GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::
જવાબ : ધારો કે જોહ્ન પાસે x લખોટીઓ છે. આથી, જીવંતી પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x જોહ્ન પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = x – 5 જીવંતી પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x – 5 = 40 – x આથી, તેમનો ગુણાકાર = (x - 5)(40 - x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= -x2 + 45x – 200 આથી, -x2 + 45x + 200 = 124 (ગુણાકાર 124 આપેલ છે) -x2 + 45x - 324 = 0 x2 - 45x + 324 = 0 આથી, જોહ્ન પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા, દ્વિઘાત સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0 નું સમાધાન કરે છે. માંગેલ પ્રશ્નની આ ગાણિતિક રજૂઆત છે.
જવાબ : ધારો કે નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા x છે. આથી, તે નિશ્ચિત દિવસે પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) = 55 – x આથી, તે દિવસનો રમકડાં બનાવવાનો કુલ ખર્ચ = x (55 – x) આથી, X (55 - x) = 750 55x – x2 = 750 X2 + 55x - 750 = 0 X2 - 55x + 750 = 0 આથી, નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા દ્વિઘાત સમીકરણ X2 - 55x + 750 = 0 નું સમાધાન કરે છે. આ આપેલ પ્રશ્નની ગાણિતિક રજૂઆત છે.
જવાબ :
ડા.બા = (x - 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1
= x2 – 4x + 5 આથી, (x - 2)2 + 1 = 2x – 3 ને x2 – 4x + 5 = 2x – 3 તરીકે લખી શકાય. x2 – 6x + 8 = 0 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : x(x + 1) + 8 = x2 + x + 8 અને (x + 2)(x - 2) = x2 – 4 છે.
આથી,
x2 + x + 8 = x2 – 4
x + 12 = 0 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ નથી. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : અહીં, ડા.બા = x(2x + 3) = 2x2 + 3x આથી, x(2x + 3) = x2 + 1ને 2x2 + 3x = x2 + 1 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય. આથી, x2 + 3x – 1 = 0. a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : અહીં, ડા.બા = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 આથી, (x + 2)3 = x3 – 4 ને x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – 4 સ્વરૂપે પુનઃ લખી શકાય. 6x2 + 12x + 12 = 0 અથવા x2 + 2x + 2 = 0 a ≠ 0 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું સમીકરણ છે. આથી, આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : જો ખંડની પહોળાઈ x મી હોય તો x એ સમીકરણ 2x2 + x – 300 = 0 નું સમાધાન કરે. અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતાં, આપણે, સમીકરણને 2x2 – 24x + 25x – 300 = 0 એમ લખી શકીએ. 2x (x - 12) + 25 (x - 12) = 0 (x – 12) (2x + 25) = 0 x – 12 = 0 અથવા 2x + 25 = 0 x = 12 અથવા x = -12.5 આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ x = 12 અથવા x = -12.5 છે. પરંતુ એ ખંડની પહોળાઈ હોવાથી તે ઋણ ન હોઈ શકે, આથી, ખંડની પહોળાઈ 12મી અને તેની લંબાઈ 2x + 1 = 25મી.
જવાબ : આપણે નોંધીએ કે 4x2 + 3x + 5 = 0 અને (2x)2 + 2 x 
+ ()2 – ()2 + 5 = 0 સમાન છે.
(2x + )2 - 
+ 5 = 0
(2x + )2 + 
= 0
(2x + )2 = - < 0
પરંતુ xના કોઈ પણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે (2x + )2 ઋણ હોઈ ના શકે.
આથી, કોઈ જ વાસ્તવિક સંખ્યા x આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરશે નહિ.
આથી, આપેલ સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તે શક્ય નથી.
જવાબ : 3x2 – 5x + 2 = 0
અહીં, a = 3, b = -5, c = 2
આથી, b2- 4ac = 25 – 24 = 1 > 0
x = 
= 
અથાર્ત્, x = 1 અથવા 
આમ, બીજ 
અને 1 છે.
જવાબ : x2 + 4x + 5 = 0 અહીં, a = 1, b = 4, c = 5 આથી, b2- 4ac = 16 – 20 = -4 < 0 કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ના હોઈ શકે. આથી, b2 – 4ac નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક ન મળે. આથી, આપેલ સમીકરણને એક પણ વાસ્તવિક બીજ ના મળે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) 2x2 – x – 6x + 3 = x2 + 5x – x - 5 2x2 – x – 6x + 3 - x2 - 5x + x + 5 = 0 x2 – 11x + 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) x2 – 2x + x – 2 = x2 – x + 3x – 3 x2 – 2x + x – 2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 -3x + 1 = 0 3x – 1 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, x2 – 2x = (-2)(3 - x) x2 – 2x = -6 + 2x x2 – 2x + 6 – 2x = 0 x2 – 4x + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 – 2x = (-2)(3 - x) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x + 1)2 = 2(x - 3) x2 + 2x + 1 = 2x – 6 x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 x2 + x + 7 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x + 1)2 = 2(x - 3)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x x2 + x – 6x – 3 - 5x = 0 x2 – 10x – 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
= 0 નો વિવેચક શોધો. તે પરથી સમીકરણનાં બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો. જો તે વાસ્તવિક હોય તો મેળવો.
જવાબ : અહીં,
a = 3, b = -2, c =
આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-2)2 – (4 X 3 X ) = 4 – 4 = 0
આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બંને બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
બીજ 
, અથાર્ત્ 
, 
અથાર્ત્ , છે.
- 
= 3, x ≠ 0,2 સમીકરણનાં બીજ શોધો.
જવાબ : x ≠ 0,2 હોવાથી, સમીકરણને x(x - 2) વડે ગુણતાં,
(x – 2) – x = 3x (x – 2) = 3x2 – 6x
આથી, આપેલ સમીકરણ પરિવર્તિત થઇ 3x2 – 6x + 2 = 0 બને.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
અહીં, a = 3 , b = -6, c = 2
આથી, b2- 4ac = 36 – 24 = 12 > 0
x = 
= 
= 
આમ, બીજ 
અને 
છે.
જવાબ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ a = 2, b = -4, c = 3 માટે ax2 + bx + c = 0 પ્રકારનું છે. આથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-4)2 – (4 X 2 X 3) = 16 – 24 = -8 < 0 આથી, આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ શક્ય નથી.
= 3, x ≠ 0 સમીકરણનાં બીજ શોધો.
જવાબ : સમીકરણ x + = 3 ને x વડે ગુણતાં,
x2 + 1 = 3x
અથાર્ત્ x2 - 3x + 1 = 0
આ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
અહીં, a = 1 , b = -3, c = 1
આથી, b2- 4ac = 9 – 4 = 5 > 0
x = 
આમ, બીજ 
અને 
છે.
જવાબ : 
જવાબ :
આપેલ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતાં, x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4 x2 + 3x + 1 - x2 + 4x – 4 = 0 7x – 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : ધારો કે આંબાવાડીની પહોળાઈ x મી છે.
તેથી, આંબાવાડીની લંબાઈ 2x મી થાય.
આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ 800 મી2 છે.
તેથી,
ક્ષેત્રફળ = x X 2x
800 = x X 2x
2x2 = 800
x2 = 
x2 = ±20
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે.
x = 20
તેથી, આંબાવાડીની પહોળાઈ 20મી અને આંબાવાડીની લંબાઈ 2x = 2 X 20 = 40 મી થાય.
જવાબ : kx(x - 2) + 6 = 0 kx2 – 2kx + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = k, b = -2k અને c = 6 મળે. અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 – 4ac = 0 (-2k)2 – 4 X k X 6 = 0 4k2 – 24k = 0 4k (k - 6) = 0 4k = 0 અથવા k – 6 = 0 k = 0 અથવા k = 6 k = 0 કિમત સમીકરણ kx(x - 2) + 6 = 0 ને સંતોષાતી નથી.
જવાબ : 2x2 + kx + 3 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
a = 2, b = k અને c = 3 મળે.
અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી,
b2 – 4ac = 0
k2 – 4 X 2 X 3 = 0
k2 - 24 = 0
k2 = 24
k = 
- 2x2 – 3x + 5 = 0 આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનાં સ્વરૂપ શોધો. જો તેમને વાસ્તવિક બીજ હોય તો તે શોધો.
જવાબ : 2x2 – 3x + 5 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = -3 અને c = 5 મળે. તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-3)2 – 4 X 2 X 5 = 9 – 40 = -31 અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = -31 < 0 જે ઋણ છે. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.
જવાબ : x2 - 55x + 750 = 0 x2 – 30x – 25x + 750 = 0 x(x - 30) - 25(x - 30) = 0 (x - 30) (x - 25) = 0 x - 30 = 0 અથવા x - 25 = 0 x = 30 અથવા x = 25 તેથી, સમીકરણ x2 - 55x + 750 = 0ના બીજ 30 અથવા 25 છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, x2 - 45x + 324 = 0 x2 – 36x – 9x + 324 = 0 x(x - 36) - 9(x - 36) = 0 (x - 36) (x - 9) = 0 x - 36 = 0 અથવા x - 9 = 0 x = 36 અથવા x = 9 તેથી, સમીકરણ x2 - 45x + 324 = 0ના બીજ 36 અથવા 9 છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
100x2 - 20x + 1 = 0
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0
(10x - 1) (10x - 1) = 0
10x - 1 = 0 અથવા 10x - 1 = 0
x = 
અથવા x =
તેથી, સમીકરણ 100x2 - 20x + 1 = 0ના બીજ અથવા છે.
= 0 આ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો.
આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
જવાબ : 2x2 - x + = 0
16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x - 1) + 1(4x - 1) = 0
(4x - 1) (4x - 1) = 0
4x - 1 = 0 અથવા 4x - 1 = 0
x = 
અથવા x =
તેથી, સમીકરણ 2x2 - x + = 0ના બીજ અથવા છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
2x2 + x – 6 = 0
2x2 – 4x + 3x – 6 = 0
2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0
(x - 2) (2x + 3) = 0
x - 2 = 0 અથવા 2x + 3 = 0
x = 2 અથવા x = - 
તેથી, સમીકરણ 2x2 + x – 6 = 0ના બીજ 2 અથવા - છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, x2 – 3x – 10 = 0 x2 – 5x + 2x – 10 = 0 x(x - 5) + 2(x - 5) = 0 (x - 5) (x + 2) = 0 x - 5 = 0 અથવા x + 2 = 0 x = 5 અથવા x = -2 તેથી, સમીકરણ x2 – 3x – 10 = 0ના બીજ 5 અથવા -2 છે.
જવાબ : x3 – 4x2 – x + 1 = (x - 2)3 x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6x2 + 12x - 8 x3 – 4x2 – x + 1 - x3 + 6x2 - 12x + 8 = 0 2x2 – 13x + 9 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x x3 + 6x2 + 12x + 8 - 2x3 + 2x = 0 -x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 x3 - 6x2 - 12x - 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : ધારોકે રોહનની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે તેથી, રોહનની માતાની હાલની ઉંમર x + 26 વર્ષ થાય. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે. 3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર x + 3 વર્ષ થાય. 3 વર્ષ પછી રોહનની માતાની ઉંમર x + 26 + 3 = x + 29 વર્ષ થાય. ∴ (x + 3)(x + 29) = 360 ∴ x2 + 3x + 29x + 87 = 360 ∴ x2 + 32x + 87 - 360 = 0 ∴ x2 + 32x - 273 = 0 તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 32x - 273 = 0 છે.
જવાબ : ધારોકે પ્રથમ ઘન પૂર્ણાંક x છે. તેથી, બીજો ઘન પૂર્ણાંક x + 1 થાય. બે ક્રમિક ઘન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે. ∴ x(x + 1) = 306 ∴ x2 + x = 306 ∴ x2 + x - 306 = 0 તેથી, માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + x - 306 = 0 છે.
જવાબ : ધારોકે લંબચોરસની લંબાઈ x મીટર છે. તેથી, અને લંબચોરસની પહોળાઈ 2x + 1 મીટર થાય. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x(2x + 1)થશે. લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે. ∴ x(2x + 1) = 528 ∴ 2x2 + x = 528 ∴ 2x2 + x - 528 = 0 તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 + x - 528 = 0 છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં, ∴ x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3 ∴ x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 6x2 + 12x - 8 ∴ x3 - 4x2 - x + 1 - x3 + 6x2 - 12x + 8 = 0 ∴ 2x2 - 13x + 9 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3 એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,
∴
(x - 2)3 = 2x(x2 - 1)
∴ x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 - 2x
∴ x3 + 6x2 + 12x + 8 - 2x3 + 2x = 0
∴ -x3 + 6x2 + 14x + 8 = ૦
∴ x3 - 6x2 - 14x - 8 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ (x - 2)3 = 2x(x2 - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં, ∴ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 ∴ x2 + 3x + 1 = x2 - 4x + 4 ∴ x2 + 3x + 1 - x2 + 4x - 4 = 0 ∴ 7x - 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 એ દ્વીઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં, ∴ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) ∴ 2x2 - x - 6x + 3 = x2 + 5x - x - 5 ∴ 2x2 - x - 6x + 3 - x2 - 5x + x + 5 = 0 ∴ x2 - 11x + 8 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં, ∴ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) ∴ 2x2 + x - 6x - 3 = x2 + 5x ∴ x2 + x - 6x - 3 - 5x = 0 ∴ x2 - 10x - 3 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં,
∴ (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)
∴ x2 - 2x + x - 2 = x2 - x + 3x - 3
∴ x2 - 2x + x - 2 - x2 + x - 3x + 3 = 0
∴ -3x + 1 = 0
∴
3x - 1 = 0
આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
આપેલ સમીકરણ(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતાં, ∴ x2 - 2x = (-2)(3 - x) ∴ x2 - 2x = -6 + 2x ∴ x2 - 2x + 6 - 2x = 0 ∴ x2 - 4x + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ x2 - 2x = (-2)(3 - x) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતાં, ∴ (x + 1)2 = 2(x - 3) ∴ x2 + 2x + 1 = 2x - 6 ∴ x2 + 2x + 1 - 2x + 6 = 0 ∴ x2 + 0x + 7 = 0 આપેલ સમીકરણને ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, આપેલ સમીકરણ (x + 1)2 = 2(x - 3) એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
જવાબ : ધારો કે બગીચાની લંબાઈ x મીટર છે.
બગીચાની પરિમિતિ 80 મીટર છે.
હવે, લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ + પહોળાઈ)
∴ 
80 = 2(x + પહોળાઈ)
∴ 40 = x + પહોળાઈ
∴ પહોળાઈ = 40 - x
લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 400 મી2 છે.
ક્ષેત્રફળ = x(40 - x)
∴ 400 = 40x - x2
∴ 40x - x2 - 400 = 0
∴ x2 - 40x + 400 = 0
∴ x2 - 20x - 20x + 400 = 0
∴ x(x - 20) - 20(x - 20) = 0
∴ (x - 20)(x - 20) = 0
∴ x - 20 = 0 અથવા x - 20 = 0
∴ x = 20 અથવા x = 20
તેથી, બગીચાની લંબાઈ 20 મીટર અને બગીચાની પહોળાઈ = 40 - x = 40 - 20 = 20 મીટર થાય.
જવાબ : ધારો કે એક મિત્રની ઉંમર x વર્ષ છે. બે મિત્રોની ઉંમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. તેથી, બીજા મિત્રની ઉંમર 20 - x વર્ષ થાય. 4 વર્ષ પહેલાં, પ્રથમ મિત્રની ઉંમર x - 4 વર્ષ થાય. બીજા મિત્રની ઉંમર 20 - x - 4 = 16 - x વર્ષ થાય. 4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 48 હતો. ∴ (x - 4)(16 - x) = 48 ∴ 16x - x2 - 64 + 4x - 48 = 0 ∴ - x2 + 20x - 112 = 0 ∴ x2 - 20x + 112 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 1, b = - 20 અને c = 112 મળે. તેથી, વિવેચક b2 - 4ac = (-20)2 – 4 ´ 1 ´ 112 = 400 - 448 = - 48 અહીં, વિવેચક b2 - 4ac = - 48 < 0 જે ઋણ છે. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી. તેથી, આ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.
જવાબ : ધારો કે આંબાવાડી ની પહોળાઈ x મી છે.
તેથી, આંબાવાડીની લંબાઈ 2x મી થાય.
આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ 800 મી2 છે.
તેથી,
ક્ષેત્રફળ = x×2x
∴ 800 = x´2x
∴ 2x2 = 800
∴ x2 = 
∴ x2 = 400
∴ x = ±20
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે.
∴ x = 20
તેથી, આંબાવાડી ની પહોળાઈ 20 મી અને આંબાવાડીની લંબાઈ 2x = 2´20 = 40 મી થાય.
જવાબ : ∴ kx(x - 2) + 6 = 0 ∴ kx2 - 2kx + 6 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = k, b = -2k અને c = 6 મળે. અહીં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 - 4ac = 0 ∴ ( - 2k)2 – 4 ´ k ´ 6 = 0 ∴ 4k2 - 24k = 0 ∴ 4k(k - 6) = 0 ∴ 4k = 0 અથવા k - 6 = 0 ∴ k = 0 અથવા k = 6 k = 0 કિંમત સમીકરણ kx(x - 2) + 6 = 0 ને સંતોષતી નથી. ∴ k = 6
જવાબ : ∴ 2x2 + kx + 3 = 0 આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = k અને c = 3 મળે. અહીં, દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન છે તેથી, b2 - 4ac = 0 ∴ k2 - 4´2´3 = 0 ∴ k2 - 24 = 0 ∴ k2 = 24 ∴ k = ±24
જવાબ : દ્વિઘાત સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 માટે
- જો b2 - 4ac > 0 હોય તો, સમીકરણ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
- જો b2 - 4ac = 0 હોય તો, સમીકરણ ને બે સમાન બીજ મળે.
- જો b2 - 4ac < 0 હોય તો, સમીકરણ ને વાસ્તવિક બીજ ન મળે.
∴ 2x2 - 3x + 5 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = -3 અને c = 5 મળે, તેથી, વિવેચક b2 - 4ac = (-3)2 – 4 ´ 2 ´ 5 = 9 - 40 = -31 તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.
જવાબ : ધારોકે ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા x છે.તેથી પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 થશે.
ઉત્પાદન ખર્ચ 90 છે.
∴ x(2x + 3) = 90
∴ 2x2 + 3x - 90 = 0
∴ 2x2 + 15x - 12x - 90 = 0
∴ x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0
∴ (2x + 15)(x - 6) = 0
∴ 2x + 15 = 0 અથવા x - 6 = 0
∴ x = - 
અથવા x = 6
વસ્તુની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા 6 છે અને
પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 = 2 ´ 6 + 3 = 15 થશે.
જવાબ : ધારોકે ત્રિકોણનો પાયો x છે.તેથી ત્રિકોણનો વેધ x - 7 થશે. પાયથાગોરસ ના પ્રમેય અનુસાર, ∴ (પાયા)2 + (વેધ)2 = (કર્ણ)2 ∴ x2 + (x - 7)2 = 132 ∴ x2 + x2 - 14x + 49 = 169 ∴ 2x2 - 14x + 49 - 169 = 0 ∴ 2x2 - 14x - 120 = 0 ∴ x2 - 7x - 60 = 0 ∴ x2 - 12x + 5x - 60 = 0 ∴ x(x - 12) + 5(x - 12) = 0 ∴ (x - 12)(x + 5) = 0 ∴ x - 12 = 0 અથવા x + 5 = 0 ∴ x = 12 અથવા x = -5 ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, ત્રિકોણનો પાયો x = 12 અને ત્રિકોણનો વેધ x - 7 = 12 - 7 = 5 થશે.
જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સંખ્યા x છે.તેથી બીજી સંખ્યા x + 1 થશે. બે ક્રમીક ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય છે. ∴ x2 + (x + 1)2 = 365 ∴ x2 + x2 + 2x + 1 - 365 = 0 ∴ 2x2 + 2x - 364 = 0 ∴ x2 + x - 182 = 0 ∴ x2 - 13x + 14x - 182 = 0 ∴ x(x - 13) + 14(x - 13) ∴ (x - 13)(x + 14) = 0 ∴ x - 13 = 0 અથવા x + 14 = 0 ∴ x = 13 અથવા x = - 14 અહીં આપણને ઘન પૂર્ણાંકો જોઈએ છે. તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.
જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સંખ્યા x છે. બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 27 છે. તેથી બીજી સંખ્યા 27 - x થશે. બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 182 છે. ∴ x(27 - x) = 182 ∴ 27x - x2 - 182 = 0 ∴ - x2 + 27x - 182 = 0 ∴ x2 - 27x + 182 = 0 ∴ x2 - 13x - 14x + 182 = 0 ∴ x(x - 13) - 14(x - 13) = 0 ∴ (x - 13)(x - 14) = 0 ∴ x - 13 = 0 અથવા x - 14 = 0 ∴ x = 13 અથવા x = 14 તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, ∴ x2 - 55x + 750 = 0 ∴ x2 - 30x - 25x + 750 = 0 ∴ x(x - 30) - 25(x - 30) ∴ (x - 30)(x - 25) = 0 ∴ x - 30 = 0 અથવા x - 25 = 0 ∴ x = 30 અથવા x = 25 તેથી, તે દિવસે ઉત્પાદન થયેલા રમકડાંની સંખ્યા 30 અથવા 25 છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં, ∴ x2 = 45x + 324 = 0 ∴ x2 - 36x - 9x + 324 = 0 ∴ x(x - 36) - 9(x - 36) = 0 ∴ (x - 36)(x - 9) = 0 ∴ x - 36 = 0 અથવા x - 9 = 0 ∴ x = 36 અથવા x = 9 તેથી, જ્હોન પાસે 36 લખોટીઓ અને જીવંતી પાસે 9 લખોટીઓ છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
∴ 100x2 - 20x + 1 = 0
∴ 100x2 - 10x - 10x + 1 = 0
∴ 10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0
∴ (10x - 1)(10x - 1) = 0
∴ 10x - 1 = 0 અથવા 10x - 1 = 0
∴ x = 
અથવા ∴ x =
તેથી, સમીકરણ 100x2 - 20x + 1 = 0 ના બીજ અથવા છે.
= 0 સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો. (સ્વાધ્યાય 4.2)
જવાબ : ∴ 2x2 - x + = 0
∴ 16x2 - 8x + 1 = 0
∴ 16x2 - 4x - 4x + 1 = 0
∴ 4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0
∴ (4x - 1)(4x - 1) = 0
∴ 4x - 1 = 0 અથવા 4x - 1 = 0
∴ x = 
અથવા x =
તેથી, સમીકરણ 2x2 - x + = 0 ના બીજ અથવા છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
∴ 2x2 + x-6 = 0
∴ 2x2-4x + 3x-6 = 0
∴ 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0
∴ (x - 2)(2x + 3) = 0
∴ x - 2 = 0 અથવા 2x + 3 = 0
∴ x = 2 અથવા x = - 
તેથી, સમીકરણ 2x2 + x - 6 = 0 ના બીજ 2 અથવા - છે.
જવાબ : આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડતાં,
∴ x2 - 3x - 10 = 0
∴ x2 - 5x + 2x - 10 = 0
∴ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
∴ (x - 5)(x + 2) = 0
∴ x - 5 = 0 અથવા x + 2 = 0
∴ x = 5 અથવા x = - 2
તેથી, સમીકરણ x2 - 3x - 10 = 0 ના બીજ 5 અથવા -2 છે.
જવાબ : આપણે સૌપ્રથમ મધ્યમ પદ -5x ના બે ભાગ -2x અને -3x કરીએ
[કેમ કે (-2x) X (-3x) = 6x2 = (2x2) X 3] આથી, 2x2 – 5x + 3 = 2x2 – 2x -3x + 3 = 2x (x - 1) -3(x - 1) = (2x – 3)(x - 1) હવે, 2x2 – 5x + 3 = 0 ને (2x – 3)(x - 1) લખી શકાય. આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 તથા (2x – 3)(x - 1) = ૦ માટેના xનાં મુલ્યો સમાન હશે. અથાર્ત્ 2x – 3= ૦ અથવા x - 1 = ૦ હવે, 2x – 3= ૦ પરથી x =
અને x - 1 = ૦ પરથી x = 1 મળશે.
આથી, x = અને x = 1 આપેલ સમીકરણના ઉકેલ હશે.
બીજા શબ્દોમાં અને 1 સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 ના બીજ છે.
જવાબ : અહીં, 6x2 – x – 2 = 6x2 + ૩x – 4x – 2
= 3x ( 2x + 1) – 2 (2x + 1)
= (3x - 2)(2x + 1)
6x2 – x – 2 = 0 નાં બીજ એ (3x - 2)(2x + 1) = 0 દ્વારા મળતાં xનાં મૂલ્યો છે. આથી, 3x – 2 = 0 અથવા 2x + 1 = 0 અથાર્ત્, x = અને x = -
આથી, 6x2 – x – 2 = 0 નાં બીજ અને - છે. 2
x – 2 = 0 નાં બીજ શોધો.
જવાબ : 3x2 – 2x – 2 = 3x2 –x - x + 2
= 
x(x – 
) – (x – )
= (x – ) (x – )
x – ) (x –) = 0 થાય તેવા xનાં મૂલ્યો છે.
આમ, (x – ) = 0 પરથી x = 
આથી, આ બીજ બે વખત પુનરાવર્તિત અવયવ x – ને સંગત મળે છે.
આમ, 3x2 – x – 2 = 0નાં બીજ , છે.
જવાબ : સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0 અને x2 – 
x + = 0 સમાન છે.
x + = (x – 
)2 – ()2 + 32 = (x – )2 – 
આથી, 2x2 – 5x + 3 = 0 ને(x – )2 – = 0 તરીકે પણ લખી શકાય.
આથી સમીકરણ 2x2 – 5x + 3 = 0નાં બીજ અને (x – )2 – = 0 નાં બીજ સમાન જ છે.
હવે, (x – )2 – = 0 અને (x – )2 = સમાન છે.
x – =± 
x = ±
x = + અથવા x = -
x = 
અથવા x = 1 છે.
જવાબ : સમીકરણની બંને બાજુ 5 વડે ગુણતાં,
25x2 – 30x - 10 = 0 મળે. આથી, (5x)2 – 2 X (5x) X (3) + 32 – 32 – 10 = 0 (5x - 3)2 – 9 – 10 = 0 (5x - 3)2 – 19 = 0 5x – 3 = ±
5x = 3 ±
આમ, x = 
આથી બીજ 
અને 
છે.
જવાબ : ધારો કે જમીનની પહોળાઈ x મીટર છે. આથી, લંબાઈ (2x + 1) મીટર થાય.
આપણને આપેલ છે કે,x(2x + 1) = 528 અથાર્ત્ 2x2 + x – 528 = 0 a = 2, b = 1, c = -528 માટે, આ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે. આથી દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ, x =
= 
= 
x = 
અથવા x = -
x =16 અથવા x = - 
પરંતુ x ઋણ ના હોઈ શકે, કેમ કે તે એક પરિમાણ છે. આથી, ખંડની પહોળાઈ 16 મીટર અને આથી લંબાઈ 33 મીટર થાય.
જવાબ : સૌપ્રથમ રેખાકૃતિ બનાવતા.
ધારો કે P થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે. ધારો કે થાંભલાથી ફાટક Bનું અંતર xમી,
અથાર્ત્ BP = xમી.
હવે, થાંભલાથી બંને ફાટકના અંતરનો તફાવત = AP – BP = 7મી
આથી, AP = (x + 7) મી
હવે, AB વ્યાસ હોવાથી, AB = 13મી
∠ APB = 90°
હવે, AP2 + PB2 = AB2
(x + 7)2 + x2 = 132
x2 + 14x + 49 + x2 = 169
2x2 + 14x -120 = 0
આથી, થાંભલાનું ફાટક Bથી અંતર x એ સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0 નું સમાધાન કરે છે.
આથી હો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક હોય તો, થાંભલાનું સ્થાન નક્કી કરવું શક્ય બને.
આ શક્ય છે કે કેમ, તે જોવા વિવેચકનો વિચાર કરીએ.
વિવેચક b2 – 4ac = 72 – 4 X 1 X (-60) = 289 > 0
આથી આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બે બીજ વાસ્તવિક બીજ છે અને આથી બગીચાની સીમા પર થાંભલો લગાવવાનું શક્ય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 7x – 60 = 0ને દ્વિઘાત સૂત્રથી ઉકેલતાં,
x = 
= 
પરંતુ, થાંભલા અને ફાટક B વચ્ચેનું અંતર હોવાથી, તે ધન જ હોવું જોઈએ.
આથી, x = -12 ને અવગણવું જોઈએ, આથી x = 5
આથી, સીમા પર થાંભલો એ રીતે લગાવવો જોઈએ કે જેથી તેનું ફાટક B થી અંતર 5 મી અને ફાટક A થી અંતર 12મી હોય.
જવાબ : ધારો કે, પ્રવાહની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.
આથી, પ્રવાહની સામી બાજુ જતાં મોટરબોટની ઝડપ = (18 – x) કિમી/કલાક અને પ્રવાહની સામી બાજુ જવા લાગતો સમય =
= 
કલાક
આ જ પ્રમાણે પ્રવાહની દિશામાં જવા લાગતો સમય = કલાક
પ્રશ્નની માહિતી પરથી
- 
= 1
24(18 + x) – 24 (18 - x) = (18 - x)(18 + x)
x2 + 18x – 324 = 0 482
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x =
= 
= 
= 6 અથવા -54
પરંતુ, x એ પ્રવાહની ઝડપ હોવાથી ઋણ હોઈ શકે નહિ. આથી બીજ x = -54 ને અવગણતાં, x = 6 મળે.
આથી, પ્રવાહની ઝડપ કિમી/કલાક છે.
જવાબ : ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ x મી છે.
આથી, તેની લંબાઈ = (x + 3)મી આથી, લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ = x(x + 3) મી2 = (x2 + 3x) મી2 હવે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો = x મી આથી તેનું ક્ષેત્રફળ = X x X 12 = 6x મી2
આપણી જરૂરીયાત મુજબ,
x2 + 3x = 6x + 4
x2 - 3x - 4 = 0
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
x =
=
= 4 અથવા -1
પરંતુ x ≠ -1
આથી, x = 4
આમ, બગીચાની પહોળાઈ = 4મી અને લંબાઈ 7મી થશે.
જવાબ : ધારો કે બે ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પૈકી નાની સંખ્યા x છે. આથી બીજી સંખ્યા x + 2 થાય.
આપેલ પ્રશ્ન મુજબ, x2 + (x + 2)2 = 290 x2 + x2 + 4x + 4 = 290 2x2 + 4x - 286 = 0 x2 + 2x - 143 = 0 આ xમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં, x =
= 
= 
x = 11 અથવા x = -13
પરંતુ x ધન અયુગ્મ સંખ્યા આપેલ છે.
x ≠ -13. આથી x = 11
આથી, માંગેલ બે ક્રમિક યુગ્મ પૂર્ણાકો 11 અને 13 છે.
જવાબ :
ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ x મીટર છે.
અને લંબચોરસની પહોળાઈ 2x + 1 મીટર થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x(2x + 1) થશે.
લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી2 છે.
x(2x + 1) = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 2x2 + x – 528 = 0 છે.
જવાબ :
ધારો કે પ્રથમ ધન પૂર્ણાંક x છે.
તેથી બીજો ધન પૂર્ણાંક x + 1 છે.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.
x(x + 1) = 306
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + x – 306 = 0 છે.
જવાબ :
ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
તેથી, રોહનની માતાની હાલની ઉંમર x + 26 વર્ષ થાય.
આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે.
3 વર્ષ પછી રોહનની ઉંમર x + 3 વર્ષ થાય.
3 વર્ષ પછી રોહનની માતાની ઉમર x + 26 + 3 = x + 29 વર્ષ થાય.
(x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 3x + 29x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x - 273 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 + 32x - 273 = 0 છે.
જવાબ :
ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.
તેથી, લાગતો સમય 480 
થાય.
જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું અંતર કાપવા 3 કલાક વધુ લે છે.
તેથી, લાગતો સમય 
- =3
= 3
480x – 480x + 3640 = 3x(x - 8)
480x – 480x + 3640 = 3x2 – 24x
3640 – 3x2 + 24x = 0
3x2 - 24x – 3640 = 0
તેથી, માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ 3x2 - 24x – 3640 = 0 છે.
જવાબ :
ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 27 છે.
તેથી બીજી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 182 છે.
x(27 - x) = 182
27x - x2 - 182 = 0
-x2 + 27x – 182 = 0 x2 - 27x + 182 = 0 x2 -13x - 14x + 182 = 0x(x - 13) - 14(x - 13) = 0
(x - 13) (x - 14) = 0
x - 13 = 0 અથવા x - 14 = 0
x = 13 અથવા x = 14
તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.
જવાબ : ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા x છે. તેથી બીજી સંખ્યા x + 1 થશે.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય છે. x2 + (x + 1)2 = 365 x2 + x2 + 2x + 1 – 365 = 0 2x2 + 2x - 364 = 0 x2 -13x + 14x - 182 = 0 x(x - 13) + 14(x - 13) = 0 (x - 13) (x + 14) = 0 x - 13 = 0 અથવા x + 14 = 0 x = 13 અથવા x = -14 અહીં આપણને ધન પૂર્ણાંકો જોઈએ છે. તેથી, પ્રથમ સંખ્યા 13 છે અને બીજી સંખ્યા 14 થશે.જવાબ : ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો x છે. તેથી ત્રિકોણનો વેધ x – 7 થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર (પાયા)2 + (વેધ)2 = (કર્ણ)2 x2 + (x - 7)2 = 132 x2 + x2 – 14x + 49 = 169 2x2 – 14x – 120 = 0 x2 – 7x – 60 = 0 x2 -12x + 5x - 60 = 0 x(x - 12) + 5(x - 12) = 0 (x - 12) (x + 5) = 0 x - 12 = 0 અથવા x + 5 = 0 x = 12 અથવા x = -5 ત્રિકોણની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, ત્રિકોણનો પાયો x = 12 અને ત્રિકોણનો વેધ x – 7 = 12 – 7 = 5 થશે.જવાબ : ધારો કે ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા x છે. તેથી પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત 2x + 3 થશે.
ઉત્પાદન ખર્ચ 90 છે. x(2x + 3) = 90 2x2 + 3x – 90 = 0 x2 + 15x - 12x - 90 = 0 x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0 (2x + 15) (x - 6) = 0 2x + 15 = 0 અથવા x - 6 = 0 x = -
અથવા x = 6
વસ્તુની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા 6 છે
અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિમત 2x + 3 = 2 X 6 + 3 = 15 થશે.
જવાબ : 2x2 – 7x + 3 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં a = 2, b = -7 અને c = 3 મળે, દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ, x =
અહીં a = 2, b = -7 અને c = 3 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,
x = 
x = 
x = 
x = 
x = 
અથવા x = 
x = 
અથવા x = 
x = 3 અથવા x = 
તેથી, સમીકરણ 2x2 – 7x + 3 = 0 ના બીજ 3 અથવા છે.
જવાબ : 2x2 + x – 4 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં a = 2, b = 1 અને c = -4 મળે, દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ, x =
અહીં a = 2, b = 1 અને c = -4 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,
x = 
x = 
x = 
x = 
અથવા x = 
તેથી, સમીકરણ 2x2 + x – 4 = 0 ના બીજ અથવા છે.
જવાબ : ધારો કે બગીચાની લંબાઈ x મીટર છે.
બગીચાની પરિમિતિ 800 મીટર છે. હવે, લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ + પહોળાઈ) 80 = 2(x + પહોળાઈ) 40 = x + પહોળાઈ પહોળાઈ = 40 – x લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ 400 મી2 છે. ક્ષેત્રફળ = x(40 – x) 400 = 40x – x2 40x – x2 – 400 = 0 x2 – 40x + 400 = 0 x2 – 20x – 20x + 400 = 0 x(x - 20) – 20(x - 20) = 0 (x – 20) (x – 20) = 0 x – 20 = 0 અથવા x – 20 = 0 x = 20 અથવા x = 20 તેથી, બગીચાની લંબાઈ 20 મીટર અને બગીચાની પહોળાઈ = 40 – x = 40 – 20 = 20 મીટર થાય.જવાબ : ધારો કે એક મિત્રની ઉમર x વર્ષ છે.
બે મિત્રોની ઉમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. તેથી, બીજા મિત્રની ઉમર 20 – x વર્ષ થાય 4 વર્ષ પહેલા, પ્રથમ મિત્રની ઉંમર x – 4 થાય. બીજા મિત્રની ઉંમર 20 – x – 4 = 16 – x વર્ષ થાય. 4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 48 હતો. (x - 4)(16 - x) = 48 16x – x2 – 64 + 4x = 48 16x – x2 – 64 + 4x – 48 = 0 – x2 + 20x – 112 = 0 x2 - 20x + 112 = 0 આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 1, b = -20 અને c = 112 મળે. તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-20)2 – 4 X 1 X 112 = 400 – 448 = - 48 અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = - 48 < 0 જે ઋણ છે. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી. તેથી, આ પરિસ્થતિ શક્ય નથી.જવાબ : 2x2 – 6x + 3 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં, a = 2, b = -6 અને c = 3 મળે. તેથી, વિવેચક b2 – 4ac = (-6)2 – 4 X 2 X 3 = 36 – 24 = 12 અહીં, વિવેચક b2 – 4ac = 12 > છે. જે ધન છે. તેથી સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે. દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ, x =
અહીં b = - 6 અને b2 – 4ac = 12 ઉપરનાં સૂત્રમાં મૂકતાં,
x = 
x = 
x = 
x = 
અથવા x = 
તેથી, સમીકરણ 2x2 – 6x + 3 = 0 ના બીજ અથવા છે.
જવાબ : ધારો કે મોટા ચોરસની બાજુનું માપ x મીટર છે. અને નાના ચોરસની બાજુનું માપ y મીટર છે.
બે ચોરસનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે. x2 + y2 = 468 … … … (1) તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર છે. 4x – 4y = 24 x – y = 6 x = 6 + y … … … (2) સમીકરણ (2)માંની x = 6 + y કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, x2 + y2 = 468 (y + 6)2 + y2 = 468 y2 + 12y + 36 + y2 – 468 = 0 2y2 + 12y – 432 = 0 y2 + 6y – 216 = 0 y2 + 18y - 12y – 216 = 0 y(y + 18) – 12(y + 18) = 0 (y + 18)(y - 12) = 0 y + 18 = 0 અથવા y - 12 = 0 y = -18 અથવા y = 12 બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, નાના ચોરસની બાજુનું માપ 12 મીટર થશે. y = 12 કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, x = 6 + y x = 6 + 12 x = 18 અને, મોટા ચોરસની બાજુનું માપ 18 મીટર થશે.જવાબ : ધારો કે શેફાલીના ગણિતના ગુણ x છે.
તેથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x થશે. તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ હોય તો ગણિતના ગુણ x + 2 થશે. તેણીને અંગ્રેજીમાં 5 ગુણ ઓછા હોય તો અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x – 5 = 27 – x થશે. જો તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત. (x + 2)(27 - x) = 210 -x2 + 25x – 54 = 210 -x2 + 25x – 54 - 210 = 0 x2 - 25x – 156 = 0 x2 - 12x – 13x + 156 = 0 x(x - 12) – 13(x - 12) = 0 (x - 12) (x – 13) = 0 x - 12 = 0 અથવા x – 13 = 0 x = 12 અથવા x = 13 જો x = 12 હોય, તો ગણિતના ગુણ 12 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x = 30 – 12 = 18 છે. જો x = 13 હોય, તો ગણિતના ગુણ 13 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 – x = 30 – 13 = 17 છે.જવાબ : ધારોકે મોટા ચોરસની બાજુનું માપ x મીટર છે.અને નાના ચોરસની બાજુનું માપ y મીટર છે.
બે ચોરસના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી2 છે. ∴ x2 + y2 = 468 ____(1) તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મીટર છે. ∴ 4x - 4y = 24 ∴ x - y = 6 ∴ x = 6 + y _________(2) સમીકરણ (2) માંની x = y + 6 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ x2 + y2 = 468 ∴ (y + 6)2 + y2 = 468 ∴ y2 + 12y + 36 + y2 - 468 = 0 ∴ 2y2 + 12y - 432 = 0 ∴ y2 + 6y - 216 = 0 ∴ y2 + 18y - 12y - 216 = 0 ∴ y(y + 18) - 12(y + 18) = 0 ∴ (y + 18)(y - 12) = 0 ∴ y + 18 = 0 અથવા y - 12 = 0 ∴ y = - 18 અથવા y = 12 બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, નાના ચોરસની બાજુનું માપ 12 મીટર થશે. y = 12 કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ x = 6 + y ∴ x = 6 + 12 ∴ x = 18 આમ, મોટા ચોરસની બાજુનું માપ 18 મીટર થશે.જવાબ : ધારોકે ધીમી ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.
તેથી, ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ x + 11 કિમી/કલાક થશે. તેથી, ધીમી ટ્રેન માટે,
થાય.
અને ઝડપી ટ્રેન માટે, 
થાય.
મૈસુર અને બેંગ્લોર વચ્ચેનું અંતર 132 કિમી છે.
∴ 
= 1
∴ 
= 1
∴ 
= 1
∴ 132x + 1452 - 132x = x2 + 11x
∴ x2 + 11x - 1452 = 0
∴ x2 + 44x - 33x - 1452 = 0
∴ x(x + 44) - 33(x + 44) = 0
∴ x + 44 = 0 અથવા x - 33 = 0
∴ x = - 44 અથવા x = 33
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ધીમી ટ્રેન ની ઝડપ 33 કિમી/કલાક થશે.
અને, ઝડપી ટ્રેન ની ઝડપ x + 11 = 33 + 11 = 44 કિમી/કલાક થશે.
જવાબ : ધારોકે ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક છે.અંતર 360 કિમી આપેલું છે.
તેથી, લાગતો સમય t1 =
કલાક થાય.
જો ટ્રેનની ઝડપ 5 કિમી/કલાક વધુ હોય, તો એટલું અંતર કાપતાં તેને 1 કલાક ઓછો સમય લાગે છે.
તેથી, લાગતો સમય t1 = 
કલાક થાય.
∴
+ 1
∴ 
= 1
∴ 
= 1
∴ 
360x + 1800 - 360x = x(x + 5)
∴ 360x + 1800 - 360x = x2 + 5x
∴ 1800 = x2 + 5x
∴ x2 + 5x - 1800 = 0
∴ x2 + 45x - 40x - 1800 = 0
∴ x(x + 45) - 40(x + 45) = 0
∴ (x + 45)(x - 40) = 0
∴ x + 45 = 0 અથવા x - 40 = 0
∴ x = -45 અથવા x = 40
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ટ્રેનની ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.
જવાબ : ધારોકે મોટી સંખ્યા x છે.તેમજ નાની સંખ્યા y છે.
નાની સંખ્યાનો વર્ગ મોટી સંખ્યા કરતાં 8 ગણો છે. તેથી, y2 = 8x બે સંખ્યાના વર્ગોનો તફાવત 180 છે. ∴ x2 - y2 = 180 પરંતુ, y2 = 8x ∴ x2 - 8x = 180 ∴ x2 - 8x - 180 = 0 ∴ x2 - 18x + 10x - 180 = 0 ∴ x(x - 18) + 10(x - 18) = 0 ∴ (x - 18)(x + 10) = 0 ∴ x - 18 = 0 અથવા x + 10 = 0 ∴ x = 18 અથવા x = - 10 સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, મોટી સંખ્યા 18 થશે. તેમજ y2 = 8x → y2 = 8 ´ 18 → y2 = 144 → y =
y = 12
અને મોટી સંખ્યા 12 થશે.
જવાબ : ધારોકે નાની બાજુનું માપ x મીટર છે.
તેથી, વિકર્ણનું માપ x + 60 મીટર થશે.
અને મોટી બાજુનું માપ x + 30 મીટર થશે.
યથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
∴ (x + 60)2 = x2 + (x + 30)2
∴ x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900
∴ x2 + 120x + 3600 - x2 - x2 - 60x - 900 = 0
∴ - x2 + 60x - 2700 = 0
∴ x2 - 60x + 2700 = 0
∴ x2 - 90x + 30x + 2700 = ૦
∴ x(x - 90) + 30(x - 90) = 0
∴ (x - 90)(x + 30)
∴ x - 90 = 0 અથવા x + 30 = 0
∴ x = 90 અથવા x = - 30
લંબચોરસની બાજુનું માપ ઋણ ન હોઈ શકે.
જો x = 90 મીટર હોય, તો મોટી બાજુનું માપ x + 30 = 90 + 30 = 120 મીટર થશે.
જવાબ : ધારોકે શેફાલીના ગણિતના ગુણ x છે.
તેથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x થશે. તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ હોય તો ગણિતના ગુણ x + 2 થશે. તેણીને અંગ્રેજીમાં 5 ગુણ ઓછા હોય તો અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x - 5 = 27 - x થશે. જો તેણીને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત. ∴ (x + 2)(27 - x) = 210 ∴ - x2 + 25x - 54 = 210 ∴ - x2 + 25x - 54 - 210 = 0 ∴ x2 - 25x + 156 = 0 ∴ x2 - 12x - 13x + 156 = 0 ∴ x(x - 12) - 13(x - 12) = 0 ∴ (x - 12)(x - 13) = 0 ∴ x - 12 = 0 અથવા x - 13 = 0 ∴ x = 12 અથવા x = 13 જો x = 12 હોય, તો ગણિતના ગુણ 12 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x = 30 - 12 = 18 થશે. જો x = 13 હોય, તો ગણિતના ગુણ 13 અને અંગ્રેજીના ગુણ 30 - x = 30 - 13 = 17 થશે.
છે તો તેની હાલની ઉંમર કેટલી હશે? (સ્વાધ્યાય 4.3)
જવાબ : ધારોકે રહેમાનની અત્યારની ઉંમર x વર્ષ છે.
તેથી રહેમાનની 3 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર x - 3 વર્ષ અને રહેમાનની 5 વર્ષ પછીની ઉંમર x + 5 વર્ષ થશે. રહેમાનની આજથી 3 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર (વર્ષમાં)વ્યસ્ત અને હવેથી 5 વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો 13 છે.
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 3(2x + 2) = x2 + 2x - 15
∴ 6x + 6 - x2 - 2x + 15 = 0
∴ - x2 + 4x + 21 = 0
∴ x2 - 4x - 21 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = ૦ સાથે સરખાવતાં,
a = 1, b = -4 અને c = -21 મળે.
દ્વિઘાત સુત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,
x = 
અહીં, a = 1, b = -4 અને c = -21 ઉપરના સૂત્રમાં મૂકતાં,
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
અથવા x = 
∴ x = 
અથવા x = 
∴ x = 7 અથવા x = -3
ઉંમર ઋણ ન હોઈ શકે.તેથી, રહેમાનની અત્યારની ઉંમર 7 વર્ષ છે.
, x ≠ - 4, 7 આપેલ સમીકરણના બીજ મેળવો.(સ્વાધ્યાય 4.3)
જવાબ : , x ≠ - 4, 7
∴ 
∴ 
∴ x2 - 3x - 28 = - 30
∴ x2 - 3x - 28 + 30 = 0
∴ x2 - 3x + 2 = 0
આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત રૂપ ax2 + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
a = 1, b = - 3 અને c = 2 મળે.
દ્વિઘાત સુત્ર દ્વારા મળતો ઉકેલ,
x = 
અહીં, a = 1, b = -3 અને c = 2 ઉપરના સૂત્રમાં મૂકતાં,
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
∴ x = 
અથવા x = 
∴ x = 
અથવા x = 
∴ x = 2 અથવા x = 1
તેથી, સમીકરણ , x ≠ - 4, 7 ના બીજ 2 અથવા 1 છે.
કલાકમાં એક ટાંકી ભરી શકે છે.મોટા વ્યાસવાળો નળ ટાંકી ભરવા માટે નાના વ્યાસવાળા નળ કરતાં 10 કલાકનો ઓછો સમય લે છે.બંને નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો અલગ - અલગ સમય કેટલો થાય તે શોધો.(સ્વાધ્યાય 4.3)
જવાબ : ધારોકે મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x કલાક છે.
મોટા વ્યાસવાળો નળ ટાંકી ભરવા માટે નાના વ્યાસવાળા નળ કરતાં 10 કલાકનો ઓછો સમય લે છે. તેથી, નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x + 10 કલાક થશે. તેથી, એક કલાકમાં મોટા વ્યાસવાળા નળ માટે,
થાય.
તેથી, એક કલાકમાં નાના વ્યાસવાળા નળ માટે, 
થાય.
પાણીના બે નળ એક સાથે 9 કલાકમાં એક ટાંકી ભરી શકે છે.
∴ 
∴ 75(2x + 10) = 8x(x + 10)
∴ 150x + 750 = 8x2 + 180x
∴ 8x2 + 180x - 150x - 750 = 0
∴ 8x2 - 70x - 750 = 0
∴ 4x2 - 35x - 375 = 0
∴ 4x2 - 60x + 25x - 375 = 0
∴ 4x(x - 15) + 25(x - 15) = 0
∴ x - 15 = 0 અથવા 4x + 25 = 0
∴ x = 15 અથવા x = - 
સમય ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય 15 કલાક છે.
અને નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય x + 10 = 15 + 10 = 25 કલાક છે.
There are No Content Availble For this Chapter
Take a Test
દ્વિઘાત સમીકરણ
std 10 maths gujarati medium, std 10 maths book pdf gujarati medium
Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects
- વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અર્થશાસ્ત્ર Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- રસાયણવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સામાજિક વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૂગોળ Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૌતિકવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગણિત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગુજરાતી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અંગ્રેજી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સંસ્કૃત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- હિન્દી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.
The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.
For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.
