GSEB Solutions for ધોરણ ૧૧ Gujarati

જવાબ :

જવાબ : આપેલ વિધાન અસત્ય છે. સત્ય વિધાન =  P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}

જવાબ : n(A) = ૩ n(B) = 2 ⇒ n(A × B) = ૩ × 2 = 6 (x, 1), (y, 2), (z, 1) એ A × B નાં ઘટકો છે. ∴ x, y, z ∈ A તથા 1, 2 ∈ B ∴ A = {x, y, z} અને B = {1, 2}

જવાબ : A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} A × B માં 4 ઘટકો છે. n(A × B) = n(A) n(B) ∴ ગણ A માં 2 ઘટકો તેમજ ગણ B માં 2 ઘટક હોય. (a, x) ∈ A × B ⇒ a ∈ A, x ∈ B (a, y) ∈ A × B ⇒ a ∈ A, y ∈ B (b, x) ∈ A × B ⇒ b ∈ A, x ∈ B (b, y) ∈ A × B ⇒ b ∈ A, y ∈ B

જવાબ : A = {a, b}, B = {1, 2, ૩}

જવાબ : n(A) = ૩, અને n(B) = 5

જવાબ : a = 5, અને b = -2

જવાબ : a = 6, અને b = ૦

જવાબ : આપેલ વિધાન સત્ય છે.

જવાબ : B = {૩, 4} હોય તો B Ç ∅ = ∅. આમ, ક્રમયુક્ત જોડનાં બે ગણો પૈકી કોઈ એક ગણ હોય તો ક્ર્મયુક્ત જોડનો ગણ ખાલી ગણ કેહવાય. ∴ A × (B Ç ∅) = ∅ આ વિધાન સત્ય છે.

જવાબ : 8

જવાબ : n(A × A) = 9 =     ∴ n(A) . n(A) = ૩ × ૩ ⇒ n(A) = ૩ (-1, ૦), (૦, 1) ∈ A × A ∴ -1 ∈ A, ૦ ∈ A, 1 ∈ A n(A) = ૩ હોય તો  A = {-1, ૦, 1} A × A નાં બાકીનાં ઘટકો આમ મળે  : (-1, 1) (-1, -1) (૦, -1) (૦, ૦) (1, -1) (1, ૦) (1, 1)

જવાબ : A = {-1, 1} A × A × A = {-1, 1} × {-1, 1} × {-1, 1}              = {(-1, -1) (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} × {-1, 1}              = {(-1, -1, -1 ), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1,      1, -1)}

જવાબ : G = {7, 8} અને  H = {5, 4, 2} G × H = {7, 8} × {5, 4, 2}          = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)} H × G = {5, 4, 2} × {7, 8}         = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8) (2, 7) (2, 8)}

જવાબ : a = ૩, અને b = -2

જવાબ : a = 2, અને b = ૩

જવાબ : A × B = {(1, 2), (1, ૩), (2, 2), (2, ૩), (૩, 2), (૩, ૩)} B × A = {(2, 1), (૩, 1), (2, 2), (૩, 2), (2, ૩), (૩, ૩)}

જવાબ : P × P × P = {(1, 1, 1), (1, 1, 4), (1, 4, 1), (1, 4, 4), (4, 1, 1), (4, 1, 4), (4, 4, 1), (4, 4, 4)}

જવાબ : A = {a, b, c, d}

જવાબ : A × A × A = {({(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 1, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}

જવાબ : A × B = {(-1, 2), (-1, ૩), (૩, 2), (૩, ૩), (4, 2), (4, ૩)} B × A = {(2, -1), (૩, -1), (2, ૩), (૩, ૩), (2, 4), (૩, 4)} A × A = {(-1, 1), (-1, ૩), (-1, 4), (૩, -1), (૩, ૩), (૩, 4), (4, -1), (4, ૩), (4, 4)}

જવાબ : ગણ A માં ૩ ઘટકો છે. ⇒ n(A) = ૩ ગણ B = {૩, 4, 5} ⇒ n(B) = ૩ ∴ A × B નાં ઘટકોની સંખ્યા n(A × B) = n(A) n(B) = ૩ × ૩ = 9 થાય.

જવાબ : 20, 9

જવાબ : A = {1, 2}, B = {1, 2, ૩, 4}, C = {5, 6} D = {5, 6, 7, 8}

(B Ç C) = {1, 2, ૩, 4} Ç {5, 6} = ∅

A × (B Ç C) = A × ∅ = ∅       ............(i)

A × B = {1, 2} × {1, 2, ૩, 4}

     = {(1, 1), (1, 2), (1, ૩), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, ૩), (2, 4)}

A × C = {1, 2} × {5, 6}

     = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

સ્પષ્ટ થાય છે કે , (A × B) Ç (A × C) = ∅   ..........(ii)

પરિણામ (i) અને (ii) મુજબ,

A × (B Ç C) = (A × B) Ç (A × C)

A × C = {1, 2} × {5,6}

        = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

B × D = {1, 2, ૩, 4} × {5, 6, 7, 8}

        = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (૩, 5), (૩, 6), (૩, 7), (૩, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

સ્પષ્ટ થાય છે કે , A × C નાં બધાં જ ઘટકો B × D માં સમાયેલા છે. ∴  સાબિત થાય છે કે, A × C એ B × D નો ઉપગણ છે.

જવાબ : A = {a, b, c, d, e} અને B = {2, ૩}

જવાબ :

A × B = {1, 2} × {૩, 4}

        = {(1, ૩), (1, 4), (2, ૩), (2, 4)}

n(A × B) = 4

∴ A × B નાં ઉપગણોની સંખ્યા =  = 16

A × B નાં ઉપગણો :

1. {(1, ૩)} 2. {(1, 4)} ૩. {(2, ૩)} 4. {(2, 4)} 5. {(1, ૩)} {(1, 4)} 6. {(1, ૩)} {(2, ૩)} 7. {(1, ૩)} {(2, 4)} 8. {(1, 4)} {(2, ૩)} 9. {(1, 4)} {(2, 4)} 10. {(2, ૩)} {(2, 4)} 11. {(1, ૩)} {(1, 4)} {(2, ૩)} 12. {(1, ૩)} {(1, 4)} {(2, 4)} 13. {(1, 4)} {(2, ૩)} {(2, 4)} 14. {(2, ૩)} {(2, 4)} {(1, ૩)} 15. ∅ 16. A × B

જવાબ : {(2, ૩) (-1, 6) (5, ૦)} ઉપગણોની સંખ્યા =  = 8 થાય.

જવાબ :

A = {1, 2, ૩,...., ....,14}

R = {(x, y) : ૩x - y = ૦, જ્યાં, x, y ∈ A}

R = {(1, ૩), (2, 6), (૩, 9), (4, 12)}

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩, 4}

R નો વિસ્તાર = {૩, 6, 9, 12} R નો સહપ્રદેશ = A = {1, 2, ૩,...., ...,14}

જવાબ :

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩, 4} R નો વિસ્તાર = {4}

જવાબ :

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩, 4, 5, 6, 7, 8, 9} R નો વિસ્તાર = {9, 8, 7, 6, 5, 4, ૩, 2, 1}

જવાબ :

R = {(9, 1), (6, 2), (૩, ૩)}

R નો પ્રદેશ = {9, 6, ૩} R નો વિસ્તાર = {1, 2, ૩}

જવાબ :

R = {(x, x + 5) : x ∈ {૦, 1, 2, ૩, 4, 5}}

∴ R = {(૦, 5), (1, 6), (2, 7), (૩, 8), (4, 9), (5, 10)}

R નો પ્રદેશ = {૦, 1, 2, ૩, 4, 5} R નો વિસ્તાર = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

જવાબ :

R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b એ પૂર્ણાંક છે.}

Z = {..................., -2, -1, ૦, 1, 2, ૩,...........,}

(a, b) માં a ∈ Z

∴ R નો પ્રદેશ Z છે.

a – b પૂર્ણાંક છે.

ગણ Z નાં કોઈ પણ બે સભ્યોનો તફાવત પૂર્ણાંક સંખ્યા જ મળે છે. ∴ R નો વિસ્તાર, ગણ Z બનશે.

જવાબ :

જવાબ :

A = {1, 2, ૩, 5} તેમજ  B = {4, 6, 9}

R = {(x, y) : x અને y નો તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા છે.

x ∈ A, y ∈ B}

x ∈ A, y ∈ B, êx – y  ê= અયુગ્મ સંખ્યા R = {(1, 4), (1, 6), (2, 9), (૩, 4), (૩, 6), (5, 4), (5, 6)}

જવાબ :

R = {( x, ) : x એ 10 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}

R = {(2, ), (૩, ), (5, ), (7, )}    = {(2, 8), (૩, 27), (5, 125), (7, 343)}

જવાબ : R = {(2, 4), (૩, 9), (5, 25), (7, 49), (11, 121), (13, 169)}

જવાબ : {5, 6, 7, 8, 9, 10}

જવાબ :

A = {x, y, z} ⇒ n(A) = ૩

B = {1, 2} ⇒ n(B) = 2

n(A × B) = n(A) . n(B)

            = ૩ × 2 = 6 ∴ A થી B સંબંધોની સંખ્યા =  = 64

જવાબ :

R = R = {(x, y) : = x + 5, x એ 4 થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. x, y ∈ N}

x = 1, 2, ૩

y = x + 5 ⇒ y = 6, 7, 8

∴ R = {(1, 6), (2, 7), (૩, 8)}

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩} R નો વિસ્તાર = {6, 7, 8}

જવાબ : R = {૩, 2}, {5, 2}, {5, 4}, {7, 2}, {7, 4}, {7, 6}

જવાબ :

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩, 4, 5, 6, 7} R નો વિસ્તાર = {7, 6, 5, 4, ૩, 2, 1}

જવાબ :

R = {(2, 1), (4, 2), (6, ૩)}

R = {(૦, 4), (૩, 2), (6, ૦)} R = {(5, 10), (5, 15), (6, 12), (6, 18), (8, 16)}

જવાબ :

પ્રદેશ : {2, 6, 9} વિસ્તાર : {4, 6, 18, 27, 54}

જવાબ :

P : {5, 6, 7} Q = {૩, 4, 5}

1. ગુણધર્મની રીતે : R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q, x = y + 2}
2. યાદીની રીતે : R = {(5, ૩), (6, 4), (7, 5)}

R નો પ્રદેશ = {5, 6, 7} R નો વિસ્તાર = {૩, 4, 5}

જવાબ :

R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q, x = }

R = {(9, ૩), (9, -૩), (4, -2), (4, 2), (25, 5), (25, -5)}

R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q, x + 1 = y} R = {(1, 2), (2, ૩), (૩, 4), (4, 5), (5, 6)}

જવાબ :

A = {1, 2, ૩, 4, 6}

R = {(a, b) : a, b ∈ અ, b એ a વડે વિભાજ્ય છે.

R = {(1,1), (1, 2), (1, ૩), (1, 4), (2, 2), (2, ૩), (2, 4), (2, 6), (૩, ૩), (૩, 6), (4, 4), (6, 6)}

R નો પ્રદેશ = {1, 2, ૩, 4, 6} = A R નો વિસ્તાર = {1, 2, ૩, 4, 6} = A