


n મું પદ an = (-1)n-1 (5)n+1 આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : an = (-1)n-1 (5)n+1 n = 1 લેતાં,   a1 = (-1)1-1 (5)1+1 = 25 n = 2 લેતાં,   a2 = (-1)2-1 (5)2+1 = -125 n = 3 લેતાં,   a3 = (-1)3-1 (5)3+1 = 625 n = 4 લેતાં,   a4 = (-1)4-1 (5)4+1 = -3125 n = 5 લેતાં,   a5 = (-1)5-1 (5)5+1 = 15625 આમ, શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો અનુક્રમે 25, -125, 625, -3125, 15625 છે.


n મું પદ an = (-1)n-1. n3 તો a9 મું પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : an = (-1)n-1. n3 n = 9 લેતાં, a9 = (-1)9-1 (9)3 = (-1)8 729 = 729 આમ, આપેલ શ્રેણી માટે, a9 = 729


n મું પદ an = n2 - n + 1 આપેલ હોય તો a5 મું પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 21


n મું પદ an = 3n + 1 આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 4, 7, 10, 13, 16


n મું પદ an = n આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


n મું પદ an =  આપેલ છે તો શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 1, , 2, , 3


n મું પદ an =  આપેલ છે તો a20 મુ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :


આપેલ શ્રેણી a1 = a2 = 1, an = an+1 + an+2, n > 2 ના પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો અને સંબંધિત શ્રેઢી પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : 1, 1, 2, 3, 5 શ્રેઢી: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + .....


આપેલ શ્રેણી a1 = 3, n > 1 માટે an = 3an-1 + 2 નાં પ્રથમ પાંચ પદ મેળવો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ : n > 1 માટે an = 3an-1 + 2 n = 2 લેતાં, a2 = 3a2-1 + 2 = 3a1 + 2                               = 3(3) + 2 (∵ a1 = 3)                               = 11 n = 3 લેતાં, a3 = 3a3-1 + 2 = 3a2 + 2                                = 3(11) + 2   (∵ a2 = 11)                                = 35 n = 4 લેતાં, 3a4-1 + 2 = 3a3 + 2                         = 3(35) + 2      (∵ a3 = 35)                         = 107 n = 5 લેતાં, 3a5-1 + 2 = 3a4 + 2                          = 3(107) + 2    (∵ a4 = 107)                          = 323 આમ, શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ અનુક્રમે 3, 11, 35, 107 અને 323 છે. તથા સંબંધિત શ્રેઢી 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + ..... છે.


ફીબોનાકી શ્રેણી, 1 = a1 = a2 અને n > 2 માટે an = an-1 + an-2 એમ વ્યાખ્યાયિત છે n = 1, 2, 3, 4, 5 માટે  ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.1)

Hide | Show

જવાબ :  


એક સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો 3n + 2n2 હોય તો તેનો સામાન્ય તફાવત (d) મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 4


3 અને 24 વચ્ચે 6 સમાંતર મધ્યકો શોધો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 6, 9, 12, 15, 18, 21


એવી શ્રેણી કે જે સમાંતર શ્રેણી હોય તે રીતે 8 અને 26 વચ્ચે 5 સંખ્યાઓ ઉમેરાય. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : અહીં a = 8, b = 26 તથા n = 5. ધારો કે, 8 અને 26 વચ્ચે A1, A2, A3, A4 અને A5 એ પાંચ સંખ્યાઓ એવી રીતે છે કે જેથી, 8, A1, A2, A3, A4, A5, 26 સમાંતર શ્રેણીમાં થાય. d =  =  =  = 3 A1 = a + d = 8 + 3 = 11 A2 = a + 2d = 8 + 6 = 14 A3 = a + 3d = 8 + 9 = 17 A4 = a + 4d = 8 + 12 = 20 A5 = a + 5d = 8 + 15 = 23 આમ, 8 અને 26 વચ્ચેની માંગેલ પાંચ સંખ્યાઓ 11, 14, 17, 20 અને 23 છે.


જો a અને b વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક  હોય, તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


1 થી 2001 સુધીના અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


100 અને 1000 વચ્ચેની 5 ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 100 અને 1000 વચ્ચેની 5 ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 105, 110, 115,....., 995 છે, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે. અહીં પ્રથમ પદ a = 105       n મું પદ an = 995 હવે માંગેલ સરવાળો Sn = 105 + 110 + ... + 995                         =  [a + an]                         =  [105 + 995]                         =  [1100]                         = 179 (550)                         = 98450


એક સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 2 છે અને પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો પછીનાં પાંચ પદના સરવાળાના એક ચતુર્થાંશ ભાગનો છે, તો ચકાસો કે, 20 મું પદ -112 છે. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, સમાંતર શ્રેણી a1, a2, a3,.... છે. તથા તેનું પ્રથમ પદ a1 = 2 તથા સામાન્ય તફાવત d છે. આપેલ છે કે, a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =  [a6 + a7 + a8 + a9 + a10]  4 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) = (a6 + a7 + a8 + a9 + a10)  4[S5] = (a1 + a2 + a3....+a10) - (a1 + a2 + ....+a5)  4S5 = S10 - S5  5 . S5 = S10  5[ (2(2) + (5 - 1)d] =  [2(2) + 10 - 1)d]  5 (10 + 10d) = 20 + 45d  d = -6 20 મું પદ a20 = a + (20 - 1)d                = 2 + (19) (-6)                = 2 - 114                = -112


એક સમાંતર શ્રેણીનું p મું પદ  અને q મું પદ   છે. p ≠ q માટે ચકાસો કે પ્રથમ પદનો સરવાળો  (pq + 1) મળે. (જ્યાં p ≠ q). (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


સમાંતર શ્રેણીનાં p પદોનો સરવાળો, પ્રથમ q પદોનાં સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ (p + q) પદોનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a તથા સામાન્ય તફાવત d છે. હવે, પ્રથમ પદોનો સરવાળો = પ્રથમ q પદોનો સરવાળો   [2a + (p - 1)d] =  [2a + (q - 1)d]  2ap + (p2 - p)d = 2aq + (q2 - q)d  2a(p - q) = d(p - q) - d(p2 - q2)  2a(p - q) = d(p - q) - d(p - q) (p + q)  2a = d - d (p + q)     (∵ p ≠ q)  2a = d (1 - p - q)  2a = -d (p + q - 1) પ્રથમ (p + q) પદોનો સરવાળો, Sp+q =  [2a + (p + q - 1)d]      =  [2a - 2a]      = 0


એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ p, q અને r પદોનો સરવાળો અનુક્રમે a, b અને c છે. ચકાસો કે,  (q - r) +  (r - p) +  (p - q) = ૦ મળે. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


એક વ્યક્તિ તેની લોનની ચુકવણી માટે પ્રથમ હપ્તામાં ₹ 100 ભારે છે. જો તે દર મહીને હપ્તાની રકમમાં ₹ 5 વધારે ભરે, તો તેણે 30 માં હપ્તામાં કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે?

Hide | Show

જવાબ : એક વ્યક્તિ લોનની ચુકવણી માટે પ્રથમ હપ્તામાં ₹ 100 ભરે છે. પછી દર મહીને હપ્તાની રકમમાં ₹ 5 નો વધારો કરે છે. જેથી સમાંતર શ્રેણી 100, 105, 110 ..... બનશે. જ્યાં a = ₹ 100     d = ₹ 5 30 માં હપ્તાની રકમ મેળવવા માટે n = 30  an = a + (n - 1)d સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, a30 = a + (30 - 1)d    = 100 + 9(5)    = 245  વ્યક્તિ 30 માં હપ્તામાં ₹ 245 ચૂકવશે.


એક બહુકોણમાં બે ક્રમિક અંત:કોણોનો તફાવત 5° છે. જો સૌથી નાનો ખૂણો 120° નો હોય, તો તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા કેટલી થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા n છે. n બાજુઓવાળા બહુકોણનાં અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો     = (2n - 4) x 90                 ... (1) બહુકોણનો સૌથી નાનો ખૂણો 120° છે. અથાર્ત a = 120. બે ક્રમિક અંત:કોણોનો તફાવત 5° છે. અથાર્ત d = 5. n બાજુઓવાળા બહુકોણનાં અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો      =  [2a + (n - 1)d]                 ....(2) પરિણામ (1) અને (2) પરથી,  [2(120) + (n - 1)(5)]   = (2n - 4) x 90  n [240 + 5n - 5] = (2n - 4) (180)  n [5n + 235] = 360n - 720  5n2 + 235n = 360n - 720  5n2 - 125n + 720 = 0  n2 - 25n + 144 = 0  (n - 9) (n - 16) = 0  n = 9 અથવા n = 16 પરંતુ જો n = 16 હોય તો બહુકોણનો સૌથી મોટો ખૂણો = 120 + (16 - 1) (5) = 195° થાય. જે શક્ય નથી. કારણ કે, બહુકોણનાં અંત:કોણનું માપ 180 કરતાં વધારે હોઈ શકે નહિ.  n = 16 શક્ય નથી.  n = 9 આમ, બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા 9 છે.


એક વ્યક્તિની પ્રથમ વર્ષની આવક ₹ 350000 છે. તેની આવકમાં દર વર્ષે ₹ 15000 નો ઈજાફો થાય છે. 15 માં વર્ષે તેની આવક કેટલી હશે અને 15 મા વર્ષમાં તે કુલ કેટલી રકમ તેને મળશે? (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 15 મા વર્ષે તેની આવક = ₹ 560000 15 મા વર્ષે તે કુલ ₹ 6825000 મેળવશે.


ભાર્ગવ પ્રથમ અઠવાડીયે ₹ 50 બચાવે છે. અને તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે ₹ 17.50 ની બચત વધારતો જાય છે. n મા અઠવાડિયે તેની બચત ₹ 207.50 હોય તો n ની કિંમત મેળવો. અને તેની કુલ બચત કેટલી થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : n = 10, ₹ 1287.50


એક સમાંતર શ્રેણીનાં ચાર ક્રમિક પદોનો સરવાળો 32 છે. તેનાં બીજા અને ત્રીજા પદોનો ગુણાકાર 60 છે. તો આ પદો કેટલા હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 2, 6, 10, 14


એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ m અને n પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર m2 : n2 છે. તો ચકાસો કે, m માં તથા n માં પદોનો ગુણોત્તર (2m - 1) : (2n - 1) થશે. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


સમાંતર શ્રેણી 25, 22, 19,..... નાં નિશ્ચિત સંખ્યાના શરૂઆતના પદોનો સરવાળો 116 હોય તો છેલ્લું પદ કેટલું થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 25, 22, 19,.... પ્રથમ પદ a = 25, સામાન્ય તફાવત d = 22 - 25 = -3 ધારો કે, આપેલ શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો 116 છે.  Sn = 116   [2a + (n - 1)d] = 116  n [2(25) + (n - 1) (-3)] = 232  n [50 - 3n + 3] = 232  53n - 3n2 = 232  3n2 - 53n + 232 = 0  (3n - 29) (n - 8) = 0  n =   અથવા n = 8 પરંતુ n Î N હોવાથી n =  ન હોઈ શકે.  n = 8  આપેલ શ્રેણીનું છેલ્લું પદ a8 છે. હવે a8 = a + (8 - 1)d        = 25 + 7(-3) = 4 છેલ્લું પદ 4 છે.


સરવાળો મેળવો: 5 + 13 + 21 + .....+ 181. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 2139


ત્રણ અંકની 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 70366


-6, -, -5,.... સમાંતર શ્રેણીનાં કેટલાં પદોનો સરવાળો -25 થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ a = -6 તથા સામાન્ય તફાવત d = (-) - (-6) = . ધારો કે, શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો = -25  Sn = -25   [2a + (n - 1)d] = -25   [2(-6) + (n - 1)] = -25   [-24 + n - 1] = -25  n2 - 25n = -100  n2 - 25n + 100 = 0  (n - 5) (n - 20) = 0  n = 5 અથવા n = 20  માંગેલ આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 5 અથવા 20 છે.


250 અને 1000 વચ્ચે આવેલી 3 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 156375


સમાંતર શ્રેણી 54, 51, 48, .... નાં કેટલા પદોનો સરવાળો 513 થાય તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 18 અથવા 19


1 + 6 + 11 + 16 + .... + x = 148 આપેલ શ્રેણીમાં x ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 36


સમાંતર શ્રેણી 18, 16, 14, 12,.... નાં કેટલા પદોનો સરવાળો 78 થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 6 અથવા 13


પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે બે સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનાં સરવાળાનો ગુણોત્તર 5n + 4 : 9n  6 છે. તેમનાં 18 માં પદનો ગુણોત્તર કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ a1 તથા સામાન્ય તફાવત d1 છે. તથા બીજી સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ a2 તથા સામાન્ય તફાવત d2 છે. આપેલ છે કે,


સમાંતર શ્રેણી 9, 7, 5,..... નું n મું પદ તથા સમાંતર શ્રેણી 15,12, 9,..... નું n મુ પદ સમાન હોય તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 7


અચળ p, q માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો (pn + qn2) હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત (d) મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો, Sn = pn + qn2 n = 1 માટે, S1 = p(1) + q(1)2 = p + q Þ a1 = p + q n = 2 માટે, S2 = p(2) + q(2)2 = 2p + 4q Þ a1 + a2 = 2p + 4q  a1 + a2 = 2p + 4q  p + q + a2 = 2p + 4q  a2 = p + 3q હવે, સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1                          = (p + 3q) - (p + q)                          = 2q


બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં પ્રથમ n પદોનાં સરવાળાનો ગુણોત્તર (3n + 6) : (5n - 13) છે. તો તેમનાં અગિયારમાં પદોનો ગુણોત્તર કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 3 : 4


જે સમાંતર શ્રેણીનું k મું પદ 5k + 1 હોય તેનાં n પદોનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનું k મું પદ ak = 5k + 1 k = 1 માટે, a1 = 5(1) + 1 = 6 k = 2 માટે, a2 = 5(2) + 1 = 11  શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 6 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 11 - 6 = 5  n પદોનો સરવાળો Sn =  [2a + (n - 1)d]                           =  [2(6) + (n - 1)5]                           =  [12 + 5n - 5]                           =  [5n + 7]


એક સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો 3n2 + 5n અને m મું પદ 164 છે, તો m ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો, Sn = 3n2 + 5n n = 1 લેતાં, S1 = 3(1)2 + 5(1) = 8 Þ a1 = 8 n = 2 લેતાં, S2 = 3(2)2 + 5(2) = 22 Þ a1 + a2 = 22 Þ a2 = 14 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 14 - 8 = 6 m મું પદ am = 164  a1 + (m - 1)d = 164  8 + (m - 1)6 = 164  (m - 1)6 = 164 - 8  m - 1 =  m = 26 + 1 = 27


બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં પ્રથમ n પદોનાં (2n - 1) : (4n + 3) છે. તો તેમનાં 25 માં પદોનાં સરવાળાનો ગુણોત્તર મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 27 : 199


1 અને 31 વચ્ચે m સંખ્યાઓ એવી રીતે મુકવામાં આવે છે કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય અને 7 મી અને (m - 1) મી સંખ્યાનો ગુણોત્તર 5 : 9 હોય, તો m ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ :


20 અને 80 વચ્ચે n સમાંતર મધ્ય્કો આવેલાં છે. પ્રથમ સમાંતર મધ્યક અને અંતિમ સમાંતર મધ્યકનો ગુણોત્તર 1 : 3 આપેલ હોય તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : n = 11


સમાંતર શ્રેણીનાં ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે 24 અને 132 છે. આપેલ ત્રણ પદ ક્યા હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 3, 8, 13


7 અને 71 વચ્ચે n સમાંતર માધ્યાકો આવેલાં છે. જો 5 મો સમાંતર મધ્યક 27 હોય તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : n = 15


એક સમાંતર શ્રેણીમાં a1 + a5 + a10 + a15 + a20 + a24 = 225 હોય તો તેનાં 24 પદોનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 900


n પદોનો સરવાળો એ તે n નાં વર્ગનાં ત્રણ ગણા જેટલો થાય એવી સમાંતર શ્રેણી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.2)

Hide | Show

જવાબ : 3, 9, 15,....


Hide | Show

જવાબ :


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 8 મું પદ 192 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે, તો તેનું 12 મું પદ કયું થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r છે. આપેલ છે કે, a8 = 192 તથા r = 2, a12 = ? હવે a8 = a(r)8-1  192 = a(2)7  a =                       ...(1) a12 = ar12-1 =  (2)11            (∵ (1) પરથી)            = 192(2)4            = 192 x 16            = 3072  12 મું પદ 3072 છે.


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પાંચમાં, આઠમાં, અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે p, q અને s હોય, તો ચકાસો કે, q2 = ps મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r છે. આપેલ છે કે, a5 = p, a8 = q તથા a11 = s              ar5-1 =  p, ar8-1 = q તથા ar11-1 = s              ar4 = p, ar7 = q તથા ar10 = s હવે, q2 = (ar7)2         = a2 r14         = (ar4) (ar10)         = pq


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે અને પ્રથમ પદ -3 છે, તો તેનું 7 મું પદ કયું હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -3. ધારો કે, શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે. આપેલ છે કે, a4 = (a2)2              ar4-1 = (ar)2              ar3 = a2 r2              r = a = -3 7 મું પદ a7 = ar7-1              = (-3) (-3)6              = -2187  શ્રેણીનું 7 મું પદ -2187 છે.


સમગુણોત્તર શ્રેણી -6, 18, -54 ..... નું 12 મું પદ તથા n મું પદ કયુ હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 2(3)12, (-1)n6 (3)n-1


સમગુણોત્તર શ્રેણી , ,  ...... નું 6 મું પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :  ( )5


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ 27 છે. તથા 7 મુ પદ 729 છે. તો આ શ્રેણી કઈ હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 1, 3, 9,...


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ 4 છે. તો તેનાં પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 1024


સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ 5, 10, 20,... અને 128૦, 640, 320..... નું n મું પદ સમાન હોય તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : n = 5


શ્રેણી 2, 2 , 4.... નું કયું પદ 128 થશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : શ્રેણી 2, 2 , 4.... માટે, પ્રથમ પદ a = 2 તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r =  = ધારો કે, આપેલ શ્રેણીનું n મું પદ an = 128  a(r)n-1 = 128  2( )n-1 = 128  (2)  = 64 = (2)6    = 6             (∵ આધાર સમાન હોય ત્યારે ઘાતાંકો સરખાવતાં)  n = 13  આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 13 મું પદ 128 છે.


શ્રેણી , 3, 3 , .... નું કયું પદ 729 થશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : શ્રેણી , 3, 3 , .... માટે, પ્રથમ પદ = સામાન્ય ગુણોત્તર r =  = ધારો કે, આપેલ શ્રેણીનું n મું પદ 729 છે.  an = 729  a(r)n-1 = 729    ( )n-1 = 729  ( )n = 729  (3  = (3)6    = 6    (∵ આધાર સમાન હોય ત્યારે ઘાતાંકો સરખાવતાં)  n = 12  આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 12 મું પદ 729 છે.


Hide | Show

જવાબ :


x ની કઈ કિંમત માટે (x + 9), (x - 6), 4 સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં મળે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ± 5


બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક 5 છે. અને સમગુણોત્તર મધ્યક 4 છે. તો તે બે સંખ્યાઓ કઈ હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 2 અને 8


a, b, c ધન સંખ્યાઓ હોય તો ચકાસો કે, a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 288, 144, 72, 36, 18


ચોક્કસ પ્રકારનાં જીવાણું દર કલાકે 4% પ્રમાણે વધે છે. શરૂઆતમાં 40 જીવાણું હોય તો ચાર કલાકના અંતે કેટલાં જીવાણુઓ હાજર થશે તે મેળવો. અને ચોથા કલાકમાં કેટલા જીવાણુંઓ વધ્યા હશે તે પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 170, 45


એક મોટર સાઈકલ ₹ 60000 માં ખરીદી. જો દર વર્ષે તેની કિંમતમાં 10% ઘટાડો થતો હોય તો ચોથા વર્ષનાં અંતે તેની કિંમત કેટલી થશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ₹ 39366


એક ચોરસની બાજુની લંબાઈ 10 સેમી. છે, ચોરસની બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડીને બીજા ચોરસ બનાવવામાં આવે છે, ફરીથી બીજા ચોરસની બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડીને ત્રીજો ચોરસ બનાવવામાં આવે છે. આ પ્રમાણે ચોથો. પાંચમો,.... ચોરસ દોરવામાં આવે છે. આ પ્રમાણે દોરેલ બધાં જ ચોરસનાં ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (Hint: a + ar + ar2 + ¥ = ). (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 200 ચો.સેમી.


એક દડો 120 મીટરની ઉંચાઈએથી નીચે ફેંકવામાં આવે છે, દડો જમીનને અથડાઈને ફરીથી તેની ઊંચાઈનાં  ભાગે પાછો ઉંચો જાય છે. તો તે દડો સ્થિર થાય ત્યારે તેને કાપેલ અંતર કેટલું થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 1080 મીટર


શ્રેણી , ,  .... નું કયું પદ  થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 11


શ્રેણી 18, -12, 8.... નું કયું પદ   થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 9


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ત્રીજું પદ 18 અને 6મુ પદ 486 છે. તો તેનું 9 મુ પદ કયું થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 13122


સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો મેળવો. 0.15, 0.0115, 0.0015,...... પ્રથમ 20 પદ નો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં પ્રથમ n પદો  નો સરવાળો મેળવો: , , 3 ,..... (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો (જ્યાં a ≠  -1) મેળવો: 1, -a, a2, -a3,..... (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો (જ્યાં x ≠ ± 1) છે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


Hide | Show

જવાબ :


શ્રેણી 2, 6, 18,..... નાં 7 પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 2186


શ્રેણી , - , + , -  ..... 5 પદો સુધીનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


 ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :  (49 - 1)


સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, ,  ..... નાં કેટલા પદોનો સરવાળો  થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 10


સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, 6, 12,..... નાં n પદોનો સરવાળો 381 હોય તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 10


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો  છે અને તેમનો ગુણાકાર 1 છે, તો સામાન્ય ગુણોત્તર અને તે પદો ક્યાં હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, 32, 33,....... નાં પ્રથમ કેટલા પદોનો સરવાળો 120 થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : સમગુણોત્તર શ્રેણી 3, 32, 33,....... માટે પ્રથમ પદ a = 3 સામાન્ય ગુણોત્તર r = 3 > 1 ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો 120 છે.  Sn = 120    = 120    = 120  3n - 1 =  3n - 81 = 34  n = 4  આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચાર પદોનો સરવાળો 120 છે.


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પદો: a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5,.... પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો = 16  a + ar + ar2 = 16  a[(1 + r + r2)]  = 16                    ....(1) પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો = 128  ar3 + ar4 + ar5 = 128  ar3 [(1 + r + r2)] = 128                  ...(2) પરિણામ (2) ને પરિણામ (1) વડે ભાગતાં,  =  r3 = 8 = 23 Þ r = 2 હવે પરિણામ (1) માં r = 2 મુકો. a(1 + 2 + 4) = 16         a =  શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r = 2 છે.  n પદોનો સરવાળો Sn =     (∵ r = 2 > 1 છે.)                           =                           =  (2n - 1)


આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે a = 729 અને 7 મું પદ 64 હોય તો, S7 ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


જેનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો -4 હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : સમગુણોત્તર શ્રેણી: a, ar, ar2, ar3, ar4,..... પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો = -4  a + ar = 4  a (1 + r) = -4                   ....(1) પાંચમું પદ એ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું છે.        a5 = 4(a3)       ar4 = 4(ar2)       r2 = 4 Þ r  = ±  2 જો r = 2 હોય તો (1) Þ a (1 + 2) = -4                       Þ a = જો r = -2 હોય તો (1) Þ a (1 - 2) = -4                        Þ a = 4 a = , r = 2 હોય તો, સમગુણોત્તર શ્રેણી: , , ,..... a  = 4, r = -2 હોય તો, સમગુણોત્તર શ્રેણી: 4, -8, 16, -32,....


શ્રેણી , 3, 3  ..... નાં કેટલાં પદોનો સરવાળો 39 + 13  થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 6


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો  હોય અને છઠ્ઠું પદ એ તેના ત્રીજા પદથી 8 ગણું હોય તો તે શ્રેણી અકિ હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : , 3, 6, 12,....


એક સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ 27 છે. તથા તેનું આઠમું પદ  છે. તો તેનાં પ્રથમ 10 પદોનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :  (1 - )


8, 88, 888, 8888, ..... શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો કેટલો થશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : Sn = 8 + 88 + 888 + 8888 + .... n પદો            =  [9 + 99 + 999 + 9999 + .... + n પદો]            =  [(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) (10000 - 1) + ..... + n પદો]            =  [(10 + 102 + 103 + 104 + n પદો]  - (1 + 1 + 1 + 1 + .... + n પદો)]

=  [  - n]    (∵ અહીં સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં a = 10, r = 10 લેતાં) Sn =  [  (10n - 1) - n] =  (10n - 1) -


શ્રેણીઓ 2, 4, 8, 16, 32 અને 128, 32, 8, 2,  નાં સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


શ્રેણીઓ a, ar, ar2,......,arn-1 અને A, AR, AR2,......ARn-1 નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ ચકાસો અને તેના સામાન્ય ગુણોત્તર પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ: a, ar, ar2,......,arn-1 અને A, AR, AR2,......ARn-1 તેમનાં સંગત પદોનો ગુણાકાર: Aa, AR, ar, AR, ar2,......,ARn-1 arn-1 છે. અહીં  = Rr       = Rr  સંગત પદોનાં ગુણાકાર દ્વારા મળતી શ્રેણી પણ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. જેમનો સામાન્ય ગુણોત્તર Rr છે.


જે શ્રેણીમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r છે. આપેલ છે કે, a3 = a + 9 અને a2 = a4 + 18             ar2 = a + 9 અને ar = ar3 + 18             ar2 - a = 9             a =                                  a    ar    ar2    ar3 3   -6    12     -24 છે. r = ± 1 હોય તો a =  Þ a =  =  જે શક્ય નથી. આમ, માંગેલ પદો 3, -6, 12, -24 છે.


0.3 + 0.33 + 0.333 + .... n પદ સુધી ની કિંમત મેળવો. અને પદોનો સરવાળો પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : n -  (1 - 10-n)


7 + 77 + 777 + 7777 + .... n પદ સુધી ની કિંમત મેળવો. અને પદોનો સરવાળો પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :  (10n - 1) -


x(x + y) + x2 (x2 + y2) + x3 (x3 + y3) + ....n પદ સુધી ની કિંમત મેળવો. અને પદોનો સરવાળો પણ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં એ p, q, r માં પદો અનુક્રમે a, b, c હોય તો ચકાસો કે, aq-r, br-p, cp-q = 1 મળશે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે , સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય ગુણોત્તર R છે. શ્રેણીનું p મુ પદ = a અથાર્ત ARp-1 = a        q મું પદ = b અથાર્ત ARq-1 = b        r મું પદ = c અથાર્ત ARr-1 = c હવે, aq-r . br-p . cp-q = (ARp-1)q-r . (ARq-1)r-p . (ARr-1)p-q = (A)q-r (Rp-1)q-r . (A)r-p (Rq-1)r-p . (A)p-q (Rr-1)p-qn = (A)q-r+r-p+p-q . (R)pq-pr-q+r+qr-pq-r+p+pr-qr-p+q = (A)0 . (R)0 = 1


સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને n મું પદ b છે. જો n પદોનો ગુણાકાર P હોય, તો ચકાસો કે P2 = (ab)n મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = a ધારો કે શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર = r n મું પદ an = b    arn-1 = b               ....(1) n પદોનો ગુણાકાર = p  p = (a) (ar) (ar2) (ar3) ..... (arn-1)      = [(a) (a) (a) (a) .... n વખત] [r ´ r2 ´ r3 ´ .... rn-1]      = an . r         (∵  =  નું સુત્ર)  p2 = (an . r )2       = a2n . rn(n-1) = an . an . rn(n-1)            = (a. arn-1)n      = (a . b)n         (∵ પરિણામ (1) પરથી)


ચકાસો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોના સરવાળાનો (n + 1) પદથી (2n) માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર  મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો ચકાસો કે, (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2 થાય. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે, તેમનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.  b = ar, c = ar2 તથા d = ar3 થશે. ડા.બા.= (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2)       = (a2 + a2r2 + a2r4) (a2r2 + a2r4 + a2r6)       = a2 (1 + r2 + r4) . a2r2 (1 + r2 + r4)       = a4r2 (1 + r2 + r4)2              ....(1) જ.બા. = (ab + bc + cd)2        = (a2r + a2r3 + a2r5)2        = [a2r (1 + r2 + r4)]2               = a4r2 (1 + r2 + r4)2                 ....(2) પરિણામ (1) અને (2) ઉપરથી, ડા.બા. = જ.બા.  (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2


એક સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં યુગ્મ સંખ્યામાં પદો છે. શ્રેણીના બધા પદોનો સરવાળો એ શ્રેણીમાં અયુગ્મ સ્થાન પર આવેલ પદોનાં સરવાળાથી પાંચ ગણો હોય તો તેમનો સામાન્ય ગુણોત્તરની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 4


3 અને 81 વચ્ચે બે સંખ્યાઓ મેળવો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : અહીં a = 3, b = 81, n = 2 ધારો કે G1 અને G2 એવાં છે કે જેથી, a, G1, G2, b સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં મળે. અહીં r = (  = (  = (27)  = 3  G1 = ar = 3(3) = 9  G2 = ar2 = 3(3)2 = 27  માંગેલ 3 અને 81 વચ્ચેની સંખ્યાઓ 9 અને 27 છે. તથા 3, 9, 27 અને 81 સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.


જો a અને b નો સમગુણોત્તર મધ્યક  હોય, તો n ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો ચકાસો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર (3 + 2 ) : (3 – 2 ) મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ :


બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G હોય, તો ચકાસો કે તે સંખ્યાઓ A ±   મળે. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે, બે ધન સંખ્યાઓ a અને b છે.  સમાંતર મધ્યક A =  Þ a + b = 2A સમગુણોત્તર મધ્યક G1 =  = ab = G2. હવે a અને b જેનાં બે બીજ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ: x2 - (a + b)x + ab = ૦ છે. આમ, x2 - 2Ax + G2 = ૦ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક D = (-2A)2 - 4(1)G2                                = 4A2 - 4G2                                = 4(A2 - G2)  દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ,


બે ધન સંખ્યાઓનો તફાવત 12 છે. તેમનો સમાંતર મધ્યક એ સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં 2 વધારે હોય, તો તે સંખ્યાઓ કઈ હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : 16 અને 4


બેક્ટેરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 હોય, તો 2 કલાક, 4 કલાક અને n માં કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : બેક્ટેરિયાનાં ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. શરૂઆતમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 છે. 1 કલાક બાદ તેની સંખ્યા 2(30) = 60 થશે. 2 કલાક બાદ તેની સંખ્યા 2(60) = 120 થશે. આમ, દર કલાકે તેની સંખ્યા નીચે પ્રમાણે શ્રેણીમાં મળશે. 30, 60, 120,...... આ શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. જેનું પ્રથમ પદ a = 30 તથા સામાન્ય ગુણોત્તર r =  = 2 છે. n = 0 હોય ત્યારે a = 30 n = 2 હોય ત્યારે a2 = 30(2)2 = 120 n = 4 હોય ત્યારે a4 = 30(2)4 = 480 n કલાકે તેની સંખ્યા 30(2n) થાય. આમ, 2 કલાક, 4 કલાક અને n કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા અનુક્રમે 120, 480 અને 30(2n) થશે.


બેંકમાં ₹ 500, 10% નાં વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધી વ્યાજે મુકીએ, તો 10 વર્ષનાં અંતે કેટલી રકમ મળશે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : બેંકમાં ₹ 500 મુકવામાં આવે છે. ચક્રવૃદ્ધી વ્યાજ 10% છે. 10 વર્ષના અંતે કેટલી રકમ મળશે તે શોધવી છે. અહીં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થશે. જેનું પ્રથમ પદ a = ₹ 500. સામાન્ય ગુણોત્તર r = (100 + 10)% = 110% =                                                = 1.1 દસ વર્ષના અંતે મળતી રકમ = arn                               = ₹. 500 (1.1)10


જો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ કયું હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.3)

Hide | Show

જવાબ : ધારો કે માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બિજ a અને b છે.  સમીકરણ: x2 - (a + b)x + ab = 0 હવે સમાંતર મધ્યક A = 8       = 8                                 a + b = 16                   ....(1) સમગુણોત્તર મધ્યક G = 5       = 5                                 ab = 25                     ....(2) પરિણામ (1) અને (2) નો ઉપયોગ કરતાં, માંગેલ સમીકરણ : x2 - 16x + 25 = 0


1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ..... આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ શ્રેણીનું n મુ પદ = (1, 2, 3, 4,..... નું n મુ પદ) x (2, 3, 4, 5,..... નું n મું પદ) આપેલ શ્રેઢીનું n મું પદ an = n(n + 1) = n2 + n આથી n પદોનો સરવાળો, Sn =     =     =  +


1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .... આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ શ્રેઢીનું n મુ પદ = (1, 2, 3,.... નું n મું પદ) x (2, 3, 4,.... નું n મું પદ) x (3, 4, 5,.... નું n મુ પદ) આપેલ શ્રેઢીનું n મુ પદ an = n(n + 1) (n + 2)                             = n (n2 + 3n + 2)                          an = n3 + 3n2 + 2n માંગેલ સરવાળો Sn =                     = n3 + 3n + 2)                     = n3 + 3  + 2


3 x 12 + 5 x 22 + 7 x 32 + .... આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ શ્રેણીનું n મુ પદ = (3, 5, 7,.... નું n મુ પદ) x (12, 22, 32,.....નું n મુ પદ) આપેલ શ્રેઢીનું n મુ પદ an = (2n + 1)n2 = 2n3 + n2 માંગેલ સરવાળો Sn =                      = + n2)                      =   +


Hide | Show

જવાબ :


52 + 62 + 72 + ..... + 202 આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


3 x 8 + 6 x 11 + 9 x 14 + ..... આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : આપેલ શ્રેણીનું n મું પદ: = (3, 6, 9,....નું n મું પદ) x (8, 11, 14,... નું n મું પદ) = [3 + (n - 1)3] x [8 + (n - 1)13] = (3n) (3n + 5) = 9n2 + 15n માંગેલ સરવાળો Sn =                     = + 15n)                     = 9   + 15


12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + ..... આપેલ શ્રેઢીમાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


13 + 43 + 73 + .... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :  (27n3 - 18n2 - 9n + 4)


2.1 + 5.3 + 8.5 + .... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :  (4n2 + n - 1)


32 + 72 + 112 + .... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :  (16n2 + 12n - 1)


(54 - 14) + (84 - 44) + (114 - 74) + .... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : 12n (n + 1) (9n2 + 9n + 8)


12 + () + () + .... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :  (4n2 + 15n + 17)


1 + 5 + 12 + 22 + 35 + ..... આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : Sn = 1 + 5 + 12 + 22 + 35 + .... Tn-1 + Tn Sn = 1 + 5 + 12 + 22 + ...... + Tn-1 + Tn બાદબાકી કરતાં, ૦ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + .... + (Tn + Tn-1) - Tn Tn = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ..... + (Tn - Tn-1) = 1 +  [2 ´ 4 + (n - 1)3] n મુ પદ =  (3n2 - n)


n(n + 1) (n + 4) શ્રેઢીનું n મુ પદ આપેલ છે તો પ્રથમ n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


n2 + 2n શ્રેઢીનું n મુ પદ આપેલ છે તો પ્રથમ n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


(2n - 1)2 શ્રેઢીનું n મુ પદ આપેલ છે તો પ્રથમ n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


શ્રેઢીનું n મુ પદ આપેલ છે તો તેનાં n પદોનો સરવાળો મેળવો: (સ્વાધ્યાય 9.4)

(1) 2n2 - 3n + 5 (2 )n3 - 3n (3) (2n - 1)2

Hide | Show

જવાબ : (1)   (4n2 - 3n + 23) (2) [ ]2 -  (3n - 1) (3)  (2n + 1) (2n - 1)


1 +  (1 + 2) +  (1 + 2 + 3) + .... 16 પદ સુધીનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : 76


(33 - 23) + (53 - 43) + (73 + 63) + ..... 10 પદ સુધીની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : 4960


11 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + ...... નાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ :


2 x 4 + 4 x 6 + 6 x 8 + ..... નાં n પદોનો સરવાળો મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.4)

Hide | Show

જવાબ : 2n(2n + 2)


 +  +  +  +  +  + ......¥ ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


જો 1 + cos a + cos2 a + .... ¥ = 2 -   હોય તો a ની કિંમત મેળવો. (0 < a < p). (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં અંનત પદોનો સરવાળો મેળવો: 1, , ,..... (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં અંનત પદોનો સરવાળો મેળવો: 6, 1.2, 0.24,.... (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં અંનત પદોનો સરવાળો મેળવો: 5, , , ..... (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં અંનત પદોનો સરવાળો મેળવો.: , , ...... (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


Hide | Show

જવાબ :


|a| < 1 તથા |b| < 1 માટે x = 1 + a + a2 + .... અને y = 1 + b + b2 + ...., ચકાસો કે, તે 1 + ab + a2b2 =  થાય. (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


 +  +  +  +  +  + .....¥ ની કિંમત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 9.5)

Hide | Show

જવાબ :


There are No Content Availble For this Chapter

Download PDF

Take a Test

Choose your Test :

શ્રેણી અને શ્રેઢી

ગણિત

Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૧ All Subjects

The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.

The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.

For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.


ask-a-doubt ask-a-doubt