GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::
જવાબ : 1. 135 , 225 અહી, 225 > 135 છે 225 = 135 * 1 + 90 135 = 90 * 1 + 45 90 = 45 * 2 + 0 શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 45 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે. જવાબ= ગુ.સા.અ (135, 225) = 45
જવાબ : અહી, 38220 > 196 છે. 38220 = 196 * 195 + 0 શેષ = 0 હોવાથી, ભાજક 196 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.
જવાબ :
અહી, 867> 255
867 = 255 * 3 + 102
255 = 102 * 2 + 51
102 = 51 * 2 + 0
શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 51 એ માંગેલ ગુ.સા.અ છે.
જવાબ : 
= 
= 3 / 26 * 51
અહી, છેદ q(26 * 51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 6 અને m = 1) પ્રકારનું છે.
નું નિરૂપણ સાન્ત છે.
જવાબ :
આ પ્રશ્નનો ગાણિતિક રીતે ઉકેલ શોધવા 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ શોધીશું.
616 = 32 * 19 + 8
32 = 8 * 4 + 0
ગુ.સા.અ (616,32) = 8 જવાબ: તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યા છે તે કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.
જવાબ : માંગેલ જવાબ મેળવવા માટે આપણે લગતા સમયનો લ.સા.અ શોધીશું.
12 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3
18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32
આથી લ.સા.અ (12,18)= 22 * 32 = 36
જવાબ= જો સોનિયા અને રવિ એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ કરે છે.તો 36 મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થાય.
જવાબ : 
= 13/55
અહી, છેદ q(55) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5)પ્રકારનું છે.
નું નિરૂપણ સાન્ત છે.
જવાબ : જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક 0 હોય ત્યારે તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય, એટલે કે અંતિમ અંક 0 હોય તેવી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 અને 2 બંનેનો સમાવેશ થાય.
અહી, 6n = (૩ * ૨)n
= ૩n * 2n
જ્યાં, n કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. આથી, 6n 2 અને 3 એમ ફક્ત બે જ અવિભાજ્ય અવયવો હોઈ શકે. આમ, 6n ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી કોઈ પણ સંજોગોમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક 0 થાય નહી.
જવાબ : 
= 17/23
અહી, છેદ q(23) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 5) પ્રકારનું છે.
નું નિરૂપણ સાન્ત છે.
જવાબ : 
= 
અહી, છેદ q(5*7*13) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.
નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.
જવાબ : 
= 29/73
અહી, છેદ q(73) નું સ્વરૂપ 2n5m પ્રકારનું નથી.
નું નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.
જવાબ : 
= 
= 2 / 51
અહી, છેદ q(51) નું સ્વરૂપ 2n5m (જ્યાં, n = 0 અને m = 1) પ્રકારનું છે.
નું નિરૂપણ સાન્ત છે
જવાબ :
= 13/55
= 13*25 / 25 * 55
= 416 / 100000
= 0.00416
જવાબ : 17/8
= 17/23
= 17 * 53 / 23 *53
= 2125 / 1000
= 2.125
જવાબ :
= 3/ 26 * 5
= 3* 55 / 26 * 56
= 9375 / 1000000
જવાબ :
= 
= 
= 
જવાબ : 
= 
= 
જવાબ :
- i) 43.123456789
અહી આપેલ સંખ્યા 43.123456789 નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.આ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોવાથી તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અથવા 5 અથવા બંને હોય. ( પ્રમેય 1.5 મુજબ) - ii) 0.120120012000120000... અહી આપેલ સંખ્યા 0.120120012000120000... નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોવાથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
- iii)43. 123456789
આપેલ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી તેના p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2 અને 5 સિવાયનો ઓછા માં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ છે જ. (પ્રમેય 1.7 નું પ્રતીપ)
જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે-
5005 = 5 * 7 *1 1 * 13
જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે-
7429 = 17 * 19* 23
જવાબ : 
1) 12,15, 21
જવાબ : 
જવાબ : અહીં,આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત કે અંનત નથી.તેથી આપેલી સંખ્યા અસંમેય સંખ્યા હશે.
જવાબ : અહીં,આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.તેથી p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2m x 5n સ્વરૂપમાં હશે.તેમજ તેના અવયવોમાં 2 અને 5 સિવાયના અવિભાજ્ય અવયવો પણ હશે.
જવાબ : અહીં, આપેલ દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે. તેથી p/q સ્વરૂપમાં q ના અવિભાજ્ય અવયવો 2m ´ 5n સ્વરૂપમાં હશે.
જવાબ : 
જવાબ : 
સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે તો તેમનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 
જવાબ : 
જવાબ : 
જવાબ : 
જવાબ : 
જવાબ : 
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અંનત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)જવાબ:
જવાબ : 
જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે-
3825 = 3 * 3* 5 *5 * 17
= 32 * 52 * 17
જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે-
આમ, 140 = ૨ * ૨ * 5 * 7
= 22 * 5 * 7
જવાબ : અવયવ વૃક્ષની રીતે-
આમ, 156 = 2 *2 * 3 *13
= 22 * 3 *13
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : અહીં છેદ 2m5n ના સ્વરૂપમાં છે.
તેથી, 
નું દશાંશ નિરૂપણ અંનત અને આવૃત છે.
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 343 = 7 x 7 x 7 = 73
અહીં છેદ 2m x 5n ના સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી, નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 1600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 26 x 52
અહીં છેદ 2m5n ના સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી, નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 455 = 4 x 7 x 13
અહીં છેદ 2m x 5n ના સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી, નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો. (સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 8 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ = 23
અહીં છેદ 2m ના સ્વરૂપમાં છે.
તેથી, નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.
જવાબ : અહીં, 18 મિનીટ અને 12 મિનીટ નો લ.સા.અ. શોધવો પડે. 18 = 2 ´ 3 ´ 3 12 = 2 ´ 2 ´3 તેથી, લ.સા.અ. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 = 36 36 મિનીટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભ બિંદુ પર ભેગા થશે.
સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે કે અનંત અને આવૃત છે તે જણાવો.(સ્વાધ્યાય 1.4)
જવાબ : 3125 = 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 55
અહીં છેદ 5m ના સ્વરૂપમાં છે.
તેથી, નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત્ત છે.
જવાબ : સંખ્યાઓ બે પ્રકારની હોય છે: વિભાજ્ય અને અવિભાજ્ય. અવિભાજ્ય સંખ્યાને ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા વડે જ ભાગી શકાય છે, જયારે વિભાજ્ય સંખ્યાને 1 અને તે સંખ્યા ઉપરાંતના અવયવો પણ હોય છે. 7 ´ 11 ´ 13 + 13 = 13 ´ (7 ´ 11 + 1) = 13 ´ (77 + 1) = 13 ´ 78 = 13 ´ 13 ´ 6 અહીં આપેલી સંખ્યા વિભાજ્ય સંખ્યા છે. 7 ×6×5×4×3×2×1 + 5 = 5 ´ (7 ×6×5×4×3×2×1 + 1) = 5 ´ (1008 + 1) = 5 ´ 1009 અહીં આપેલ સંખ્યા વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
જવાબ : કોઈ પણ સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય તો તે સંખ્યાને 10 વડે ભાગી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આવી સંખ્યાને 2 અને 5 વડે પણ ભાગી શકાય છે, કારણ કે 10 = 2´5 6n ના અવિભાજ્ય અવયવ = (2 ´ 3)n અહીં 6n ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5 નથી તેથી તેને 5 વડે ભાગી શકાય નહિ. કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6n નો અંતિમ અંક શૂન્ય નહિ થાય.
જવાબ : અહીં, ગુ.સા.અ. (360,657) = 9
આપણે જાણીએ છીએ કે,
ગુ.સા.અ. ´ લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર
∴
લ.સા.અ. = 
= 22338
જવાબ : 8 = 2 ×2×2 9 = 3 ´ 3 25 = 5 ´ 5 તેથી, ગુ.સા.અ. = 1 તેથી, લ.સા.અ. = 2 ×2×2×3×3×5×5 = 1800
જવાબ : 17 = 1 ´ 17 23 = 1 ´ 23 29 = 1 ´ 29 તેથી, ગુ.સા.અ. = 1 તેથી, લ.સા.અ. = 17 ´ 23 ´ 29 = 11339
જવાબ : 12 = 2 ´ 2 ´3 15 = 3 ´ 5 21 = 7 ´ 3 તેથી, ગુ.સા.અ. = 3 તેથી, લ.સા.અ. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5 ´ 7 = 420
જવાબ : 510 = 2 ´ 3 ´ 5 ´ 17 92 = 2 ´ 2 ´ 23 માટે, ગુ.સા.અ. = 2 તેથી, લ.સા.અ. = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5 ´ 17 ´ 23 = 23460 ગુ.સા.અ. ´ લ.સા.અ. = 2 ´ 23460 = 46920 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 510 ´ 92 = 46920 તેથી, ગુ.સા.અ. ´ લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર.
જવાબ : 336 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 7 54 = 2 x 3 x 3 x 3 તેથી, ગુ.સા.અ. = 2 x 3 = 6 તેથી, લ.સા.અ. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x3 x 3 = 3024 ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = 6 x 3024 = 18144 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 336 x 54 = 18144 તેથી,ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર
જવાબ : 7429 = 17 ´ 19 ´ 23
જવાબ : 26 = 2 ´ 13 91 = 7 x 13 માટે, ગુ.સા.અ. = 13 માટે, લ.સા.અ. = 2 x 17 x 13 = 182 ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = 13 x 182 = 2366 બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર = 26 x 91 = 2366 તેથી,ગુ.સા.અ. x લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર.
જવાબ : 5005 = 5 x 7 x 11 x 13
જવાબ : 3825 = 3 ´ 3 ´ 5 ´ 5 ´ 17 = 32 ´ 52 ´ 17
જવાબ : 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 22 x 3 x 13
જવાબ : 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
જવાબ : ધારો કે a કોઈ ઘન પૂર્ણાંક છે તથા b = 3 છે. યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ મુજબ કોઈ પૂર્ણાંક q ≤0 માટે a = 3q + r અને r = 0, 1, 2, કારણ કે 0 ≤r≤3 તેથી a = 3q અથવા 3q + 1 અથવા 3q + 2 a3 = (3q)3 અથવા (3q + 1)2 અથવા (3q + 2)3 = (3q)3 અથવા 27q3 + 27q2 + 9q + 1 અથવા 27q3 + 54q2 + 36q + 8 = 9 x (3q3) અથવા 9 x (3q3 + 3q2 + q) + 1 અથવા 9 x (3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9k1 અથવા 9k2 + 1 અથવા 9k3 + 8 જ્યાં k1, k2, અને k3 ઘન પૂર્ણાંક છે. તેથી કહી શકાય કે, કોઈ પણ ઘન પૂર્ણાંકનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 સ્વરૂપનો હોય છે.
જવાબ : ધારો કે a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે તથા b = 3 છે.
યુકિલડના ભાગ પ્રવિધિ પ્રમાણે કોઈ પૂર્ણાંક q ≥
0 માટે a = 3q + r અને r = 0, 1, 2 કારણ કે 0≤0≤3
તેથી, a = 3q અથવા 3q + 1 અથવા 3q + 2 મળે.
a2 = (3q)2 અથવા (3q + 1)2 અથવા (3q + 2)2
= (3q)2 અથવા 9q2 + 6q + 1 અથવા 9q2 + 12q + 4
= 3 x (3q)2 અથવા 3 x (3q2 + 2q) + 1 અથવા 3 x (3q2 + 4q + 1) + 1
= 3k1 અથવા 3k2 + 1 અથવા 3k3 + 1
જ્યાં, k1, k2, k3, ઘન પૂર્ણાંક છે.
તેથી કહી શકાય કે, કોઈ ધન પુર્નાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય છે.
જવાબ : અહીં મહત્તમ સભ્યોની સંખ્યા મેળવવા માટે ગુ.સા.અ. શોધવો પડે.
અહીં 616 > 32 છે, એથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
616 = 32 x 19 + 8
અહીં, શેષ 8 ≠0
તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
32 = 8 x 4 = 0
અહીં, શેષ 0 છે, તેથી
616 અને 32 નો ગુ.સા.અ. 8 મળશે.
તેથી, ગુ.સા.અ. (616, 32) = 8
કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.
જવાબ : અહીં 225 > 135 છે, એથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
225 = 135 ´ 1 + 90
અહીં શેષ 90 ≠ 
0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
135 = 90 ´ 1 + 45
અહીં શેષ 45 ≠ 0 છે. તેથી ફરી વાર ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
અહીં શેષ 0 છે, તેથી,
135 અને 225 નો ગુ.સા.અ. 45 મળશે.
તેથી ગુ.સા.અ. (135, 225) = 45
જવાબ : અહીં 38220 > 196 છે, તેથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો કરતા, 38220 = 196 ´ 195 + 0 અહીં શેષ 0 છે, તેથી 196 અને 38220 નો ગુ.સા.અ. 196 મળશે. તેથી ગુ.સા.અ.(196, 38220) = 196
જવાબ : અહીં 867 > 255 છે, એથી ગુ.સા.અ. શોધવા માટે ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
867 = 255 × 
3 + 102
અહીં, શેષ 102 ≠ 
0 તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
255 = 102 ´ 2 + 51
અહીં શેષ 51 ≠0 તેથી ફરીથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
102 = 51 ´ 2 + 0
અહીં શેષ = 0 છે, તેથી
867 અને 255 નો ગુ.સા.અ. 51 મળશે.
તેથી ગુ.સા.અ. (867, 255) = 51
જવાબ : ધારો કે a કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 6 છે.
યુકિલડની ભાગ પ્રવિધિ અનુસાર કોઈ પૂર્ણાંક q ≥0
માટે a = 6q + r અને r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, કારણ કે
0 ≤ r ≤ 6
તેથી, a = 6 અથવા a = 6q + 1 અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 3 અથવા a = 6q + 4 અથવા a = 6q + 5 મળે.
6q + 3 = (6q + 2) + 1 = 2 (3q + 1) + 1 = 2k2 + 1, જ્યાં k2 એ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
6q + 5 = (6q + 4) + 1 = 2 (3q + 2) + 1 = 2k3 + 1, જ્યાં k3 એ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
ઉપરોક્ત ગણતરી પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે,
6q + 1, 6q + 3 અને 6q + 5 એ 2k + 1 (જ્યાં k પૂર્ણાંક છે) સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી, 6q + 1, 6q + 3 અને 6q + 5 એ 2 વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય નહિ.
તેથી, 6q + 1, 6q + 3 અને 6q + 5 એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
જવાબ : 12576 > 4052 હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
12576 = 4052 * 3 + 420 મળશે.
શેષ ≠૦ હોવાથી ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
4050 = 420 * 9 + 272 મળશે.
મળેલ ભાજક 420 ને નવા ભાજ્ય તરીકે અને મળેલ શેષ 272 ને નવા ભાજક તરીકે લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
420 = 272 * 1 + 148 મળશે.
નવો ભાજ્ય 272 અને નવો ભાજક 148 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
272 = 148 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 148 અને નવો ભાજક 124 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
148 = 124 * 1 + 124 મળશે.
નવો ભાજ્ય 124 અને નવો ભાજક 24 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
124 = 24 * 5 + 4 મળશે.
નવો ભાજ્ય 24 અને નવો ભાજક 4 લેતા, તેમજ ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
24 = 4 * 6 + 0
જવાબ : ધારોકે a એ કોઈ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તેમજ b = 6 છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય પ્રમાણે, a = 6q + r છે. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે તથા r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 મળશે. જ્યાં, 0≤r ≤6 તેથી, a =6q અથવા a = 6q + 1 અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 3 અથવા a = 6q + 4 અથવા a = 6q + 5 પરંતુ, 6q, 6q + 2, 6q + 4 એ 2 વડે વિભાજ્ય હોવાથી તેમજ a એ યુગ્મ હોવાથી, a =6q અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 4 શક્ય નથી. આમ, કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા, કોઈક પૂર્ણાંક q માટે 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.જવાબ : આ પ્રશ્નને ગાણિતિક પદ્ધતિથી ઉકેલવા માટે 420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધીશું. આ ગુ.સા.અ દરેક થપ્પીમાં રહેલ બરફીની મહત્તમ સંખ્યા થાય અને થપ્પીઓની સંખ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. તેથી,તાસકમાં વપરાયેલ જગ્યા પણ લઘુત્તમ થાય. અહી આપણે 420 અને 130 નો ગુ.સા.અ શોધવા માટે યુક્લિડ પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.
420 = 130 * 3 + 30 130 = 30 * 4 + 10 30 = 10 * 3 + 0 આમ,420 અને 130 નો ગુ.સા.અ 10 થાય. આથી, મીઠાઈવાળા એ તાસકમાં ઓછા માં ઓછી જગ્યા રોકવા માટે દરેક થપ્પીમાં કોઈ પણ પ્રકારની 10 બરફી રાખી શકે.જવાબ : (સુચન: ધારો કે, x કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે તો તે ૩q, ૩q + 1, ૩q + 2 સ્વરૂપમાં હોય. હવે દરેકનો વર્ગ કરો અને દર્શાવો કે ફરીથી તેને 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં લખી શકાય.)
ઉકેલ:
ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
(1) જો a = ૩q હોય તો,
a2 = (3q)2 = 9q2 =3 (9q2) = 3m,
જ્યાં, m = ૩q2 કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,
a2 = (3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 =3 (3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1,
જ્યાં, m= 3q2 + 2q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,
a2 = (3q + 2)2
= 9q2 + 12q + 3 + 1
=3 (3q2 + 4q +1) + 1 = 3m + 1
જ્યાં, m= ૩q2 + 4q + 1 કોઈ પૂર્ણાંક છે.
જવાબ :
ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b = 3
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
(1) જો a = ૩q હોય તો,
a3 = (3q)3 = 27q3 =9(3q2) = 9m,
જ્યાં, m = ૩q3 કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
(૨) જો a = ૩q + 1 હોય તો,
a3 = (3q + 1)3 = 27q૩ + 27q2 +9q + 1
=9(3q3 + ૩q2 + q ) + 1
= 9m + 1
જ્યાં, m= 3q3 + 3q2 + q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
(3) જો a = ૩q + 2 હોય તો,
a3 = (3q + 2)3
= 27q3 + 54q2 + 36q + 8
= 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9m + 8
જ્યાં, m = 3q૩+ 6q2+ 4q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આથી, કોઈ પણ સંજોગોમાં, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકોનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 ના સ્વરૂપના હોય છે.જવાબ : ઉકેલ:
અહી ત્રણેય માપનો ગુ.સા.અ લેતા માગ્યા મુજબના લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ શોધીશું. અહી આપ્યા મુજબ, મી. 50 સેમી= 750 સેમી. 6 મી = 600 સેમી. 3 મીઅને 75 સેમી = 375 સેમી. ભાગ પ્રવિધિના ઉપયોગ દ્વારા ત્રણ સંખ્યાનો ગુ.સા.અ શોધવા માટે કોઈ પણ બે સંખ્યાનો ગુ.સા.અ પહેલા શોધીશું અને તે પછી તે ગુ.સા.અ અમે ત્રીજી સંખ્યાનો ગુ.સા.અ લેતા ત્રણેય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ મળશે. 750 = 600 * 1 + 150 600 = 150 * 4 + 0 આથી ગુ.સા.અ (750,600) = 150 ત્યારબાદ હવે 375 અને 150 નો ગુ.સા.અ શોધીશું. 375 = 150 * 2 + 75 150 = 75 * 2 + 0 ગુ.સા.અ = (375, 150) = 75 માટે, ગુ.સા.અ (750, 600, 375) = 75 જવાબ= ઓરડાના ત્રણેય માપને ચોક્કસ માપી શકાય તેવા લાંબામાં લાંબા સળિયાની લંબાઈ 75 સેમી. છે.જવાબ : ઉકેલ:
ધારોકે a એ કોઈ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તેમજ b = 2 છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વ પ્રમેય પ્રમાણે, a = 2q અથવા a = 2q + 1 જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે. ત્યારબાદ, a તેમજ a2 નો સરવાળો કરતા, = a2 + a =a (a + 1) જો a = 2q હોય તો, a2 + a = a (a + 1) = 2q(2q + 1) જેમાં 2 અવયવ હોવાથી યુગ્મ સંખ્યા છે. જો a = 2q + 1 હોય તો, a2 + a = a (a + 1) = (2q + 1)(2q + 1 + 1) = 2 (2q + 1) ( q + 1) માં 2 અવયવ હોવાથી યુગ્મ સંખ્યા છે. આમ, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક અને તેના વર્ગનો સરવાળો યુગ્મ સંખ્યા જ હોય.જવાબ : ધારો કે, a કોઈ ધન પૂર્ણાંક છે અને b=5 હોય તો, યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય પ્રમાણે, a = 5q અથવા a = 5q + 1, a = 5q + 2 અથવા 5q + 3, અથવા a = 5q + 4 જ્યાં, q કોઈ પૂર્ણાંક છે.
(1) જો a = 5q, તો a2 = (5q)2 = 25q2 = 5(5q2) = 5m જ્યાં, m = 5q2 એ પૂર્ણાંક છે. (2) જો, a = 5q + 1 તો a2 = (5q + 1)2 = 25q2 + 10q + 1 = 5 (5q2 + 2q) + 1 = 5m + 1 જ્યાં, m = 5q2 + 2q એ પૂર્ણાંક છે. (૩) જો a = 5q + 2, તો a2 = (5q + 2)2 = 25q2 + 20q + 4 = 25q2 + 20q + 5 – 1 = 5 (5q2 + 4q + 1) – 1 = 5m – 1 જ્યાં, m = 5q2 + 4q + 1 એ પૂર્ણાંક છે. (4) જો a = 5q + 3, તો a2 = (5q + 3)2 = 25q2 + ૩૦q + 9 = 25q2 + 30q + 10 – 1 = 5 (5q2 + 6q + 2) – 1 = 5m – 1 જ્યાં, m = 5q2 + 6q + 2 એ પૂર્ણાંક છે. (5) જો a = 5q + 4, તો a2 = (5q + 4)2 = 25q2 + 40q + 16 = 25q2 + 40q + 15 + 1 = 5 (5q2 + 8q + 3) + 1 = 5m + 1 જ્યાં, m = 5q2 + 8q + 3 એ પૂર્ણાંક છે. આથી, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ 5m અથવા 5m± 1 સ્વરૂપનો હોય.જવાબ : 7 * 11 * 13 + 13
= 13 (7 * 11 * 1) = 13 (77 + 1) = 13 * 2 *3 *13 (78 ના અવયવ 2*૩*13 હોવાથી.) = 2 * 3 * 132 આથી, 7 * 11 * 13 + 13 ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. માટે 7 * 11 * 13 + 13 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે. 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1 + 5 =5 (7 * 6 * 4 * 3 * 2 * 1 + 1) = 5 (1008 + 1) = 5 * 1009 આમ, 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1 + 5 ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. 7 * 6 * 5 *4 * 3* 2* 1 + 5 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
એ અસંમેય છે.
જવાબ : ધારો કે, એ સંમેય છે.
થાય. (b ≠ ૦)
ધારો કે, a અને b ને 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ છે.
આથી આપણે તેને સામાન્ય અવયવ વડે ભાગી સાકિએ અને વ્યાપકતા ગુમાંવ્યા સિવાય માંની શકીએ કે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આથી b
અને બંને બાજુ વર્ગ કરી પુન:ગોઠવણ કરતાં આપણને ૩b2 =a2 મળે.
માટે a2 એ ૩ વડે વિભાજય છે અને આથી પ્રમેય 1.3 અનુસાર a પણ ૩ વડે વિભાજય છે.
આથી આપણો કોઈ પૂર્ણાંક c માટે a = ૩c લખી શકીએ.
a ની કીમત મુકવાથી ૩b2 =9c2 . આથી આપણને b2 =3c2 મળે.
અર્થાત, b2 ને 3 વડે ભાગી શકાય અને આથી b ને પણ 3 વડે ભાગી શકાય. (P = 3 હોવાથી, પ્રમેય 1.3 નો ઉપયોગ કરતા,
આથી a તેમજ bને ઓછામાં ઓછો એક સામાન્ય અવયવ 3 છે.
માટે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાના વિધાનનો વિરોધાભાસ ઉભો થયો.
આ વિરોધાભાસ ઉદભવવાનું કારણ ‘ એ સંમેય છે.’
આથી કરેલ ધારણા અસત્ય છે.
માટે આપણે કહી શકીએ કે, એ અસંમેય છે.
એ અસંમેય છે.
જવાબ : ધારો કે, 5 - એ સંમેય છે.
= થાય.
આથી, 5 - 
ઉપરના સમીકરણની પુન:ગોઠવણી કરતા
મળે. a અને b પુર્નાકો હોવાથી
5 - સંમેય મળે અને તેથી, પણ સંમેય થાય.
આથી અસંમેય છે તે હકીકતનો વિરોધાભાસ ઉત્પન્ન થાય.
આ વિરોધાભાસ ઉત્પન્ન થવાને કારણે આપણે 5- 
સંમેય છે એવી ધારણા અસત્ય બને છે.
એ અસંમેય છે.
જવાબ : ધારો કે, ૩ 
એ સંમેય છે.
= થાય.
ઉપરના સમીકરણની પુન:ગોઠવણી કરતા,
= 
મળે.
3, a અને b પુર્નાકો હોવાથી સંમેય છે. અને તેણે કારણે પણ સંમેય છે. પરંતુ અસંમેય છે આથી વિરોધાભાસ ઉભો થાય છે.
માટે આપણે કહી શકીએ કે ૩ એ અસંમેય છે.
અસંમેય છે.
જવાબ : ધારો કે,
એ સંમેય છે.
= થાય.
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા,
5= a2/ b2
માટે a2 = 5b2
આમ, 5 એ a2 નો અવયવ છે.
પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 5 એ a નો પણ અવયવ છે.
ધારોકે a = 5C, જ્યાં c કોઈ પૂર્ણાંક છે.
∴ 
a2 = 25c2
∴ 25c2 = 5b2
∴
b2 = 5c2
આમ 5 એ b2 નો અવયવ છે.
પરંતુ 5 એ અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.૩ મુજબ 5 એ b નો પણ અવયવ છે.
આમ, a અને b નો સામાન્ય અવયવ 5 છે.
પરંતુ આ વિધાન એ a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
માટે આપણે કરેલ ધારણા ‘ એ સંમેય છે.’ તે ખોટી છે.
એ અસંમેય છે
There are No Content Availble For this Chapter
Take a Test
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
std 10 maths gujarati medium, std 10 maths book pdf gujarati medium
Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects
- વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અર્થશાસ્ત્ર Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- રસાયણવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સામાજિક વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૂગોળ Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૌતિકવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગણિત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગુજરાતી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અંગ્રેજી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સંસ્કૃત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- હિન્દી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.
The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.
For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.
