GSEB std 10 science solution for Gujarati check Subject Chapters Wise::
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 1 – 1 = 0 a3 – a2 = 1 – 1 = 0 a4 - a3 = 2 – 1 = 1 અહીં, a2 – a1 = a3 – a2 પરંતુ a3 – a2 ≠ a4 - a3 આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4 a3 – a2 = -2 – 2 = -2 – 2 = -4 આમ, a2 – a1 ≠ a3 – a2 આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = -1 – 1 = -2 a3 – a2 = -3 – (-1) = -3 + 1 = -2 a4 - a3 = -5 – (-3) = -5 + 3 = -2 અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = -2 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: -5 + (-2) = -7 અને -7 + (-2) = -9 છે.
જવાબ : અહીં, a2 – a1 = 10 – 4 = 6 a3 – a2 = 16 – 10 = 6 a4 - a3 = 22 – 16 = 6 અથાર્ત, ak+1 - ak હંમેશા સમાન રહે છે. આથી, આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે અને સામાન્ય તફાવત d = 6 છે. આપણે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે, આ જ તરાહ આગળ પણ ચાલશે. પછીના બે પદ: 22 + 6 = 28 અને 28 + 6 = 34 છે.
, 
, - , - , ... માટે પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લખો. (ઉદાહરણ – 1)
જવાબ : અહીં, a = , d = - = -1
જવાબ : જે સમાંતર શ્રેણીમાં અંતિમ પદ ન મળે તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત d લેતાં, a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...... સમાંતર શ્રેણી દર્શાવે છે. આને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કહેવાય છે.
જવાબ : ઉદાહરણ – 1: એક શાળામાં સવારની સભામાં એક હારમાં ઉભેલા કેટલાક વિદ્યાર્થીઓની ઉંચાઈ (સેમીમાં) 147, 148, 149 ...... 157 છે. અહીં, હારમાં ઉભેલા દરેક વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈમાં એક સેન્ટીમીટરનો વધારો થાય છે. ઉદાહરણ – 2: કોઈ શહેરના જાન્યુઆરી મહિનાના એક સપ્તાહના ન્યૂનતમ તાપમાનની વધતા ક્રમમાં નોંધણી (ડીગ્રી સેલ્સીયસમાં) -3.1, -3.૦, -2.9, -2.8, -2.7, -2.6, -2.5 છે. અહીં, પ્રત્યેક પદ મેળવવા તેની આગળના પદમાં 0.1નો ઉમેરો કરવામાં આવે છે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીમાં નિશ્ચિત સંખ્યાને નિશ્ચિત તફાવત કહેવાય છે. તે ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
જવાબ : જેમાં પ્રથમ પદ સિવાયના પ્રત્યેક પદ, આગળના પળમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરી મેળવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની યાદી એ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1 = 15 બીજા કિલોમીટર માટે a2 = 15 + 8 = 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3 = 23 + 8 = 31 ચોથા કિલોમીટર માટે a4 = 31 + 8 = 39 a2 – a1 = 23 – 15 = 8 a3 – a2 = 31 – 23 = 8 a4 - a3 = 39 – 31 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 8 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : અહીં,
જવાબ : 1 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a1 = 150 2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2 = 150 + 50 = 200 3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3 = 200 + 50 = 250 4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4 = 250 + 50 = 300 a2 – a1 = 200 – 150 = 50 a3 – a2 = 250 – 200 = 50 a4 - a3 = 300 – 250 = 50 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે એટલે કે 50 છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : શરૂઆતની રકમ a1 = 10000
1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2 = 10000 (1 + 
)1 = 10800
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3 = 10800 (1 + )2 = 12597
3 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4 = 12597 (1 + )3 = 15869
a2 – a1 = 10800 – 10000 = 800
a3 – a2 = 12597 – 10800 = 1797
a4 - a3 = 15869 – 12597 = 3272
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30 ચોથું પદ a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = -2 + 0 = -2 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -2 + 0 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 + 0 = -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 4 બીજું પદ a2 = a1 + d = 4 – 3 = 1 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 1 – 3 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 – 3 = -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, 1, -2, -5 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 3 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 1 - 3 = -2
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -1.25 બીજું પદ a2 = a1 + d = -1.25 – 0.25 = -1.50 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -1.50 – 0.25 = -1.75 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -1.75 – 0.25 = -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -1
બીજું પદ a2 = a1 + d = -1 + 12 = -12
ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -12 + 12 = 0
ચોથું પદ a4 = a3 + d = 0 + 12 = 12
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1, -12, 0, 12 છે.
જવાબ : દરેક હરીફે બાલદી પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકુ ઉપાડી, પાછા આવી બાલદીમાં નાંખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું બાલદીમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે?
(સુચન: પ્રથમ અને દ્વિતીય બટાકું ઉપાડવા હરીફ દ્વારા કપાતું અંતર(મીટરમાં) 2 X 5 + 2 X (5 + 3) ]
પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X 5 = 10
બીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 3) = 2 X 8 = 16
ત્રીજું બટાકું ઉપાડવા કાપવું પડતું અંતર = 2 X (5 + 6) = 2 X 11 = 22
તેથી સમાંતર શ્રેણી 10, 16, 22, ... , મળે.
અહીં a = 10, d = 16 – 10 = 6, n = 10 છે. તેમજ Sn = ?
હવે, Sn = 
[2a + (n – 1)d]
S10 = 
[2 X 10 + (10 – 1)( 6)]
S10 = 5[20 + (9)( 6)]
S10 = 5[20 + 54]
S10 = 5 X 74
S10 = 370 મીટર
લો.)
જવાબ : અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = 
( 2π r )
અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી, 2.0 સેમી ... છે.
તેથી, પ્રથમ કુંતલની લંબાઈ l1 = 0.5π
બીજા કુંતલની લંબાઈ l2 = 1.5π
ત્રીજા કુંતલની લંબાઈ l3 = 2.0π
ચોથા કુંતલની લંબાઈ l4 = 2.5π
અહીં a = 0.5π, d = 1.5π – 0.5π = 0.5π, n = 13 છે. તેમજ S13 = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S13 = 
[2 X 0.5π + (13 – 1)( 0.5π)]
S 13 = [2 X 0.5π + (12)( 0.5π)]
S 13 = 13[0.5π + (6)( 0.5π)]
S 13 = 13[0.5π + 3.0π]
S 13 = 13[3.5π]
S 13 = 13 X 3.5 X 
S 13 = 13 X 0.5 X 22
S 13 = 143 સેમી
જવાબ : દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે.
તેથી, વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X ધોરણ
ધોરણ એક દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 1 = 3
ધોરણ બે દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 2 = 6
ધોરણ ત્રણ દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 X 3 = 9
તેથી a = 3, d = 6 – 3 = 3, n = 12 છે. તેમજ S12 = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S12 = 
[2 X 3 + (12 – 1)(3)]
S12 = 6[6 + 11(3)]
S12 = 6[6 + 33]
S12 = 6 X 39
S12 = 234
જવાબ : અહીં a = ?, d = 20, n = 7 છે. તેમજ S7 = 700
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
700 = 
[2a + (7 – 1) (20)]
700 = [2a + 6(20)]
700 = [2a + 120]
700 = 7[a + 60]
a + 60 = 
a + 60 = 100
a = 100 – 60
a = 40
તેથી, ઇનામોની શ્રેણી 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 થશે.
પરંતુ ઇનામની રકમ ઉતરતા ક્રમમાં હોય છે તેથી ઇનામો 160, 140 , 120, 100, 80, 60, 40, થશે.
જવાબ : દંડની ભરવી પડતી રકમ = 200, 250, 300, … થશે.
અહીં a = 200, d = 250 – 200 = 2, n = 50 છે. તેમજ S30 = ?
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S30 = 
[2 X 200 + (30 – 1)(50)]
S30 = 15[400 + (29)(50)]
S30 = 15[400 + 1450]
S30 = 15[1850]
S30 = 27750
જવાબ : અહીં, a22 = 149, d = 7, S22 = ?
an = a + (n – 1)d
149 = a + (22 – 1)7
149 = a + 21 X 7
149 = a + 147
a = 149 - 147
a = 2
હવે,
Sn = (a + a22)
Sn = 
(2 + 149)
Sn = 11 X 151
Sn = 1661
જવાબ : અહીં, a2 = 14, a2 = 18, d = 18 – 14 = 4, S21 = ?
an = a + (n – 1)d
a3 = a + (3 – 1)4
14 = a + 2 X 4
14 = a + 8
a = 14 – 8
a = 6
હવે
Sn = [2a + (n – 1)d]
S51 = 
[2 X 6 + (51 – 1)4]
S51 = [12 + (50)4]
S51 = [12 + 200]
S51 = X 212
S51 = 51 X 106
S51 = 5406
જવાબ : અહીં, a = 6, d = 12 – 6 = 6 છે, તેમજ S40 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S40 = 
[2 X 6 + (40 – 1)(6)]
S40 = 20[12 + (39)(6)]
S40 = 20[12 + 234]
S40 = 20 X 246
S40 = 4920
જવાબ : અહીં, a = 8, d = 16 – 8 = 8 છે. તેમજ S15 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S15 = 
[2 X 8 + (15 – 1)(8)]
S15 = [16 + (14)(8)]
S15 = [16 + 112]
S15 = X 128
S15 = 15 X 64
S15 = 960
જવાબ : અહીં a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 25 છે. તેમજ S25 = ?
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S25 = 
[2 X 8 + (25 – 1)(2)]
S25 = [2 + (24)(2)]
S25 = [2 + 48]
S25 = [50]
S25 = 25 X 25
S25 = 625
જવાબ : અહીં, a = 17, l = 350, d = 9, Sn = ? , n =?
an = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)9
350 = 17 + 9n – 9
350 = 9n + 8
350 – 8 = 9n
342 = 9n
n = 
n = 38
હવે,
Sn = (a + l)
S38 = 
(17 + 350)
S38 = 19 X 367
S38 = 6973
જવાબ : અહીં, a = 5, l = 45, Sn = 400, તેમજ n = ? અને d = ?
Sn = (a + l)
400 = 
(5 + 45)
400 = X 50
500 = n X 25
n = 
n = 16
હવે,
an = a + (n – 1)d
45 = 5 + (16 - 1)d
45 = 5 + 15d
45 – 5 = 15d
40 = 15d
d = 
d = 
જવાબ : અહીં, a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636
Sn = [2a + (n – 1)d]
636 = [2 X 9 + (n – 1)8]
636 = [18 X 8n – 8]
636 = n [9 + 4n – 4]
636 = n [4n + 5]
636 = 4n2 + 5n
4n2 + 5n – 636 = 0
4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
n (4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
(4n + 53)(n - 12) = 0
4n + 53 = 0 કે n – 12 = 0
4n =- 53 કે n = 12
n = - 
કે n = 12
પદોની સંખ્યા ઋણ પૂર્ણાંક કે અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે.
n = 12
સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, … ના 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.
જવાબ : અહીં, l = 28, , Sn = 192
Sn = (a + l)
144 = 
(a + 28)
= a + 28
32 = a + 28
a = 28 - 32
a = 4
જવાબ : અહીં, a = 3, n = 8, Sn = 192
Sn = (a + an)
192 = 
(3 + an)
192 = 4(3 + an)
= 3 + an
48 = 3 + an
an = 48 – 3
an = 45
હવે,
an = a + (n – 1)d
a8 = 3 + (8 – 1)d
45 = 3 + 7d
7d = 45 – 3
7d = 42
d = 6
જવાબ : અહીં,
a = 8, an = 62, Sn = 210
Sn = (a + an)
210 = (8 + 62)
210 = (70)
210 = (35)
= n
n = 6
હવે,
an = a + (n – 1)d
62 = 8 + (6 – 1)d
62 – 8 = 5d
54 = 5d
d = 
, 
, 
,.... નો 11 પદ સુધીનો સરવાળો કરો.
જવાબ : અહીં,
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = , સામાન્ય તફાવત d = – = 
, S11 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S11 = 
[2 X + (11 – 1) X ]
S11 = [
+ 
]
S11 = [ ]
S11 = 
S11 = 
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 – 0.6 = 5, S100 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S100 = 
[2 X 0.6 + (100 – 1) X 1.1]
S100 = 50[1.2 + 99 X 1.1]
S100 = 50[1.2 + 108.9]
S100 = 50 X 110.1
S100 = 5505
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= -5 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = - 3 – (-5) = 2
, 
, 
, 
, … આ સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1=
સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 
= 
જવાબ : પ્રથમ પદ a1= 0.6 સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
જવાબ : a2 – a1 = 4 – 2 = 2 a3 – a2 = 8 – 4 = 4 a4 - a3 = 16 – 8 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02 a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002 a4 - a3 = 0.222 – 0.222 = 0.0002 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 3 – 1 = 2 a3 – a2 = 9 – 3 = 6 a4 - a3 = 27 – 9 = 18 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = a2 – a = a a3 – a2 = a3 – a2 = a2 a4 - a3 = a4 – a3 = a2 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : a2 – a1 = 32 – 12 = 9 - 1 = 8 a3 – a2 = 52 – 32 =25 – 9 = 16 a4 - a3 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : અહીં, a = 2, d = 7 – 2 = 5 અને n = 10 હવે, an = a + (n – 1)d an = 2 + (10 – 1) X 5 = 2 + 45 = 47 આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 10મું પદ 47 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = a + (3 - 1)d = a + 2d = 5 ..................(1) અને a7 = a + (7 - 1)d = a + 6d = 9 ...................(2) સુરેખ સમીકરણયુગ્મ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં, a = 3, d = 1 મળે. આથી, માંગેલ સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, 6, 7,.... છે.
જવાબ : હા,
અહીં a = 12, d = 3, an = 99
an = a + (n – 1)d હોવાથી,
99 = 12 + (n – 1) X 3
87 = (n – 1) X 3
n – 1 = 
= 29
n = 29 + 1 = 30
આમ, 3 વડે વિભાજ્ય બે અંકના પૂર્ણાંકોની સંખ્યા 30 છે.
જવાબ : પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય,... હારમાં ગુલાબના છોડની સંખ્યા 23, 21, 19, ..., 5 છે. ધારો કે, હારની સંખ્યા n છે. અહી, a = 23, d = 21 – 23 = -2, an = 5 હવે, an = a + (n – 1)d હોવાથી, 5 = 23 + (n – 1)(-2) -18 = (n – 1)(-2) n = 29 આથી, ફૂલની ક્યારીમાં 10 હાર છે.
જવાબ : અહીં, a = 8, d = ૩- 8 = -5, n = 22.
આપણે જાણીએ છીએ કે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
આથી, S22 = 
[16 + 21(– 5)]
= 11 (16 – 105)
= 11 (-89)
= -979 આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો -979 છે.
જવાબ : અહીં, S14 = 1050, n = 14, a = 10
હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
આથી, 1050 = 
[20 + 13d]
1050 = 140 + 91d
1050 – 140 = 91d
910 = 91d
d = 10 આથી, a20 = 10 + (20 – 1) X 10 = 200 અથાર્ત 20મું પદ 200 છે.
જવાબ : અહીં, a = 24, d = 21 – 24 = -3, Sn = 78.
આપણે n મુલ્ય શોધવું છે.
આપણે, જાણીએ છીએ કે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
78 = [48 + (n – 1)(-3)]
= [51 – 3n]
3n2 – 51n + 156 = 0
n2 – 17n + 52 = 0
(n-4) (n-13) = 0
n = 4 અથવા 13
nનાં બંને મુલ્યો શક્ય છે આથી, માંગેલ પદની સંખ્યા 4 અથવા 13 થાય.
જવાબ : ધારો કે, S1000 = 1 + 2 + 3 + ... + 1000
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ n પદોના સરવાળાના સૂત્ર,
Sn = (a + l)નો ઉપયોગ કરતાં,
S1000 = 
(1 + 1000) = 500 X 1001 = 500500
આથી, પ્રથમ 1000 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો 500500 થાય.
જવાબ : ધારો કે, Sn = 1 + 2 + 3 + ... + 1000
અહીં, a = 1 અને અંતિમ પદ l=n છે.
આથી, Sn = 
અથવા Sn = 
આથી, પ્રથમ n ધન પૂર્ણાકોનો સરવાળો.
Sn = મળશે.
જવાબ : an = 3 + 2n, હોવાથી,
a1 = 3 + 2 = 5
a2 = 3 + 2 X 2 = 7
a3 = 3 + 2 X 3 = 9
....
આથી, સંખ્યાઓની યાદી 5, 7, 9, 11,... બને.
અહીં, 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 વગેરે.
આથી, તે સમાંતર શ્રેણી બને છે. સામાન્ય તફાવત d = 2.
S24 = 
[2 X 5 + (24 – 1) X 2]
= 12 [10 + 46] = 672
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d a8 = 7 + (8 – 1)3 a8 = 7 + 7 X 3 a8 = 7 + 21 a8 = 28
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ?, n = 10 અને an = 0 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d 0 = -18 + (10 - 1)d 0 = -18 + 9d 9d = 18 d = 2
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ?, સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d -5 = a + (18 - 1)3 -5 = a – 51 a = 51 – 5 a = 46
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6 સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 2.5n = 3.6 + 21.4 2.5n = 25 n = 10
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ an = a + (n – 1)d an = a + (n – 1)d a105 = 3.5 + (105 - 1)0 a105 = 3.5 + 0 a105 = 0
જવાબ : અહીં, a = 2, an = 26, an = ? an = a + (n – 1)d a3 = 2 + (3 – 1)d 26 = 2 + 2d 2d = 26 – 2 2d = 24 d = 12 હવે, બીજા પદ માટે an = a + (n – 1)d a2 = 2 + (2 – 1)12 a2 = 2 + 12 a2 = 14 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = 3, d = 8 – 3, a78 = ? 78માં પદ માટે, an = a + (n – 1)d 78 = 3 + (n – 1)(5) 78 – 3 = 5n – 5 75 + 5 = 5n 5n = 80 n = 16 સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, … નું 16મું પદ 78 થાય.
જવાબ : અહીં, a = 7, d = 13 – 7 = 6
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = 205
an = a + (n – 1)d
205 = 7 + (n – 1)(6)
205 - 7 = 6n – 6
198 = 6n – 6
198 + 6 = 6n
6n = 204
n = 
n = 34
7, 13, 19, … , 205 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 34 છે.
, 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા શોધો.
જવાબ : અહીં, a = 18, d = 15 – 18 = - 
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના કુલ પદોની સંખ્યા n છે. તેથી, an = -47
an = a + (n – 1)d
-47 = 18 + (n – 1) (- )
-47 - 18 = (n – 1) (- )
- 65 = (n – 1) (- )
- 65 = (n – 1) (- )
= n – 1
= n – 1
26 = n – 1
n = 26 + 1
n = 27
18, 15 , 13, … , -47 સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 27 છે.
જવાબ : અહીં, a = 11, d = 11 – 3, a78 = ?
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ – 150 છે.
તેથી an = -150
an = a + (n – 1)d
-150 = 11 + (n – 1)(-3)
-150 - 11 = (n – 1)(-3)
-161 = -3n + 3
-161 – 3 = -3n
- 164 = -3n
164 = 3n
3n = 
n = 54
સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે.
સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, … નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકેનહિ
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. a17 = a10 + 7 a + 16d = a + 9d + 7 16d – 9d = 7 7d = 7 d = 7
જવાબ : અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 – 3 = 12, 54માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ?
an = a54 + 132
a + (n - 1)d = a + 53d + 132
3 + (n - 1)(12) = 3 + 53(12) + 132
3 + 12n – 12 = 3 + 636 + 132
12n – 9 = 771
12n = 771 + 9
12n = 780
n = 
n = 65
જવાબ : ધારો કે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 છે. A + 99d – (a + 99d) = 100 A + 99d - a – 99d = 100 A – a = 100 તેમના 1000માં પદનો તફાવત, A + 999d – (a + 999d) = A + 999d - a – 999d = A – a = 100
જવાબ : અહીં, a = 105, તેમજ d = 112 – 105 = 7, an = 994 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
994 = 105 + (n - 1)(7)
994 – 105 = (n – 1)(7)
889 = (n - 1)(7)
889 = 7n – 7
889 + 7 = 7n
7n = 896
n = 
n = 128
તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.
જવાબ : 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 12, 16, 20, ..., 248 મળે.
અહીં, a = 12, તેમજ d = 16 – 12 = 4, an = 248 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
248 = 12 + (n - 1)(4)
248 - 12 = (n - 1)(4)
236 = (n - 1)(4)
236 = 4n – 4
236 + 4 = 4n
4n = 240
n = 
n = 60
તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4ના ગુણિત 60 હશે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, … માટે a = 63 તેમજ d = 65 – 63 = 2
તેમજ સમાંતર શ્રેણી 3, 10, 17 … માટે a = 3 તેમજ d = 10 – 3 = 7
હવે બંને શ્રેણીના nમાં પદ સમાન છે,
a + (n - 1)d = a + (n - 1)d
63 + (n - 1) 2 = 3 + (n - 1) 7
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
61 + 2n = 7n – 4
2n – 7n = -4 – 61
-5n = -65
n = 
n = 13
જવાબ : અહીં a3 = 16, a7 = a5 + 12 an = a + (n - 1)d an = a + 2d 16 = a + 2d a + 2d = 16 ... ... ... ... (1) 7મું પદ 5માં પદથી 12 વધુ છે. a7 = a5 + 12 a + 6d = a + 4d + 12 a + 6d - a - 4d = 12 2d = 12 d = 6 d = 6 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a + 2 X 6 = 16 a + 12 = 16 a = 16 – 12 a = 4 તેથી સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ... મળે.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સામાન્ય તફાવત d = -33 – (-37) = 4, S12 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S12 = [2 X (-37) + (12 – 1) X 4]
S12 = 6[-74 + 11 X 4]
S12 = 6[-74 + 44]
S12 = 6 X (-30)
S12 = -180
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 – 2 = 5, S10 = ?.
Sn = [2a + (n – 1)d]
S10 = 
[2 X 2 + (10 – 1) X 5]
S10 = 5[4 + 9 X 5]
S10 = 5[4 + 45]
S10 = 5 X 49
S10 = 245
જવાબ : અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, an = 20.75 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
20.75 = 5+ (n -1)(1.75)
20.75 – 5 = 1.75(n -1)
15.75 = 1.75(n -1)
(n -1) = 
(n -1) = 9
n = 9 + 1
n = 10
તેથી, 10માં અઠવાડિયે તેની બચત 20.75 રૂપિયા થશે.
જવાબ : અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, an = 7000 માટે n = ?
an = a + (n - 1)d
7000 = 5000 + (n -1)(250)
7000 – 5000 = 250n – 250
2000 = 250n – 250
2000 + 250 = 250n
2250 = 250n
n = 
n = 11
તેથી 11માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2006માં તેમનું વેતન 7000 રૂપિયા થશે.
જવાબ : તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253તેમજ d = 3 – 8 = -5, a20 = ? an = a + (n - 1)d a20 = 253 + (20 - 1)(-5) a20 = 253 + 19 (-5) a20 = 253 – 95 a20 = 158
, 
, 
, 
… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.
જવાબ : a2 – a1 = -
a3 – a2 = -
a4 - a3 = -
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ કિલોમીટર માટે a1 = ₹ 15 બીજા કિલોમીટર માટે a2 = ₹ (15 + 8) = ₹ 23 ત્રીજા કિલોમીટર માટે a3 = ₹ (23 + 8) = ₹ 31 ચોથા કિલોમીટર માટે a4 = ₹ (31 + 8) = ₹ 39 ∴ a2 - a1 = 23 - 15 = 8 ∴ a3 - a2 = 31 - 23 = 8 ∴ a4 - a3 = 39 - 31 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 8 છે. આથી આપેલી પરિસ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
ભાગ બહાર કાઢે છે.આપેલ પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખી સમાંતર શ્રેણી કારણ સહીત બનાવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ધારો કે નળાકારમાં રહેલી હવાનું પ્રમાણ a1 = x
∴ a2 - a1 = 
x - x = - x
∴ a3 - a2 = 
x - x = - 
x
∴ a4 - a3 = 
x - x = - 
x
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : 1 મીટર ખોદવાની ખર્ચ a1 = ₹ 150
2 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a2 = (150 + 50) = ₹ 200
3 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a3 = (200 + 50) = ₹ 250
4 મીટર ખોદવાનો ખર્ચ a4 = (250 + 50) = ₹ 300
∴ 
a2 - a1 = 200 - 150 = 50
∴ a3 - a2 = 250 - 200 = 50
∴ a4 - a3 = 300 - 250 = 50
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન કે જે 50 છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ : શરૂઆતની રકમ a1 = ₹ 10000
1 વર્ષ પછી મળતી રકમ a2 = 10000 (1 + 
)2 = ₹ 10800
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a3 = 10800 (1 + )2 = ₹ 12597
2 વર્ષ પછી મળતી રકમ a4 = 12597 (1 + )2 = ₹ 15869
∴ a2 - a1 = 10800 - 10000 = 800
∴ a3 - a2 = 12597 - 10800 = 1797
∴ a4 - a3 = 15869 - 12597 = 3272
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 10 બીજું પદ a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30 ચોથું પદ a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -2 બીજું પદ a2 = a1 + d = -2 + 0 = -2 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -2 + 0 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 + 0 = -2 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 4 બીજું પદ a2 = a1 + d = 4 - 3 = 1 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = 1 - 3 = -2 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -2 = 3 = -5 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, -1, -2, -5 છે.
આપેલ કિંમતો પરથી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -1
બીજું પદ a2 = a1 + d = -1 + = -
ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = - 
= 0
ચોથું પદ a4 = a3 + d = 0 + 
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ - 1, - 
છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -1.25 બીજું પદ a2 = a1 + d = -1.25 - 0.25 = -1.50 ત્રીજું પદ a3 = a2 + d = -1.50 - 0.25 = -1.75 ચોથું પદ a4 = a3 + d = -1.75 - 0.25 = -2.00 સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 3 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 1 - 3 = -2
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = -5 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = -3 - (-5) = 2
મી તથા પહોળાઈ મી છે. (જુઓ આકૃતિ). આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ કેટલા ઘનફળ કોન્ક્રીટની જરૂર પડશે તે મેળવો.
(સ્વાધ્યાય 5.4)
જવાબ : 
પ્રથમ પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ = 
ઘન મીટર
બીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ = 
ઘન મીટર
ત્રીજું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ = 
ઘન મીટર
તેજ રીતે,
પંદરમું પગથીયું બનાવવા જરૂર પડતું કોન્ક્રીટ = 
ઘન મીટર
તેથી, અહીં a = 
, l = 
તેમજ d = 
sn = 
[2a + (n - 1)d]
∴ s15 = 
(15 - 1) 
∴ s15 = 
∴ s15 = 
]
∴ s15 = 
∴ s15 = 
∴ s15 = 
∴ s15 = 
∴ s15 = 750
તેથી, આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ 750 ઘન સેમી કોન્ક્રીટની જરૂર પડશે.
....આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 
સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 
જવાબ : પ્રથમ પદ a1 = 0.6 સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 1.7 - 0.6 = 1.1
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 4 - 2 = 2 ∴ a3 - a2 = 8 - 4 = 4 ∴ a4 - a3 = 16 - 8 = 8 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
.....આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી હોય તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 
- 2 = 
∴ a3 - a2 = 3 - 
∴ a4 - a3 = 
- 3 =
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 
= 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 4 + 
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 
= 5
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 4, 
, 5 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = -3.2 - (-1.2) = -2.0 ∴ a3 - a2 = -5.2 - (-3.2) = -2.0 ∴ a4 - a3 = -7.2 - (-5.2) = -2.0 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત d = -2.00 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -7.2 - 2.00 = -9.2 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -9.2 - 2.00 = -11.2 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -11.2 - 2.00 = -13.2 સમાંતર શ્રેણીના પછીના ત્રણ પદ -9.2, -11.2, -13.2 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = -6 - (-10) = 4 ∴ a3 - a2 = -2 - (-6) = 4 ∴ a4 - a3 = 2 - (-2) = 4 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 4 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 2 + 4 = 6 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10 સાતમું પદ a7 = a6 + d = 10 + 4 = 14 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 6, 10, 14 છે.
, 3 + 2, 3 + 3....આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી હોય તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીનાં ત્રણ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 3 + - 3 =
∴ a3 - a2 = 3 + 2 - 3 + 
∴ a4 - a3 = 3 + 3 - 3 + 2
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 3 + 3 
= 3 + 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 3 + 4 = 3 + 5
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 3 + 5 = 3 + 6
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6 છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 0.22 - 0.2 = 0.02
∴ a3 - a2 = 0.222 - 0.22 = 0.002
∴ a4 - a3 = 0.2222 - 0.222 = 0.0002
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = - 4 - 0 = - 4 ∴ a3 - a2 = -8 - (- 4) = - 4 ∴ a4 - a3 = -12 - (-8) = - 4 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = - 4 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -12 - 4 = -16 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -16 - 4 = -20 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -20 - 4 = -24 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -16, -20, -24 છે.
- - , - , ....આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી હોય તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ∴ a2 - a1 = - - (- ) = 0
∴ a3 - a2 = - - (- ) = 0
∴ a4 - a3 = - - (- ) = 0
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 0 સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = - + 0 = -
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = - + 0 = -
સાતમું પદ a7 = a6 + d = - + 0 = -
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ - 
- - છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 3 - 1 = 2 ∴ a3 - a2 = 9 - 3 = 6 ∴ a4 - a3 = 27 - 9 = 18 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સામાન્ય નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 2a - a = a ∴ a3 - a2 = 3a - 2a = a ∴ a4 - a3 = 4a - 3a = a અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = a સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 4a + a = 5a છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 5a + a = 6a સાતમું પદ a7 = a6 + d = 6a + a = 7a સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 5a, 6a, 7a છે.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = a2 - a = a2 - a ∴ a3 - a2 = a3 - a2 = a3 - a2 ∴ a4 - a3 = a4 - a3 = a4 - a3 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
..આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી હોય તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીનાં ત્રણ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 
= 2 
∴ a3 - a2 = 
= 3 - 2
∴ a4 - a3 = 
= 4 - 3
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = સમાન છે.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 
= 4 
= 5 
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 
= 5 = 6 
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 
= 6 = 7
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 
છે.
....આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી હોય તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીનાં ત્રણ પદ મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.1)
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 
∴ a3 - a2 = 
∴ a4 - a3 = 
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 32 - 12 = 9 - 1 = 8 ∴ a3 - a2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 ∴ a4 - a3 = 72 - 52 = 49 - 25 = 24 અહીં ક્રમિક બે પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ : ∴ a2 - a1 = 52 - 12 = 25 - 1 = 24 ∴ a3 - a2 = 72 - 52 = 49 - 25 = 24 ∴ a4 - a3 = 73 - 72 = 73 - 49 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત d = 24 સમાન છે. આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 73 + 24 = 97 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121 સાતમું પદ a7 = a6 + d = 121 + 24 = 145 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 97, 121, 145 છે.
જવાબ : અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 3, n = 8 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)dમાં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a8 = 7 + (8 - 1)3 ∴ a8 = 7 + 7´3 ∴ a8 = 7 + 21 ∴ a8 = 28
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18, સામાન્ય તફાવત d = ? , n = 10 અને an = 0 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 0 = -18 + (10 - 1)d ∴ 0 = 18 + 9d ∴ 9d = 18 ∴ d = 2
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = ? , સામાન્ય તફાવત d = -3, n = 18 અને an = -5 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ -5 = a + (18 - 1)3 ∴ -5 = a - 51 ∴ a = 51 - 5 ∴ a = 46
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -18.9, સામાન્ય તફાવત d = 2.5, n = ? અને an = 3.6 સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 ∴ 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 ∴ 2.5n = 3.6 + 21.4 ∴ 2.5n = 25 ∴ n = 10
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 3.5, સામાન્ય તફાવત d = 0, n = 105 અને an = ? સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ an = a + (n - 1)d માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a105 = 3.5 + (105 - 1)0 ∴ a105 = 3.5 + 0 ∴ a105 = 0
જવાબ : અહીં, a = 10, d = 7 - 10 = -3, n = 30 ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a30 = 10 + (30 - 1) (-3) ∴ a30 = 10 + 29 ´ (-3) ∴ a30 = 10 - 87 ∴ a30 = - 77 તેથી, વિકલ્પ (C) સાચો જવાબ છે.
, 2, ...નું 11 મુ પદ કયું છે? (A)28 (B)22 (C)-38 સાચો જવાબ શોધો અને ચકાસો. (સ્વાધ્યાય 5.2)
જવાબ : અહીં, a = 3, d = - + 3 = , n = 11
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a11 = -3 + (11 - 1) ()
∴ a11 = -3 + 25
∴ a11 = 22
તેથી, વિકલ્પ (B) સાચો જવાબ છે.
જવાબ : અહીં, a = 2, a3 = 26, a2 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = 2 + (3 - 1)d ∴ 26 = 2 + 2d ∴ 2d = 26 - 2 ∴ 2d = 24 ∴ d = 12 હવે, બીજા પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a2 = 2 + (2 - 1)12 ∴ a2 = 2 + 12 ∴ a2 = 14 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 2, 14, 26 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = 3, d = 8 - 3 = 5, a78 = ? 78 માં પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ 78 = 3 + (n - 1) (5) ∴ 78 - 3 = 5n - 5 ∴ 75 = 5n - 5 ∴ 75 + 5 = 5n ∴ 5n = 80 ∴ n = 16 સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, ....નું 16 મુ પદ 78 થાય.
જવાબ : 7, 13, 19, ...., 205
અહીં, a = 7, d = 13 - 7 = 6
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી ના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = 205
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 205 = 7 + (n - 1)6
∴ 205 - 7 = 6n - 6
∴ 198 = 6n - 6
∴ 198 + 6 = 6n
∴ 6n = 204
∴ n = 
∴ n = 34
સમાંતર શ્રેણી 7, 13, 19, ....., 205 માં પદોની સંખ્યા 34 છે.
13, ....., - 47 આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા શોધો. (સ્વાધ્યાય 5.2)
જવાબ : અહીં, a = 18, d = 15 - 18 = -
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી ના કુલ પદોની સંખ્યા n છે.
તેથી, an = - 47
∴ an = a + (n - 1)d
∴ - 47 = 18 + (n - 1) (- )
∴ - 47 - 18 = (n - 1) (- 
)
∴ -65 = (n - 1) ( - )
∴ 65 = (n - 1) ()
= n - 1
= n - 1
∴ 26 = n - 1
∴ n = 26 + 1
∴ n = 27
સમાંતર શ્રેણી 18, 15 , 13, ....., - 47 માં પદોની સંખ્યા 27 છે.
જવાબ : 11, 8, 5, 2, ....
અહીં, a = 11, d = 11 - 8 = -3
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મુ પદ -150 છે.
તેથી, an = -150
∴ an = a + (n - 1)d
∴ -150 = 11 + (n - 1) (-3)
∴ -150 - 11 = (n - 1) (-3)
∴ -161 = -3n + 3
∴ -161 - 3 = -3n
∴ -164 = -3n
∴ 164 = 3n
∴ n = 
∴ n = 54
સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય છે.
સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, .... નું કોઈ પદ -150 હોઈ શકે નહિ.
જવાબ : અહીં, a11 = 38 તેમજ a16 = 73, a31 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a11 = a + (11 - 1)d ∴ 38 = a + 10d ∴ a = 38 - 10d____ (1) ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a16 = a + (16 - 1)d ∴ 73 = a + 15d____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ 73 = 38 - 10d + 15d ∴ 73 - 38 = 5d ∴ 35 = 5d ∴ d = 7 d = 7 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 38 - 10´7 ∴ a = 38 - 70 ∴ a = -32 હવે આપણે 31 મું પદ શોધવાનું છે. ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a31 = -32 + (31 - 1) (7) ∴ a31 = -32 + 210 ∴ a31 = 178 તેથી, સમાંતર શ્રેણીનું 11 મું પદ 38 અને 16 મું પદ 73 હોય તો 31 મું પદ 178 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = 12 તેમજ a50 = 106, a29 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = a + (3 - 1)d ∴ a = 12 - 2d ___ (1) ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a50 = a + (50 - 1)d ∴ 106 = a + 49d____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ 106 = 12 - 2d + 49d ∴ 106 = 12 + 47d ∴ 106 - 12 = 47d ∴ 94 = 47d ∴ d = 2 d = 2 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 12 - 2 ´ 2 ∴ a = 12 - 4 ∴ a = 8 હવે, આપણે 29 મું પદ શોધવાનું છે. ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a29 = 8 + (29 - 1) (2) ∴ a29 = 8 + 56 ∴ a29 = 64 તેથી, 29 મું પદ 64 છે.
જવાબ : અહીં, a3 = 4 તેમજ a9 = -8, an = 0 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a3 = a + (3 - 1)d
∴ 4 = a + (3 - 1)d
∴ a = 4 - 2d ……………………… (1)
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a9 = a + (9 - 1)d
∴
-8 = a + 8d ………………………..(2)
સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં,
∴ -8 = 4 - 2d + 8d
∴ -8- 4 = 6d
∴ -12 = 6d
∴ d = -2
d = -2 ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 4 - 2 ´ (- 2)
∴ a = 4 + 4
∴ a = 8
હવે આપણે an = 0 માટે n = ? મું પદ શોધવાનું છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 0 = 8 + (n - 1) (-2)
∴ 0 = 8 - 2n + 2
∴ 0 = 10 - 2n
∴ 2n = 10
∴ n = 5
તેથી, શ્રેણીનું 5 મું પદ 0 થાય.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીમાં 17 મું પદ 10 માં પદ કરતાં 7 વધુ છે. ∴ a17 = a10 + 7 ∴ a + 16d = a + 9d + 7 ∴ 16d - 9d = 7 ∴ 7d = 7 ∴ d = 7
જવાબ : અહીં, a = 3 તેમજ d = 15 - 3 = 12, 54 માં પદ કરતાં 132 વધુ માટે n = ?
∴ an = a54 + 132
∴ a + (n - 1)d = a + 53d + 132
∴ 3 + (n - 1) (12) = 3 + 53 (12) + 132
∴ 12n - 9 = 771
∴ 12n = 771 + 9
∴ 12n = 780
∴ n = 
∴ n = 65
જવાબ : ધારોકે પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી = A તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. બીજી સમાંતર શ્રેણી = a તેમજ સામાન્ય તફાવત = d છે. તેમનાં 100 માં પદનો તફાવત 100 છે. ∴ A + 99d - (a + 99d) = 100 ∴ A + 99d - a - 99d = 100 ∴ A - a = 100 તેમનાં 1000 માં પદનો તફાવત, ∴ A + 99d - (a + 999d) = A + 999d - a - 999d = A - a = 100
જવાબ : 7 થી વિભાજ્ય ત્રણ અંકોની સંખ્યા 105, 112, 119, ....., 994 મળે.
અહીં, a = 105 તેમજ d = 112 - 105 = 7, an = 994 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 994 = 105 + (n - 1) (7)
∴ 994 - 105 = (n - 1) (7)
∴ 889 = (n - 1) (7)
∴ 889 = 7n - 7
∴ 889 + 7 = 7n
∴ 7n = 896
∴ n = 
∴ n = 128
તેથી, ત્રણ અંકની 128 સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય થાય.
જવાબ : 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના ગુણિત 12, 16, 20, ......, 248 મળે.
અહીં, a = 12 તેમજ d = 16 - 12 = 4, an = 248 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 248 = 12 + (n - 1) (4)
∴ 248 - 12 = (n - 1) (4)
∴ 236 = (n - 1) (4)
∴ 236 = 4n - 4
∴ 236 + 4 = 4n
∴ 4n = 240
∴ n = 
∴ n = 60
તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના ગુણિત 60 હશે.
જવાબ : સમાંતર શ્રેણી 63, 65, 67, .... માટે a = 63 તેમજ d = 65 - 63 = 2
તેમજ સમાંતર શ્રેણી 3, 10, 17, .... માટે a = 3 તેમજ d = 10 - 3 = 7
હવે બંને શ્રેણી ના n માં પદ સમાન છે.
∴ a + (n - 1)d = a + (n - 1)d
∴63 + (n - 1) (2) = 3 + (n - 1) (7)
∴ 63 + 2n - 2 = 3 + 7n - 7
∴ 61 + 2n = 7n - 4
∴ 2n - 7n = - 4 - 61
∴ -5n = -65
∴ n = 
∴ n = 13
જવાબ : અહીં, a3 = 16, a7 = a5 + 12 ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = a + 2d ∴ 16 = a + 2d ∴ a + 2d = 16_____ (1) 7 મુ પદ 5 માં પદ થી 12 વધુ છે. ∴ a7 = a5 + 12 ∴ a + 6d = a + 4d + 12 ∴ a + 6d - a - 4d = 12 ∴ 2d = 12 ∴ d = 6 d = 6 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a + 2´6 = 16 ∴ a + 12 = 16 ∴ a = 16 - 12 ∴ a = 4 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, ..... મળે.
જવાબ : અહીં, છેલ્લેથી 20 મું પદ શોધવાનું છે. તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઉલટાવતાં નવી સમાંતર શ્રેણી મળે. a = 253 તેમજ d = 3 - 8 = -5, a20 = ? ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a20 = 253 + (20 - 1) (-5) ∴ a20 = 253 + 19´ (-15) ∴ a20 = 253 - 95 ∴ a20 = 158
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીના ચોથા અને આઠમાં પદનો સરવાળો 24 છે. ∴ a4 + a8 = 24 ∴ a + 3d + a + 7d = 24 ∴ 2a + 10d = 24 ∴ a + 5d = 12 ∴ a = 12 - 5d_____ (1) સમાંતર શ્રેણીના છઠ્ઠા અને દસમાં પદનો સરવાળો 44 છે. ∴ a6 + a10 = 44 ∴ a + 5d + a + 9d = 44 ∴ 2a + 14d = 44 ∴ a + 7d = 22_____ (2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴ a + 7d = 22 ∴ 12 - 5d + 7d = 22 ∴ 2d = 22 - 12 ∴ 2d = 10 ∴ d = 5 d = 5 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં, ∴ a = 12 - 5´5 ∴ a = 12 - 25 ∴ a = -13 હવે સમાંતર શ્રેણી ના પ્રથમ ત્રણ પદ -13, -8, -3 મળે.
જવાબ : અહીં, a = 5000 તેમજ d = 250, an = 7000 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 7000 = 5000 + (n - 1) (250)
∴ 7000 - 5000 = 250n - 250
∴ 2000 = 250n - 250
∴ 2000 + 250 = 250n
∴ 2250 = 250n
∴ n = 
∴ n = 11
તેથી, 11 માં વર્ષે એટલે કે 1995 + 11 = 2007 માં તેમને વેતન ₹ 7000 થશે.
જવાબ : અહીં, a = 5 તેમજ d = 1.75, an = 20.75 માટે n = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 20.75 = 5 + (n - 1) (1.75)
∴ 20.75 - 5 = 1.75 (n - 1)
∴ 15.75 = 1.75 (n - 1)
∴ n - 1 = 
∴ n - 1 = 9
∴ n = 9 + 1
∴ n = 10
તેથી, 10 માં અઠવાડિયે તેની બચત₹ 20.75 થશે.
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 2, સામાન્ય તફાવત d = 7 - 2 = 5 અને s10 = ?
∴ sn = 
[2a + (n - 1)d]
∴ s10 = 
[2´2 + (10 - 1)´5]
∴ s10 = 5 [4 + 9´5]
∴ s10 = 5 [4 + 45]
∴ s10 = 5´49
∴ s10 = 245
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -37, સમાન્ય તફાવત d = -33- (-37) = 4 અને s12 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s12 = 
[2´ ( - 37) + (12 - 1)´4]
∴ s12 = 6 [-74 + 11´4]
∴ s12 = 6 [-74 + 44]
∴ s12 = (6´-30)
∴ s12 = -180
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 0.6, સામાન્ય તફાવત d = 1.7 - 0.6 = 1.1, s100 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s100 = 
[2´0.6 + (100 - 1)´1.1]
∴ s100 = 50 [1.2 + 99´1.1]
∴ s100 = 50 [1.2 + 108.9]
∴ s100 = 50´110.1
∴ s100 = 5505
, ........ આપેલ સમાંતર શ્રેણીનો 11 પદ સુધીનો સરવાળો કરો. (સ્વાધ્યાય 5.3)
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 
, સામાન્ય તફાવત d = 
અને s11 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s11 = 
+ (11 - 1)´
]
∴ s11 = 
]
∴ s11 = 
]
∴ s11 = 
∴ s11 = 
, 14....84 આપેલ સમાંતર શ્રેણીના સરવાળો શોધો. (સ્વાધ્યાય 5.3)
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત = 10 - 7 =
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ 84 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ an = 7 + (n - 1)
∴ 84 = 7 + (n - 1)
∴ 84 - 7 = (n - 1)
∴ 77 = (n - 1)
∴ 77´
= n - 1
∴ n - 1 = 11´2
∴ n - 1 = 22
∴ n = 22 + 1
∴n = 23
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 84 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s23 = 
(7 + 84)
∴ s23 = ´91
∴ s23 = 
∴ s23 = 1046
જવાબ : અહીં, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સામાન્ય તફાવત d = 32 - 34 = -2
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ 10 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 10 = 34 + (n - 1) (-2)
∴ 10 - 34 = (n - 1) (-2)
∴ -24 = (n - 1) (-2)
∴ 
= (n - 1)
∴ 12 = n - 1
∴ n = 12 + 1
∴ n = 13
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 10 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s13 = 
(34 + 10)
∴ s13 = ´44
∴ s13 = 23´22
∴ s13 = 286
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સામાન્ય તફાવત d = -8 - (-5) = -3
ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું n મું પદ -230 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ -230 = -5 + (n - 1) (-3)
∴ -230 + 5 = (n - 1) (-3)
∴ -225 = (n - 1) (-3)
= (n - 1)
∴ 75 = n - 1
∴ n - 1 = 75
∴ n = 75 + 1
∴ n = 76
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = -230 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s76 = 
(-5 - 230)
∴ s76 = 38´ (- 235)
∴ s76 = -8930
જવાબ : અહીં, a = 5, d = 3, an = 50 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 50 = 5 + (n - 1) (3)
∴ 50 - 5 = (n - 1) (3)
∴ 45 = (n - 1) (3)
∴ 45 = 3n - 3
∴ 45 + 3 = 3n
∴ 48 = 3n
∴ n = 
∴ n = 16
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 50 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ sn = 
(5 + 50)
∴ sn = 8´55
∴ sn = 440
જવાબ : અહીં, a = 7, a13 = 35 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a13 = 7 + (13 - 1)d
∴ 35 = 7 + 12d
∴ 35 - 7 = 12d
∴ 12d = 28
∴ d = 
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 35 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s13 = (7 + 35)
∴ s13 = 
∴s13 = 13´21
∴ s13 = 273
જવાબ : અહીં, a12 = 37, d = 3 આપેલ છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a12 = a + (12 - 1) (3)
∴ 37 = a + 11´3
∴ 37 - 33 = a
∴ a = 4
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 4, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 37 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ s12 = (4 + 37)
∴ s12 = 6´41
∴ s12 = 246
જવાબ : અહીં, d = 5, s9 = 75 છે.
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s9 = [2a + (9 - 1) (5)]
∴ 75 = [2a + 8 (5)]
∴ 75 = (2a + 40)
∴ 75 = 9a + 180
∴ 9a = 75 - 180
∴ 9a = - 105
∴ a = - 
∴ a = - 
હવે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a9 = - 
+ (9 - 1) (5)
∴ a9 = - + (8) (5)
∴ a9 = - + 40
∴ a9 = - 
∴ a9 = 
∴ a9 = 
જવાબ : અહીં, a = 2, d = 8, sn = 90 છે.
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s9 = [2´2 + (n - 1) (8)]
∴ 90 = [4 + 8n - 8]
∴ 90 = [8n - 4]
∴ 90 = n (4n - 2)
∴ 90 = 4n2 - 2n
∴ 4n2 - 2n - 90 = 0
∴ 2n2 - n - 45 = 0
∴ 2n2 - 10n + 9n - 45 = 0
∴ 2n (n - 5) + 9 (n - 5) = 0
∴ (2n - 5) (n - 5) = 0
∴ 2n - 5 = 0 કે n = 0
∴ 2n = 5 કે n = 5
પરંતુ પદની સંખ્યા અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે,
∴ n = 5
∴ a9 =
હવે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a5 = 2 + (5 - 1) (8)
∴ a5 = 2 + 4 (8)
∴ a5 = 2 + 32
∴ a5 = 34
જવાબ : અહીં, a = 8, an = 62, sn = 210 છે.
∴ sn = (a + an)
∴ 210 = (8 + 62)
∴ 210 = (70)
∴ 210 = n (35)
∴ 
= n
∴ n = 6
હવે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 62 = 8 + (6 - 1)d
∴ 62 - 8 = 5d
∴54 = 5d
∴ d = 
જવાબ : અહીં, an = 4, d = 2, sn = -14 છે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 4 = a + (n - 1) (2)
∴ 4 = a + 2n - 2
∴ 4 + 2 = a + 2n
∴ a + 2n = 6
∴ a = 6 - 2n_____ (1)
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ - 14 = [2a + (n - 1) (2)]
∴ -14 = [2a + 2n - 2]
∴ -14 = n (a + n - 1)
સમીકરણ (1) માંથી ની કિંમત મૂકતાં,
∴ -14 = n (6 - 2n + n - 1)
∴ -14 = n (5 - n)
∴ -14 = 5n - n2
∴ -n2 + 5n + 14 = 0
∴ n2 - 5n - 14 = 0
∴ n2 - 7n + 2n - 14 = 0
∴ n (n - 7) + 2 (n - 7) = 0
∴ (n - 7) (n + 2) = 0
∴ n - 7 = 0 કે n + 2 = ૦
∴ n = 7 કે n = -2
પદની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે
∴ n = 7
n = 7 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 6 - 2n
∴ a = 6 - 2 ´ 7
∴ a = 6 - 14
∴ a = -8
જવાબ : અહીં, a = 3, n = 8, sn = 192 છે.
∴ sn = (a + an)
∴ 192 = 
(a + an)
∴ 192 = 4 (3 + an)
∴ 
= 3 + an
∴ 48 = 3 + an
∴ an = 48 - 3
∴ an = 45
હવે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a8 = 3 + (8 - 1)d
∴ 45 = 3 + 7d
∴ 7d = 45 - 3
∴ 7d = 42
∴ d = 6
જવાબ : અહીં, l = 28, sn = 144, n = 9 છે.
∴ sn = (a + l)
∴ 144 = (a + 28)
∴ 
= a + 28
∴ 32 = a + 28
∴ a = 28 - 32
∴ a = 4
જવાબ : અહીં a = 9, d = 17 - 9 = 8, sn = 636 છે.
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ 636 = [2´9 + (n - 1) (8)]
∴ 636 = [18 + 8n - 8]
∴ 636 = n (9 + 4n - 4)
∴ 636 = n (4n + 5)
∴ 636 = 4n2 + 5n
∴ 4n2 + 5n - 636 = 0
∴ 4n2 + 53n - 48n - 636 = 0
∴ n (4n + 53) - 12 (4n + 53) = 0
∴ (4n + 53) (n - 12) = 0
∴ 4n + 53 = 0 કે n - 12 = 0
∴ 4n = - 53 કે n = 12
∴ n = - 
કે n = 12
પદોની સંખ્યા ઋણ પૂર્ણાંક કે અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે.
∴ n = 12
સમાંતર શ્રેણી 9, 17, 25, .....ના 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.
જવાબ : અહીં, a = 5, l = 45, sn = 400 છે.તેમજ n = ? અને d = ?
∴ sn = (a + l)
∴ 400 = (5 + 45)
∴ 400 = 
∴ 400 = n ´ 25
∴ n = 
∴ n = 16
હવે,
∴an = a + (n - 1)d
∴ 45 = 5 + (16 - 1)d
∴ 45 = 5 + 15d
∴ 45 - 5 = 15d
∴ 40 = 15d
∴ d = 
∴ d = 
જવાબ : અહીં, a = 17, l = 350, d = 9 છે. તેમજ n = ? અને sn = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ 350 = 17 + (n - 1) (9)
∴ 350 = 17 + 9n - 9
∴ 350 = 9n + 8
∴ 350 - 8 = 9n
∴ 342 = 9n
∴ n = 
∴ n = 38
હવે,
∴ sn = (a + l)
∴ s38 = 
(17 + 350)
∴ s38 = 19 ´ 367
∴ s38 = 6973
જવાબ : અહીં, d = 7, a22 = 149, છે. તેમજ s22 = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a22 = a + (22 - 1) (7)
∴ 149 = a + 21 ´ 7
∴ a = 149 - 147
∴ a = 2
હવે,
∴ sn = (a + a22)
∴ sn = 
(2 + 149)
∴ sn = 11´151
∴ sn = 1661
જવાબ : અહીં, a2 = 14, a3 = 18, d = 18 - 14 = 4 છે.તેમજ s51 = ?
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a3 = a + (3 - 1) (4)
∴ 14 = a + 2´4
∴ 14 = a + 8
∴ a = 14 - 8
∴ a = 6
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s51 = 
[2´6 + (51 - 1) (4)]
∴ s51 = [12 + (50) (4)]
∴ s51 = [12 + 200]
∴ s51 = 
∴ s51 = 51 ´ 106
∴ s51 = 5406
જવાબ : 6 થી વિભાજ્ય સંખ્યાઓ 6, 12, 18, .... છે.
અહીં, a = 6, d = 12 - 6 = 6 છે તેમજ s40 = ?
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s40 = 
[2´6 + (40 - 1)6]
∴ s40 = [12 + 39 (6)]
∴ s40 = 20 [12 + 234]
∴ s40 = 20 ´ 246
∴ s40 = 4920
જવાબ : 8 ના ગુણીતો 8, 16, 32, .... છે.
અહીં, a = 8, d = 16 - 8 = 8 છે. તેમજ s15 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s15 = 
[2 ´ 8 + (15 - 1) (8)]
∴ s15 = [16 + (14) (8)]
∴ s15 = [16 + 112]
∴ s15 = 
128
∴ s15 = 15 ´ 64
∴ s15 = 960
જવાબ : 0 અને 15 વચ્ચેના યુગ્મ પૂર્ણાંકો 1, 3, 5, ..., 49 છે.
અહીં, a = 1, d = 3 - 1 = 2, n = 25 છે.તેમજ s25 = ?
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s25 = 
[2´1 + (25 - 1) (2)]
∴ s25 = [2 + (24) (2)]
∴ s25 = [2 + 48]
∴ s25 = 
∴ s25 = 25´25
∴ s25 = 625
જવાબ : દંડની ભરવી પડતી રકમ = 200, 250, 300, .... થશે.
અહીં, a = 200, d = 250 - 200 = 50, n = 30 છે. તેમજ s30 = ?
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s30 = 
[2´200 + (30 - 1) (50)]
∴ s30 = 15 [400 + (29) (50)]
∴ s30 = 15 [400 + 1450]
∴ s30 = 15 [1850]
∴ s30 = 27750
જવાબ : અહીં, n = 7, d = 20 છે. તેમજ s7 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ 700 = [2a + (7 - 1) (20)]
∴ 700 = [2a + 6 (20)]
∴ 700 = [2a + 120]
∴ 700 = 7 (a + 60)
∴ a + 60 = 
∴ a + 60 = 100
∴ a = 100 - 60
∴ a = 40
તેથી, ઇનામો ની શ્રેણી 40, 60, 80, 120, 140, 160 થશે.
પરંતુ ઇનામની રકમ ઉતરતા ક્રમમાં હોય છે તેથી ઇનામો 160, 140, 120, 80, 60, 40, 20 થશે.
જવાબ : દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે.
તેથી, વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 ´ ધોરણ
ધોરણ 1 દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 ´ 1 = 3
ધોરણ 2 દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 ´ 2 = 6
ધોરણ 3 દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3 ´ 3 = 9
તેથી, દરેક ધોરણ દ્વારા વવાતાં વૃક્ષની સંખ્યા = 3, 6, 9, ... થશે.
અહીં, a = 3, d = 6 - 3 = 3, n = 12 છે. તેમજ s12 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s12 = [2 ´ 3 + (12 - 1) (3)]
∴ s12 = 6 [6 + (11) (3)]
∴ s12 = 6 [6 + 33]
∴ s12 = 6 ´ 39
∴ s12 = 234
જવાબ : અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 121, સામાન્ય તફાવત d = 117 - 121 = - 4 છે.
પ્રથમ પદ ઋણ થવા માટે an < 0 લેવું પડે.
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a + (n - 1)d < 0
∴ 121 + (n - 1) (- 4) < 0
∴ 121 - 4n + 4 < 0
∴ 125 - 4n < 0
∴ 125 - 4n < 0
∴ 125 < 4n
∴ 
< n
∴31. 25 < n
∴ n > 32
સમાંતર શ્રેણી 121, 117, 113, ...નું પ્રથમ ઋણ પદ 32 મુ પદ હશે.
જવાબ : અહીં, a = 1 તેમજ d = 1
આપણે એવી સંખ્યા x શોધવાની છે કે જેથી તેની આગળના મકાનના ક્રમાંકોનો સરવાળો તે પછીના
મકાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા જેટલો થાય.
sx - 1 = s49 - sx
∴ 
[2 ´ 1 + (x - 1 - 1) (1)] = 
[2´1 + (49 - 1) (1)] - 
[2´1 + (x - 1) (1)]
∴ [2 + x - 2] = [2 + (48) (1)] - [2 + x - 1]
∴ (x) = [2 + 48] - [x + 1]
∴ (x - 1)x = 49 ´ 50 - x (x + 1)
∴ x2 - x = 2450 - x2 - x
∴ x2 - x + x2 + x = 2450
∴ 2x2 = 2450
∴ x2 = 
∴ x2 = 1225
∴ x = 35
x નું મુલ્ય 35 થશે.
જવાબ : અર્ધવર્તુળનો પરીઘ = (2pr) = pr
અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.5 સેમી, 2.0 સેમી.....છે.
તેથી પ્રથમ કુંતલની લંબાઈ l1 = 0.5p
બીજા કુંતલની લંબાઈ l2 = 1.5p
ત્રીજા કુંતલની લંબાઈ l3 = 2.0p
ચોથા કુંતલની લંબાઈ l4 = 2.5p
અહીં, a = 0.5p, d = 1.5p - 0.5p = 0.5p, n = 13 છે. તેમજ s13 = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s13 = 
[2´0.5p + (13 - 1) (0.5p)]
∴ s13 = [2´0.5p + (12) (0.5p)]
∴ s13 = 13 [0.5p + 6 (0.5p)]
∴ s13 = 13 [0.5p + 3.0p]
∴ s13 = 13 (3.5p)
∴ s13 = 13 ´ 3.5 ´ 
∴ s13 = 13 ´ 0.5 ´ 22
∴ s13 = 143 સેમી
જવાબ : હારમાં ભારીઓની સંખ્યા 20, 19, 18, .... થશે.
અહીં, a = 20, d = 19 - 20 = -1 છે. તેમજ n = ? , sn = 200
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ sn = [2 ´ 20 + (n - 1) (-1)]
∴ sn = [40 - n + 1]
∴ 200´2 = n [41 - n]
∴ 400 = 41n - n2
∴ -n2 + 41n - 400 = 0
∴ n2 - 41n + 400 = 0
∴ n2 - 16n - 25n + 400 = 0
∴ n (n - 16) - 25 (n - 16) = 0
∴ (n - 16) (n - 25) = 0
∴ n - 16 = 0 કે n - 25 = 0
∴ n = 16 કે n = 25
જો n = 16 હોય તો,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a16 = 20 + (16 - 1) (-1)
∴ a16 = 20 + 15 (-1)
∴ a16 = 20 - 15
∴ a16 = 5
જો n = 25 હોય તો,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a25 = 20 + (25 - 1) (-1)
∴ a25 = 20 + 25 ( - 1)
∴ a25 = 20 - 25
∴ a25 = -5 જે શક્ય નથી.
તેથી, 200 ભારીઓ ગોઠવવા માટે 16 હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં 5 ભારીઓ થશે.
જવાબ : 
પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા માટે કાપવું પડતું અંતર = 2 ´ 5 = 10
બીજું બટાકું ઉપાડવા માટે કાપવું પડતું અંતર = 2´ (5 + 3) = 2 ´ 8 = 16
ત્રીજું બટાકું ઉપાડવા માટે કાપવું પડતું અંતર = 2´ (5 + 6) = 2 ´ 11 = 22
તેથી સમાંતર શ્રેણી 10, 16, 22, .... મળે.
અહીં, a = 10, d = 16 - 10 = 6 છે. તેમજ n = 10, sn = ?
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s10 = 
[2 ´ 10 + (10 - 1) (6)]
∴ s10 = 5 [20 + (9) (6)]
∴ s10 = 5 [20 + 54]
∴ s10 = 5 ´ 74
∴ s10 = 370 મીટર.
મીટર હોય, તો પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ કેટલી હશે તે મેળવો. (સ્વાધ્યાય 5.4)
જવાબ : 
અહીં, પગથિયાંની સંખ્યા = 
+ 1 = 10 + 1 = 11 થશે.
a = 25 તેમજ l = 45 છે.
તેથી, a11 = 45 થશે.
an = a + (n - 1)d
∴ a11 = 25 + (11 - 1)d
∴ 45 = 25 + 10d
∴ 45 - 25 = 10d
∴ 20 = 10d
∴ 
= d
∴ 2 = d
∴ d = 2
હવે, પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ,
sn = [2a + (n - 1)d]
∴s11 = 
[2 ´ 25 + (11 - 1) (2)]
∴ s11 = [50 + 10 (2)]
∴ s11 = [50 + 20]
∴ s11 = ´ 70
∴ s11 = 11 ´ 35
∴ s11 = 385
તેથી, પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ 385 સેમી હશે.
, 3, 
… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.
જવાબ : a2 – a1 = – 2 =
=
a4 - a3 = – 3 =
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 
+ = 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 4 + = 
સાતમું પદ a7 = a6 + d = + = 5
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 4, , અને 5 છે.
જવાબ : a2 – a1 = -3.2 – (-1.2) = -2
a3 – a2 = -5.2 – (-3.2) = -2
a4 - a3 = -7.2 – (-5.2) = -2
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = -2
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -7.2 - 2.0 = -9.2
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -9.2 – 2.0 = -11.2 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -11.2 - 2.0 = -13.2 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -9.2, -11.2 , અને -13.2 છે.
જવાબ : a2 – a1 = -6 – (-10) = 4
a3 – a2 = -2 – (-6) = 4
a4 - a3 = 2 – (-2) = 4
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 4
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 2 + 4 = 6
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 10 + 4 = 14
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 6, 10, અને 14 છે.
, 3 +2, 3 + 3 … આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.
જવાબ : a2 – a1 = 3 + – 3 =
– 3 + =
a4 - a3 = 3 + 32 – 3 + 2=
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 3 + 3 + = 3 + 4
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 3 + 4 + = 3 + 5
સાતમું પદ a7 = a6 + d = 3 + 5 + = 3 + 6
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 3 + 4, 3 + 5, અને 3 + 6 છે.
જવાબ : a2 – a1 = -4 – 0 = -4
a3 – a2 = -8 – (-4) = -4 a4 - a3 = -12 – (-8) = -4 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = -4 આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = -12 - 4 = -16 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = -16 - 4 = -20 સાતમું પદ a7 = a6 + d = -20 - 4 = -24 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ -16, -20, અને -24 છે. , - 12 , - 12 , - 12… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.
જવાબ : a2 – a1 = - – (- 12) = 0
– (- ) = 0
a4 - a3 = - – (- ) = 0
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 0
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = - + 0 = -
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = - + 0 = -
સાતમું પદ a7 = a6 + d = - + 0 = -
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ - , - અને - છે.
જવાબ : a2 – a1 = 2a – a = a
a3 – a2 = 3a – 2a = a a4 - a3 = 4a – 3a = a અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = a આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 4a + a = 5a છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 5a + a = 6a સાતમું પદ a7 = a6 + d = 6a + a = 7a સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 5a, 6a, અને 7a છે., 
, 
, 
… આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે કે નહી? જો સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત d અને પછીના ત્રણ પદ લખો.
જવાબ : a2 – a1 = - =2 - =
a3 – a2 = - = - =
a4 - a3 = - = - =
અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d =
આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે.
પાંચમું પદ a5 = a4 + d = + = 4 + = 5 = 
છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = + = 5 + = 6 = 
સાતમું પદ a7 = a6 + d = + = 6 + = 7 = 
સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ , , અને છે.
જવાબ : a2 – a1 = 52 – 12 = 25 - 1 = 24
a3 – a2 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24 a4 - a3 = 73 – 72 = 73 – 49 = 24 અહીં બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે. d = 24 આથી આપેલી સ્થિતિ સમાંતર શ્રેણી છે. પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે. પાંચમું પદ a5 = a4 + d = 73 + 24 = 97 છઠ્ઠું પદ a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121 સાતમું પદ a7 = a6 + d = 121 + 24 = 145 સમાંતર શ્રેણીના પછીનાં ત્રણ પદ 97, 121, અને 145 છે.જવાબ : અહીં, a = 21, d = 18 – 21 = -3
ધારો કે an = -81 હવે, આપણે nનું મુલ્ય શોધવું છે. an = a + (n – 1)d હોવાથી, -81 = 21 + (n – 1) X (-3) 81 = 24 – 3n -105 = -3n n = 35 આથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 35મું પદ -81 થાય. હવે, આપણે એ જાણવું છે કે an = 0 થાય તેવો ધન પૂર્ણાંક n શક્ય છે? જો આવો ધન પૂર્ણાંક n શકત હોય તો, 21 + (n – 1) (-3) = 0 3(n – 1) = 21 n = 8 આથી, આઠમું પદ 0 બને.જવાબ : અહીં,
a2 – a1 = 11 – 5 = 6, a3 – a2 = 17 – 11 = 6, a4 – a3 = 23 – 17 = 6, ak+1 – ak નું મુલ્ય k = 1, 2, 3 વગેરે માટે સમાન હોવાથી આપેલ સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી છે, a = 5 અને d = 6. ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું nમુ પદ 301 છે. આપણે જાણીએ છીએ કે, an = a + (n – 1)d હોવાથી, 301 = 5 + (n – 1) X 6 301 = 6n – 1 n =
= 
પરંતુ, n ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોવો જોઈએ.
આથી, આપેલ યાદીનું કોઈ પણ પદ 301 ના હોઈ શકે.
જવાબ : અહીં, a = 10, d = 7 – 10 = -3, l = -62
l = a + (n – 1)d છેલ્લેથી 11મું પદ શોધવા, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં કેટલા પદ છે તે શોધીશું. -62 = 10 + (n-1)(-3) -72 = (n-1)(-3) n - 1 = 24 n = 25 આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં 25 પદ છે. છેલ્લેથી 11મું પદ એ 15મું પદ બને, આથી, a15 = 10 + (15 – 1)(-3) = 10 – 42 = -32 આથી, છેલ્લેથી 11મું પદ -32 છે.જવાબ : આપણે જાણીએ છીએ કે, સાદા વ્યાજની ગણતરી માટે
સાદું વ્યાજ =
સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
આથી,
પ્રથમ વર્ષના અંતે વ્યાજ = 
= 80
બીજા વર્ષના અંતે વ્યાજ = 1000 X 8 X 2 100
= 160
ત્રીજા વર્ષના અંતે વ્યાજ = 
= 240
આ જ રીતે, ચોથા, પાંચમા વગેરે વર્ષ માટે વ્યાજ મેળવી શકાય.
આથી, પહેલા, બીજા, ત્રીજા .... વર્ષના અંતે મળતા વ્યાજ 80, 160, 240 રૂપિયા છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે કારણ કે બે ક્રમિક પદનો તફાવત 80 રૂપિયા છે.
અથાર્ત d = 80, વળી a = 80,
આથી ૩૦ વર્ષના અંતે મળતું વ્યાજ શોધવા આપણે a30 શોધીશું.
a30 = a + (30-1)d = 80 + 29 X 80 = 2400
આમ, ૩૦ વર્ષના અંતે મળતું વ્યાજ 2400 રૂપિયા હશે.
જવાબ : દરેક વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા સમાન રીતે વધતી હોવાથી,
પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય... વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા એક સમાંતર શ્રેણી બનાવશે. ધારો કે nમાં વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા an છે. આથી, a3 = 600 અને a7 = 700 અથવા a + 2d = 600 અને a + 6d = 700 સમીકરણો ઉકેલતા, આપણને d = 25 અને a = 550 મળે છે. આથી, પ્રથમ વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા 550 હશે. (ii) હવે, a10 = a + 9d = 550 + 9 X 25 = 775 આથી, 10માં વર્ષે ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા 775 છે. (iii) વળી, S7 =
[2 X 550 + (7 – 1) X 25]
= 72 [1100 + 150]
= 4375
આથી, પ્રથમ 7 વર્ષમાં ઉત્પાદિત ટીવીની કુલ સંખ્યા 4375 છે.
જવાબ : અહીં, a2 = 13, a4 = 3, a = ?, an = ?
an = a + (n – 1)d a2 = a + (2 – 1)d 13 = a + d a = 13 – d ______(1) an = a + (n – 1)d a4 = a + (4 – 1)d 3 = a + 3d _____(2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, 3 = a + 3d 3 = 13 – d + 3d d = -5 હવે, d = -5 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતા, a = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18 તેથી, a = 18 હવે ત્રીજા પદ માટે an = a + (n – 1)d a3 = 18 + (3 – 1)(-5) a3 = 18 – 10 a3 = 8 તેથી સમાંતર શ્રેણી 18, 13, 10, 3 મળશે.
અહીં, a2 = 5, a4 = 9, a2 = ?, a3 = ?
જવાબ : an = a + (n – 1)d
a4 = 5 + (4 – 1)d 9 = 5 + 3d
5 + 3d = 
3d = – 5 = 
d = 
બીજા પદ માટે,
an = a + (n – 1)d
a2 = 5 + (2 – 1)(
)
a2 = 5 +
a2 = 
= 6
તેમજ, ત્રીજા પદ માટે,,
an = a + (n – 1)d
a3 = 5 + (3 – 1)()
a3 = 5 + 2 ()
a3 = 5 + 3
a3 = 8
તેથી, સમાંતર શ્રેણી 5, 6, 8, 9 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = -4, a5 = 6, a2 = ?, a3 = ?, a4 = ?
an = a + (n – 1)d 6 = -4 + (6 – 1)d 6 = -4 + 5d 5d = 4 + 6 d = 2 બીજા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a2 = -4 + (2 – 1)2 a2 = -4 + 2 a2 = -2 ત્રીજા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a3 = -4 + (3 – 1)2 a3 = -4 + 2 X 2 a3 = -4 + 4 a3 = 0 ચોથા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a4 = -4 + (4 – 1)2 a4 = -4 + 3 X 2 a4 = -4 + 6 a4 = 2 પાંચમાં પદ માટે an = a + (n – 1)d a5 = -4 + (5 – 1)2 a5 = -4 + 4 X 2 a5 = -4 + 8 a5 = 4 તેથી, સમાંતર શ્રેણી -4, -2, 0, 2, 4, 6 મળશે.જવાબ : અહીં, a = ?, a2 = 38, a3 = ?, a4 =?, a5 = -22
an = a + (n – 1)d 38 = a + (2 – 1)d 38 = a + d a = 38 – d _______(1) an = a + (n – 1)d -22 = a + (6 – 1)d -22 = a + 5d ____(2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, -22 = 38 – d + 5d -22 – 38 = 4d 4d = -60 d = -15 હવે, d = -15 કિંમત સમીકરણ (1) મૂકતાં a = 38 – (-15) a = 38 + 15 a = 53 ત્રીજા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a3 = 53 + (3 – 1)(-15) a3 = 53 + 2 X (-15) a3 = 53 – 30 a3 = 23 ચોથા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a4 = 53 + (4 – 1)(-15) a4 = 53 + 3X (-15) a4 = 53 – 45 a4 = -7 પાંચમા પદ માટે, an = a + (n – 1)d a5 = 53 + (5 – 1)(-15) a5 = 53 + 4X (-15) a5 = 53 – 60 a5 = -7 તેથી, સમાંતર શ્રેણી 53, 38, 23, -7, -22 મળશે.જવાબ : અહીં a11 = 38 તેમજ a16 = 73, a31 = ?
an = a + (n – 1)d a11 = a + (11 – 1)d 38 = a + 10d a = 38 – 10d ______(1) an = a + (n – 1)d a16 = a + (16 – 1)d 73 = a + 15d ______(2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં , 73 = 38 - 10d + 15d 73 – 38 = 5d 35 = 5d d = 7 d = 7 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a = 38 – 10 X 7 a = 38 – 70 a = -32 હવે, આપણે 31મું પદ શોધવાનું છે. an = a + (n – 1)d a31 = -32 + (31 – 1)(7) a31 = -32 + 210 a31 = 178 તેથી, સમાંતર શ્રેણીનું 11મું પદ 38 અને 16મું પદ 73 હોય તો 31મું પદ 178 છે.જવાબ : an = a + (n – 1)d
a3 = a + (3 – 1)d a = 12 – 2d ________(1) an = a + (n – 1)d a50 = a + (50 – 1)d 106 = a + 49d _________(2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, 106 = 12 – 2d + 49d 106 = 12 + 47d 106 - 12 = 47d 94 = 47d d = 2 d = 7 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a = 12 – 2 X 2 a = 12 – 4 a = 8 હવે, આપણે 19મું પદ શોધવાનું છે. an = a + (n – 1)d a29 = 8 + (29 – 1)(2) a29 = 8 + 56 a29 = 64 તેથી, તેનું 29 મું પદ 64 છે.જવાબ : an = a + (n – 1)d
a3 = a + (3 – 1)d 4 = a + (3 – 1)d a = 4 -2d ________(1) an = a + (n – 1)d a9 = a + (9 – 1)d -8 = a + 8d _____(2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, -8 = 4 – 2d + 8d -8 – 4 = 6d -12 = 6d d = -2 d = -2 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a = 4 – 2 X -2 a = 4 + 4 a + 8 હવે આપણે an = 0 માટે n = ?મું પદ શોધવાનું છે. an = a + (n – 1)d 0 = 8 + (9 – 1)(-2) 0 = 8 – 2n + 2 0 = 10 – 2n 2n = 10 n = 5 તેથી, શ્રેણીનું 5મું પદ 0 થાય.જવાબ : a4 + a8 = 24
a + 3d + a + 7d = 24 2a + 10d = 24 a + 5d = 12 a = 12 - 5d ……… (1) સમાંતર શ્રેણીના છઠ્ઠા અને દસમાં પદનો સરવાળો 44 છે. a6 + a10 = 44 a + 5d + a + 9d = 44 2a + 14d = 44 a + 7d = 22 ……… (2) સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં, a + 7d = 22 12 = 5d + 7d = 22 2d = 22 – 12 2d = 10 d = 5 d = 5 કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, a = 12 – 5 X 5 a = 12 – 25 a = -13 હવે, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ -13, -8, -3 મળે.
, 14, … , 84 નો સરવાળો શોધો. અહીં,
જવાબ : સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સામાન્ય તફાવત d = 10 – 7 = 7,
84 = 7 + (n – 1)
84 - 7 = (n – 1)
77 = (n – 1)
77 X = n – 1
n – 1 = 11 X 2
n – 1 = 22
n = 22 + 1
n = 23
અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 84 છે.
Sn = [a + l]
S23 = 
[7 + 84]
S23 = X 91
S23 = 
S23 = 1046
જવાબ : અહીં,
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સામાન્ય તફાવત d = 32 – 34 =-2 ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ 10 છે. an = a + (n – 1)d 10 = 34 + (n – 1)(-2) 10 - 34 = (n – 1)(-2) - 24 = (n – 1)(-2)
= (n – 1)
12 = n – 1
n – 1 = 12
n = 12 + 1
n = 13
અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 34, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 10 છે.
Sn = [a + l]
S13 = [34 + 10]
S13 = X 44
S13 = 23 X 22
S23 = 286
જવાબ : અહીં,
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સામાન્ય તફાવત d = -8 – (-5) =3 ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ -230 છે. an = a + (n – 1)d -230 = -5 + (n – 1)(-3) -230 + 5 = (n – 1)(-3) -225 = (n – 1)(-3)
= (n – 1)
75 = n – 1
n – 1 = 75
n = 75 + 1
n = 76
અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = -5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = -230 છે.
Sn = [a + l]
S76 = 
[-5 - 230]
S76 = 38 X (-235)
S76 = -8930
જવાબ : અહીં, a = 5 , d = 3, an = 50
an = a + (n – 1)d 50 = 5 + (n – 1)(3) 50 - 5 = (n – 1)(3) 45 = (n – 1)(3)
= (n – 1)
15 = n – 1
n – 1 = 15
n = 15 + 1
n = 16
અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 5, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 50 છે.
Sn = [a + l]
S16 = 
[5 + 50]
S16 = 8 X 55
S16 = 440
જવાબ : અહીં, a3 = 15, S12 = 125
an = a + (n – 1)d a3 = a + (3 – 1)d 15 = a + 2d a = 15 – 2d … … … (1) હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S10 = [2a + (10 – 1)d]
125 = 5 [2a + 9d]
= 2a + 9d
25 = 2a + 9d … … … (2)
સમીકરણ (2) માં સમીકરણ (1)ની કિંમત મૂકતાં...
2 ( 15 – 2d) + 9d = 25
30 – 4d + 9d = 25
5d = 25 – 30
5d = -5
d = -1
સમીકરણ 1માં d = -1 મૂકતાં
a = 15 – 2d
a = 15 – 2 X (-1)
a = 15 + 2
a = 17
હવે,
a10 = 17 + (10 -1)(-1)
a10 = 17 + 9(-1)
a10 = 17 - 9
a10 = 8
જવાબ : અહીં, d = 3 , a12 = 37
an = a + (n – 1)d a12 = a + (12 – 1) 3 37 = a + 11 X 3 37 = a + 33 37 – 33 = a a = 4 અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 4, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 37 છે. Sn = [a + l]
S12 = [4 + 37]
S12 = 6 X 41
S12 = 246
જવાબ : અહીં, a = 7 , a13 = 35
an = a + (n – 1)d an = 7 + (13 – 1)d 35 = 7 + 12d 35 - 7 = 12d 12d = 28 d =
d = 
અહીં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 7, સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l = 35 છે.
Sn = [a + l]
S13 = [7 + 35]
S13 = X 42
S13 = 13 X 21
S13 = 273
જવાબ : અહીં,
a = 15, d = 8, Sn = 90 Sn = [2a + (n – 1)d]
90 = [2 X 2 + (n – 1)8]
90 = n2 [4 + 8n - 8]
90 = [8n - 4]
90 = n (4n - 2)
90 = 4n2 – 2n
4n2 – 2n – 90 = 0
2n2 – n – 45 = 0
2n2 – 10n + 9n - 45 = 0
2n(n - 5) + 9(2n - 5) = 0
(2n - 5) (n - 5) = 0
2n – 5 = 0 કે n – 5 = 0
2n = 5 કે n = 5
n = 
કે n = 5
પરંતુ પદની સંખ્યા અપૂર્ણાંક ન હોઈ શકે, 85
n = 5
a9 = 
હવે,
an = a + (n – 1)d
a5 = 2 + (5 – 1)8
a5 = 2 + 4(8)
a5 = 2 + 32
a5 = 34
જવાબ : અહીં, d = 15, S9 = 75
Sn = [2a + (n – 1)d]
S9 = [2a + (9 – 1)(5)]
75 = [2a + 8(5)]
75 = [2a + 40]
75 = 9a + 180
9a = 75 - 180
9a = - 105
a = - 
a = - 
હવે,
an = a + (n – 1)d
a9 = - + (9 – 1)(5)
a9 = - 
+ 8(5)
a9 = - + 40
a9 = - + 
a9 = 
a9 = 
જવાબ : અહીં, an = 4, d = 2, Sn = -14
an = a + (n – 1)d 4 = a + (n – 1)2 4 = a + 2n – 2 4 + 2 = a + 2n a + 2n = 6 a = 6 – 2n … … … … (1) હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
-14 = [2a + (n – 1)2]
-14 = [2a + 2n –2]
-14 = n(a + n – 1)
સમીકરણ 1માંથી aની કિંમત મૂકતાં,
-14 = n(6 – 2n + n – 1)
-14 = n(5 – n)
-14 = 5n – n2
-n2 + 5n + 14 = 0
n2 - 5n - 14 = 0
n2 - 7n + 2n - 14 = 0
n(n – 7) + 2 (n - 7) =
n – 7 = 0 કે n + 2 = 0
n = 7 કે n = -2
પદની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.
n = 7
કિમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
a = 6 – 2n
a = 6 -2 X 7
a = 6 – 14
a = -8
જવાબ : અહીં,
a17 = 289, S7 = 49, Sn = ? Sn = [2a + (n – 1)d]
S7 = [2a + (7 – 1)d]
49 = [2a + 6d]
49 = 7 (a + 3d)
a + 3d = 7
a = 7 – 3d … … … (1)
તેમજ,
Sn = [2a + (n – 1)d]
S17 = 
[2a + (17 – 1)d]
289 = [2a + 16d]
289 = 17[a + 8d]
17 = a + 8d
ઉપરના સમીકરણમાં સમીકરણ (1)ની કિંમત મૂકતાં,
17 = a + 8d
17 = 7 – 3d + 8d
17 – 7 = 5d
10 = 5d
d = 
d = 2
d = 2 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
a = 7 – 3d
a = 7 – 3 X 2
a = 7 – 6
a = 1
હવે,
Sn = [2a + (n – 1)d]
Sn = [2 X 1 + (n – 1)2]
Sn = [2 + 2n – 1]
Sn = [2n]
Sn = n2
જવાબ : an = 3 + 4n
અહીં, a = 1 મૂકતાં, a1 = 3 + 4 X 1 =3 + 4 = 7 અહીં, a = 2 મૂકતાં, a2 = 3 + 4 X 2 =3 + 8 = 11 અહીં, a = 3 મૂકતાં, a3 = 3 + 4 X 3 =3 + 12 = 15 અહીં, a = 4 મૂકતાં, a4 = 3 + 4 X 4 =3 + 16 = 19 બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત, d = a2 – a1 = 11 - 7 = 4 d = a3 – a2 = 15 - 11 = 4 d = a4 – a3 = 19 - 15 = 4 તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે. હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S15 = [2 X 7 + (15 – 1)4]
S15 = [14 + 14 X 4]
S15 = [14 + 56]
S15 = X 70
S15 = 15 X 35
S15 = 525
જવાબ : an = 9 - 5n
an = 3 + 4n અહીં, a = 1 મૂકતાં, a1 = 9 - 5 X 1 = 9 - 5 = 4 અહીં, a = 2 મૂકતાં, a2 = 9 - 5 X 2 = 9 - 10 = -1 અહીં, a = 3 મૂકતાં, a3 = 9 - 5 X 3 = 9 - 15 = -6 અહીં, a = 4 મૂકતાં, a4 = 9 - 5 X 4 = 9 - 20 = -11 બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત, d = a2 – a1 = -1 - 4 = -5 d = a3 – a2 = -6 + 1 = -5 d = a4 – a3 = -11 + 6 = -5 તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે. હવે, Sn = [2a + (n – 1)d]
S15 = [2 X 4 + (15 – 1)(-5)]
S15 = [8 + 14 X (-5)]
S15 = [8 - 70]
S15 = X (-62)
S15 = 15 X (-31)
S15 = -465
જવાબ : 4n – n2
અહીં, n = 1 મૂકતાં, S1 = 4 X 1 – (1)2 = 4 – 1 = 3 અહીં, n = 2 મૂકતાં, S1 = 4 X 2 – (2)2 = 8 – 4 = 4 a1 + a2 = 4 a2 = 4 – 3 a2 = 1 તેથી બીજું પદ 1 હશે. સામાન્ય તફાવત d = a2 – a1 = 1 - 3 = -2 તેથી, 10મું પદ, a10 = a + 9d a10 = 3 + 9(-2) a10 = 3 – 18 a10 = – 15 તેથી, nમું પદ, an = a + 9d an = 3 + (n - 1) (-2) an = 3 - 2n + 2 an = 5 - 2nજવાબ : અહીં, a2 = 13, a4 = 3, a = ?, a3 = ?
∴ an = a + (n - 1)d ∴ a2 = a + (2 - 1)d ∴ 13 = a + (2 - 1)d ∴ 13 = a + d ∴ a = 13 - d …………… (1) ∴
an = a + (n - 1) d
∴ a4 = a + (4 - 1) d
∴ a4 = a + 3d
∴ 3 = a + 3d ……………(2)
સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં,
∴ 3 = a + 3d
∴ 3 = 13 - d + 3d
∴ d = - 5
d = - 5
હવે, d = - 5 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 13 - (-5) = 13 + 5 = 18
તેથી, a = 18
હવે, ત્રીજા પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1) d
∴ a3 = 18 + (3 - 1) (- 5)
∴ a3 = 18 - 10
∴ a3 = 8
તેથી, સમાંતર શ્રેણી 18, 13, 10, 3 મળશે.
આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં ખૂટતા પદ શોધો.(સ્વાધ્યાય 5.2)
જવાબ : અહીં, a = 5, 
a4 = 9, a2 = ?, a3 = ?
= 5 + 3d
∴ 5 + 3d = 
∴ 3d = - 5 = 
∴ d = 
બીજા પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a2 = 5 + (2 - 1)()
∴ a2 = 5 +
∴ a2 = 
= 6
તેમજ, ત્રીજા પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a3 = 5 + (3 - 1)()
∴ a3 = 5 + 2 ()
∴ a3 = 5 + 3
∴ a3 = 8
તેથી, સમાંતર શ્રેણી 5, 6, 8, 9 મળશે.
જવાબ : અહીં, a = - 4, a5 = 6, a2 = ?, a3 = ?, a4 = ?
∴ an = a + (n - 1) d ∴ 6 = - 4 + (6 - 1) d ∴ 6 = - 4 + 5d ∴ 5d = 4 + 6 ∴ d = 2 બીજા પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a2 = - 4 + (2 - 1)2 ∴ a2 = - 4 + 2 ∴ a2 = - 2 ત્રીજા પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = - 4 + (3 - 1)2 ∴ a3 = - 4 + 2 ´ 2 ∴ a3 = - 4 + 4 ∴ a3 = 0 ચોથા પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a4 = - 4 + (4 - 1)2 ∴ a4 = - 4 + 3 ´ 2 ∴ a4 = - 4 + 6 ∴ a4 = 2 પાંચમાં પદ માટે, ∴ an = a + (n - 1)d ∴ a5 = - 4 + (5 - 1)2 ∴ a5 = - 4 + 4 ´ 2 ∴ a5 = - 4 + 8 ∴ a5 = 4 તેથી, સમાંતર શ્રેણી - 4, -2, 0, 2, 4, 6 મળશે.જવાબ : અહીં, a = ?, a2 = 38, a3 = ?, a4 = ?, a5 = -22
∴ an = a + (n - 1)d ∴ 38 = a + (2 - 1)d ∴ 38 = a + d ∴ a = 38 - d ……………….1) ∴ an = a + (n - 1)d ∴ -22 = a + (6 - 1)d ∴ -22 = a + 5d ……………(2) સમીકરણ (1) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, ∴
-22 = 38 - d + 5d
∴ -22 - 38 = 4d
∴ 4d = - 60
∴ d = -15
હવે d = -15 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 38 - (-15)
∴ a = 38 + 15
∴ a = 53
ત્રીજા પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a3 = 53 + (3 - 1)(-15)
∴ a3 = 53 + 2 ´ (-15)
∴ a3 = 53 - 30
∴ a3 = 23
ચોથા પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a4 = 53 + (4 - 1)(-15)
∴ a4 = 53 + 3 (-15)
∴ a4 = 53 - 45
∴ a4 = -7
પાંચમાં પદ માટે,
∴ an = a + (n - 1)d
∴ a5 = 53 + (5 - 1)(-15)
∴ a5 = 53 + 4(- 15)
∴ a5 = 53 - 60
∴ a5 = -7
તેથી, સમાંતર શ્રેણી 53, 38, 23, -7, -22 મળશે.
જવાબ : અહીં, a3 = 15, s10 = 125 છે.
∴ an = a + (n - 1)d ∴ a3 = a + (3 - 1)d ∴ 15 = a + 2d ∴ a = 15 - 2d ………….(1) હવે, ∴ s10 =
[2a + (10 - 1)d]
∴ 125 = 5 [2a + 9d]
∴ 
= 2a + 9d
∴ 25 = 2a + 9d
ઉપરના સમીકરણમાં a = 15 - 2d મૂકતાં,
∴ 2(15 - 2d) + 9d = 25
∴ 30 - 4d + 9d = 25
∴ 5d = 25 - 30
∴ 5d = -5
∴ d = -1
d = -1 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 15 - 2d
∴ a = 15 – 2 ´ (-1)
∴ a = 15 + 2
∴ a = 17
હવે,
∴ a10 = 17 + (10 - 1)(-1)
∴ a10 = 17 + 9( -1)
∴ a10 = 17 - 9
∴ a10 = 8
જવાબ : અહીં, s7 = 49, s17 = 289 છે.તેમજ sn = ?
∴ sn =
[2a + (n - 1)d]
∴ s7 = 
[2a + (7 - 1)d]∴ 49 =
[2a + 6d]
∴ 49 = 7(a + 3d)
∴ a + 3d = 7
∴ a = 7 - 3d ……………..(1)
તેમજ,
∴ sn = 
[2a + (n - 1)d]
∴ s17 = 
[2a + (17 - 1)d]
∴ 289 = [2a + 16d]
∴ 289 = 17 [a + 8d]
∴ 17 = a + 8d
ઉપરના સમીકરણ માં સમીકરણ (1) ની કિંમત મૂકતાં,
∴ 17 = a + 8d
∴ 17 = 7 - 3d + 8d
∴ 17 - 7 = 5d
∴ 10 = 5d
∴ d = 
∴ d = 2
d = 2 કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 7 - 3d
∴ a = 7 – 3 ´ 2
∴ a = 7 - 6
∴ a = 1
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ sn = [2´1 + (n - 1)(2)]
∴ sn = [2 + 2n - 2]
∴ sn = [2n]
∴ sn = n2
જવાબ : (1) an = 3 + 4n
અહીં, a = 1 મૂકતાં, a1 = 3 + 4 ´ 1 = 3 + 4 = 7 અહીં, a = 2 મૂકતાં, a1 = 3 + 4 ´ 2 = 3 + 8 = 11 અહીં, a = 3 મૂકતાં, a1 = 3 + 4 ´ 3 = 3 + 12 = 15 અહીં, a = 4 મૂકતાં, a1 = 3 + 4 ´ 4 = 3 + 16 = 19 બે ક્રમિક પદો વચ્ચે તફાવત d = a2 - a1 = 11 - 7 = 4 d = a3 - a2 = 15 - 11 = 4 d = a4 - a3 = 19 - 15 = 4 તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે. હવે, ∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s15 = 
[2´7(15 - 1)(4)]
∴ s15 = [14 + (14)(4)]
∴ s15 = [14 + 56]
∴ s15 = ´ 70
∴ s15 = 15 ´ 35
∴ s15 = 525
(2) an = 9 - 5n
an = 3 + 4n
અહીં, a = 1 મૂકતાં,
a1 = 9 – 5 ´ 1 = 9 - 5 = 4
અહીં, a = 2 મૂકતાં,
a1 = 9 – 5 ´ 2 = 9 - 10 = - 1
અહીં, a = 3 મૂકતાં,
a1 = 9 – 5 ´ 3 = 9 - 15 = -6
અહીં, a = 4 મૂકતાં,
a1 = 9 – 5 ´ 4 = 9 - 20 = -11
બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત
d = a2 - a1 = -1 - 4 = -5
d = a3 - a2 = -1 - 4 = -5
d = a4 - a3 = -11 - (-6) = -5
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે.
હવે,
∴ sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s15 = [2 ´ 4 + (15 - 1)(-5)]
∴ s15 = [8 + (14)(-5)]
∴ s15 = [8 - 70]
∴ s15 = (-62)
∴ s15 = 15 (-31)
∴ s15 = - 465
જવાબ : 4n - n2
અહીં, n = 1 મૂકતાં, s1 = 4 ´ 1 - (1)2 = 4 - 1 = 3 અહીં, n = 2 મૂકતાં, s2 = 4 ´ 2 - (2)2 = 8 - 4 = 4 ∴ a1 + a2 = 4 a1 = 3 મૂકતાં, ∴ 3 + a2 = 4 ∴ a2 = 4 - 3 = 1 ∴ a2 = 1 તેથી, બીજું પદ 1 હશે. સામાન્ય તફાવત d = a2 - a1 = 1 - 3 = -2 તેથી, દસમું પદ, ∴ a10 = a + 9d ∴ a10 = 3 + 9(-2)
∴ a10 = 3 - 18
∴ a10 = -15
તેથી, n મું પદ,
∴ an = a + 9d
∴ an = 3 + (n-1)(-2)
∴ an = 3 - 2n + 2
∴ an = 5 - 2n
જવાબ : અહીં, a3 + a7 = 6 તેમજ a2´a7 = 8 છે.
∴ a3 + a7 = 6 ∴ a + 2d + a + 6d = 6 ∴ 2a + 8d = 6 ∴ a + 4d = 3 ∴ a = 3 - 4d ……………(1) હવે, ∴ a3 ´ a7 = 8 ∴ (a + 2d) ´ (a + 6d) = 8 સમીકરણ (1) માંથી a ની કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતાં, ∴ (3 - 4d + 2d) ´ (3 - 4d + 6d) = 8 ∴ (3 - 2d) ´ (3 + 2d) = 8 ∴ 32 - 4d2 = 8 ∴ 9 - 4d2 = 8 ∴ - 4d2 = 8 - 9 ∴ - 4d2 = -1 ∴ 4d2 = 1 ∴ d2 =
∴ d = 
હવે, જો d = હોય, તો
d = ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
∴ a = 3 - 4()
∴ a = 3 - 2
∴ a = 1
તેમજ,
sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s16 = 
[2´1 + (16 - 1)()]
∴ s16 = 8 [2 + (15)(1/2)]
∴ s16 = 8 [2 + 
∴ s16 = 8 [
]
∴ s16 = 8 [
]
∴ s16 = 8 
∴ s16 = 4 ´ 19
∴ s16 = 76
હવે જો d = - હોય, તો
d = - ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
a = 3 - 4( - )
∴ a = 3 + 2
∴ a = 5
તેમજ,
sn = [2a + (n - 1)d]
∴ s16 = 
(16 - 1)( - )]
∴ s16 = 8 [10 + (15)( - )]
∴ s16 = 8 [10 - ]
∴ s16 = 8 [
]
∴ s16 = 8 ´ 
∴ s16 = 4 ´ 5
∴ s16 = 20
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 16 પદનો સરવાળો 20 અથવા 76 થશે.
હારમાં ભારીઓની સંખ્યા 20, 19, 18, … થશે.
જવાબ : તેથી a = 20, d = 19 – 20 = -1, n = ? છે. તેમજ Sn = ?
Sn = [2a + (n – 1)d]
S200 = [2 X 20 + (n – 1)( -1)]
200 = [40 - n + 1]
200 X 2 = n[41 - n]
400 = 41n – n2
– n2 + 41n - 400 = 0
n2 - 41n + 400 = 0
n2 - 16n – 25n + 400 = 0
n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0
(n – 16) (n - 25) = 0
n – 16 = 0 કે n – 25 = 0
n = 16 કે n = 25
જો n = 16 હોય તો,
an = a + (n – 1)d
a16 = 20 + (16 – 1)(-1)
a16 = 20 + (15)(-1)
a16 = 20 – 15
a16 = 5
જો n = 25 હોય તો,
an = a + (n – 1)d
a25 = 20 + (25 – 1)(-1)
a25 = 20 + (25)(-1)
a25 = 20 – 25
a25 = -5 જે શક્ય નથી.
તેથી, 200 ભારીઓ ગોઠવવા માટે 16 હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં 5 ભારીઓ થશે.
There are No Content Availble For this Chapter
Take a Test
સમાંતર શ્રેણી
std 10 maths gujarati medium, std 10 maths book pdf gujarati medium
Browse & Download GSEB Books For ધોરણ ૧૦ All Subjects
- વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અર્થશાસ્ત્ર Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- રસાયણવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સામાજિક વિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૂગોળ Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ભૌતિકવિજ્ઞાન Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગણિત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- ગુજરાતી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- અંગ્રેજી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- સંસ્કૃત Book for GSEB ધોરણ ૧૦
- હિન્દી Book for GSEB ધોરણ ૧૦
The GSEB Books for class 10 are designed as per the syllabus followed Gujarat Secondary and Higher Secondary Education Board provides key detailed, and a through solutions to all the questions relating to the GSEB textbooks.
The purpose is to provide help to the students with their homework, preparing for the examinations and personal learning. These books are very helpful for the preparation of examination.
For more details about the GSEB books for Class 10, you can access the PDF which is as in the above given links for the same.
